https://ocw.mit.edu/courses/res-18-005-highlights-of-calculus-spring-2010/

导数总览

大家好这是系列视频课程的第二讲我们的核心目标是：总览微积分第二讲非常重要它将总览导数的介绍和计算

记得本课程总的思想吗函数都是成对的比如距离和速度分别代表函数一和函数二图像上的垂直距离图像上的斜率；或者说山的高和斜率微积分就是讨论两种函数之间关系的学科

今天还是先从例子开始

考虑正在飞行的飞机它高度为y，水平移动距离为x考虑它有飞行记录表可以假设它有两块记录表另一个例子是汽车，它也有两块表

• 一块记录车移动距离对于飞机则是记录高度表示时间t或水平x上积累的总量

• 第二块表将记录每一时刻的瞬时速度这就可以得到每点的速度

两块表读数是不同的速度表示瞬时的情况而距离或高度y则表示总的积累量表示目前为止总的路程或高度

下面假设速度表或者说函数二记录数据丢失了那么，丢失的信息将如何找回这就是问题假设总的高度记录还在…

简单起见，只考虑y(x)的情况吧写两个例子是想让各位知道微积分里，字母并不重要重要的是微积分思想

这里的核心思想是如果高度已知可上可下那么如何从高度中找回每点斜率中丢失的数据呢

…这里这个很重要这种导数符号是莱布尼茨的发明，它们很好用一会你们就知道是怎么来的了

现在，我还是先用高(垂直距离)除以水平距离垂直与水平的比就是斜率下面怎么办

三个函数

我们能够且必须做的是为这些微积分中重要的函数为这些非常特别的函数求出其斜率

其斜率都是可以用公式表示的dy/dx等于…暂时不写出来，留点悬念不过这三个函数确实极其重要求导过程可能需要花点时间一旦完成，意义重大一旦知道答案，用处很大

要知道，很多其它函数不管是科学、工程、经济、生活领域都可以由这些函数得到

• 可以是通过乘法，这个乘以这个这就需要乘法法则对于导数，需要知道如何求乘积的斜率

• 这里还可以进行除法这就需要除法法则

• 这里还可以嵌套，这是导数中最有用的法则比如e的sinx次方这就将e的x次方与sinx嵌套了起来得到复合函数e的sinx次方这就需要链式法则

这些我都会讲到

这里我们还是先来关注这三个函数毕竟它们很重要，且是一切的基本

对于x的n次幂如果n为正xⁿ持续增加，画个图

比如y=x²这个函数，我们会详细讨论的y=x²横轴为x纵轴为y现在我想知道斜率注意到随着位置不同，斜率会变化所以斜率与x相关斜率在各处不同它会逐渐变陡现在要求出斜率

本例中x²相当于n=2，这是增函数顺便提下，n还可以取-2因此，列表中n可以取负值，这时函数会持续下降各位应该对x的-2次幂这种负指数有印象吧n=-2表示除以x²x⁻²=1/x²，减函数所以这里n可以为正，可以为负

先把结果写出来如何它的导数很容易记：首先得到一个n然后幂次数会改变幂次数减一这就得到n-1次幂

好，还是回到n=2的情形可以预计答案是2x因为2-1=1，所以x²导数是2x这意味着什么，这节课我会给你们解开的

下面，还是先告诉你们答案吧对于sinx其导数形式很美观，即cosx正弦曲线的导函数是余弦曲线这再好不过了

我们不禁会问那cosx的导数是什么呢cosx导数是-sinx，这里多了个负号因为余弦曲线开始时是在下降

下面这个的导数想知道吗e的x次幂之后我会花一整节课来讲这个函数之所以如此重视它是因为其性质非常独特且不论e是多少，x次幂是多少其斜率始终等于函数e 本身非常神奇随着函数变化，斜率变化，但两者始终相等

就这些了，我要说的是这三个函数是很好的开始之后还有一些法则要学

指数函数

好了，下面就这个特例，说明下斜率的含义这里是未遗失的那块记录表的读数，即函数一这是函数一函数中每一点的记录均已知

要知道，若里程表只有1小时、2小时或3小时后的读数这微积分就帮不上忙了因为只知道每小时后距离的情况只能算出一个小时内的平均速度我们不知道何时刹车，何时加速这只能得到平均速度，平均很简单平均不需要微积分

微积分关心的是瞬时、即任意时刻的情况比如x=1时速度表的读数是多少或者说，斜率是多少

我还是把x=1标出来吧，还有x=2x=1时，x²高度为1x=1有x²=1；如果x=2x²=4

顺便先求一下平均数值是多少求一下平均斜率水平距离为1垂直方向移动多少？3垂直方向从1到4，做减法得到3差和导数的联系就在这里这里4-1=3因此平均值是3/1但这还不是微积分微积分只关注瞬时情况

我从这一点的瞬时情况开始吧这一点的斜率是怎样的x=0这一点而这里是y=0，这是原点可以看到，此时虽然在上升但有点像是刚从红灯起步此时速度为0因此这一点斜率为0，曲线水平如果在这一侧继续绘制x²曲线得到的图形与正半轴相同噢，没画好改进下两侧从同一点开始，完全对称众所周知，在0点位置曲线探底

实际上，求最低点是微积分的一个主要应用通过斜率为0可以求出最低点这一点不上升也不下降斜率为0但斜率到底是什么意思呢

好下面引入一种新的思想…1这一点太远了我可以选一个离原点距离极小的点将这个极小距离记作Δx这个Δ给人一种“小”的感觉这实际比我画的还要小那么这一小段距离的平均速度是多少平均斜率

水平距离是Δx，垂直距离是多少曲线是y=x²，垂直距离很明显平均斜率还是垂直/水平水平是Δx垂直呢曲线是y=x²，而这一点是Δx所以显然是Δx²这就是开始这一小段的平均斜率曲线开始的很小、很小一段从0到Δx…

虽然Δx已经很小了，但这里仍然是平均值我想让它减小为0这时微积分才有用武之地取极限，让这一段不断减小从而无限接近某瞬时情况这样就能得到斜率

这里我们要求的也就是0点的情况可以看到，这里的情形特别简单Δx²/Δx=Δx因此平均斜率非常之小沿着这种逐渐变小的思路我将求出x=0处的瞬时斜率让Δx逐渐减小，最终得到0这是什么这就是我们之前预测的结果这个例子很简单这是我们第一次亲身经历求导过程

上面是Δy下面是Δx之前用的是3/1，而这里则是Δx²/Δx结果很简单，是Δx随着逐渐接近0点，平均斜率逐渐减小，最终得到0点的瞬时斜率为0非常顺利

相当于行驶从静止开始之后慢慢加速这里的斜率就显然不是0了我们求一下吧下面来求任意点的斜率已经有一个很好的开始了

下面来求任意点的斜率而不仅仅停留在x=0的情况上下面重新绘制图像，相同的图像图像递增，取上面某一点x垂直距离为x²现在要求曲线上这一点的…这一点的斜率怎么个求法

下面将用到微积分的核心要义函数一到函数二，微分学的要义取一小段Δx，移动到x+Δx处这样y方向就移动到曲线上另一点

这一点值为(x+Δx)²因为曲线还是y=x²这条简洁明了的抛物线上水平距离和竖直距离各是多少竖直变化用Δy表示水平用Δx表示

• 那么Δy是多少这个必须求出来即这段竖直距离它等于(x+Δx)²，这里的高度减去这里的高度，所以下面这段不需要考虑这段就是我要的Δy这一段也就是上面这个，减去x²，得到Δy注意，这个非常重要然后除以Δx目前还只是代数微积分马上会介入，但目前还没有

• 下面继续进行代数运算，把这个乘出来平方和，算出来应该有个x²，然后是两倍这两项的积2xΔx然后是Δx²后面减去x²这就是Δy的展开形式

• 写成这样，就可以化简了x²消掉了，这并不意外然后就可以进行除法了这里有个Δx因此这一项得到2xΔx/Δx=1然后这里是Δx²/Δx因此还剩下一个Δx

掌握了微积分的窍门就能发现最关键是这个一次项，Δx的一次项因为高次项Δx²除以Δx以后，得到这个这最终会消失，这是关键

到目前为止仍然是小范围的平均值，还不是瞬时情形下面微积分介入，dy/dx如果说上面是小/小这里就是极小/极小这里的d，小得可以说已经无法分辨小得不再将dy作为分开距离来考虑

这里其实已经不再是真正的除法因为除法是不允许0/0的也许有人会问，那这里写0/0是什么意思其实这里的0/0只是上面这种情况的极限取极限就说得通了因为这些是真实的数字，虽然很小，但不为0

这也就是这这一步最为关键，这就从代数步入了微积分这就得到了某一点上的瞬时情形取Δx趋近于0，结果是什么Δy/Δx是这样的，那么dy/dx是什么极限情况下这很简单这里是2x写过来这里是Δx，取极限就没了

因此最终结论是，导数为2x这就是函数二这就是函数二：斜率函数或者说速度函数，画个图吧画在上面，等下好推上去

这里是函数二的图像导函数图像或者记作斜率ss函数关于x的图像x还是自变量也可以用t或其它字母表示这无所谓；s函数的图像是2x

所以图像从0点开始并稳定以斜率2增长这就是s(x)的图像那么，在图上取几个点作为例子x=0处，斜率为0这是一开始我们就算了的因此我们之前的计算是正确的最低点斜率为0；

再看看其它点这里斜率是多少，告诉我曲线上这一处，平均斜率为3/1但这种斜率…你懂的这只是一条弦这里跳了一大步而处理Δx时都只是一小步之后让Δx趋近于0，这就成了无限小的一步

因此实际的斜率，可以认为是这样的这条线(切线)才真正给出此点的斜率画的不怎么好，毕竟我不是伦勃朗，意思到了就行那么这一点斜率多少其实这个我们已经算了

把x=1代入到我们的斜率函数里得到s=2斜率为2，因此切线实际只有…它在这里…这上面…噢，等等对哦…斜率是2…搞不懂了也许…对，这里应该是3说了我不是伦勃朗但意思到了

到此，我们做了些什么我们向微积分前进了一小步确实是很小一步有点像是文字游戏，但确实是这样向这些伟大的函数迈出了一小步

三角函数

在结束这一讲之前，我再画出这一组函数一和函数二看看两者的变化趋势，是否如我们所愿再举最后一组例子，一组很好的例子

开始作图，这是x轴这让我想起第一讲的某个图像，那时我们也是画到了90°的情形这里为了便于处理，将90°记作弧度π/2这就是sinx的图像；这是y轴函数一：sinx

那么函数二是什么函数二会是怎样的还是x轴看这里的斜率与x²不大相同它开始时就具有一定斜率这里的斜率是函数中一个非常重要的斜率我们会发现这里增加一小步Δx后，函数值随之增加了sinΔx得到的斜率逐渐趋近于1很好很幸运，cos曲线就是从1开始的，正好吻合

然后斜率开始下降sin曲线的顶点处斜率是多少这里取极大值极大值是可以通过斜率为0求得的因为我们知道，这之后函数值就会下降了，直到这下面

这里的斜率为0，切线水平对应这边，这一点导数曲线穿过0点，斜率继续下降这就是sin的斜率曲线很妙的是，它就是cosx曲线

我们现在并不是想证明这一点我还不想用Δx来证明这个工作我只做一次，但不会是今天但我会证明一次的…今天我只是想给你们点直观印象

函数一开始是上升的所以斜率为正，但斜率在降低并在这一点达到0对应这一点之后斜率变为负值，函数值在下降因此斜率为负，这与cos曲线相符

穿过这一点，继续向前直到这一点触底，然后反弹与这条曲线如何对应

图像也许应该画长一点这个最低点是π这里则是π/2这里是π，或者说180°

这条曲线上发生了什么函数值在下降到这里下降值达到了最大下降值达到最大，此处的斜率为-1

之后斜率依然为负不过负得越来越小，直到回归为0此时x=3π/2此时斜率回到0这一点处

之后曲线结束于2π这里最后重新回到1它在增长

好了，增长、下降、快、慢、极大值、极小值这些体现了导数的重要性和实用性所在这一讲我们详细讨论了列表中的第一个函数好的，谢谢

本视频由MIT开放课件制作吉尔伯特-斯特朗主讲视频由Lord基金赞助播出帮助OCW继续提供更好的免费课程资源请登陆ocw.mit.edu/donate进行捐助