04-指数函数
https://ocw.mit.edu/courses/res-18-005-highlights-of-calculus-spring-2010/
4.1 (eˣ)'=eˣ
4.2 eˣeᕽ=e⁽ˣ⁺ᕽ⁾
4.2.1 概述
4.2.2 构造
这是我要建立的函数y(x) 并且我知道这个函数从1开始 但是后面还有别的什么 这个函数要与dy/dx相等 根据上面的性质，这两个是相同的 所以dy/dx也要从1开始 但是还不能结束 因为，如果导数是1的话 我得在这里加上一个x 这样导数才是1 对吧？导数是1 这条直线稳定增加，斜率是1 要知道，这两个等式应该相等 那么，我还要在这里加上一个x 现在，我得在上面的式子里再加上点东西 才能使得导数为1+x x的导数是1 在这里加上什么才能使导数为x 提醒一下，x²的导数是2x 所以这里应该是x²/2 才能得到x 所以，这里是x²/2 很好，x²/2 的导数就是x 但是，我还要使两个式子相等 那么，别无选择，这里加上x²/2
上式的导数为下式 我需要持续修正上式 如果导数是x² 那么我需要的是某数乘以x³ 要多少乘以x³呢 这需要知道x³的导数是多少 xⁿ的导数是nxⁿ⁻¹ 因此x³的导数是3x² 那么这里就要除以3 这样3与3才能约掉 现在求的是x³的导数 3和3消去，得到x² 但是，这里的导数是x²/2 所以还要一个2 也就是x³/6 这一项这才算完成：x³/6 因为求导后，3和3消去 剩下2 那么，接下来需要如何 由于两个式子需要相等 下面也必须有x³/6 并无休止继续下去
当我算到xⁿ时 还需乘上某个分数 我要找出这个分数 是多少呢 之后，这些肯定也要搬到下面来… 看看这里的形式，这是3×2 可以说成3×2×1 这里是2×1 这里就是1 这是n的阶乘 我要的就是n的阶乘 我需要n×(n-1)… 这样写下去，最后乘以1 …之后还要加上数学中常用的省略号 三点表示后面还有 但写成这样就行了 下面叫做n的阶乘 xⁿ/n! 当我对xⁿ求导 n会出现在分子并与分母上的n约掉 同时幂次减1 就得到了这个表达式的导数 n与n相消 后面的照抄下来 分子上是xⁿ⁻¹ 结果是xⁿ⁻¹/(n-1)! 和上面的前一项相等 现在我得加上 xⁿ/n! 因为y和dy/dx要相等 所以我要继续写下去
级数：series在英语中就是一个“系列”，其实级数就是一系列无穷的项
4.2.3 证明
现在已经构建了e的x次方 这里再写一遍 1+x+x²/2+x³/6… 我再写一个e的任意次方 1+… 这里我用大写的X… X³/6+…
1是对的 x+X两边加上括号，对的 然后把这些二次项括起来 然后看看上下是否相等 这一步很关键 一开始可不能出问题 记得怎么做吗 各位肯定知道(x+X)²如何展开 做乘法就行了 x与x相乘 前面有1/2，得到x²/2 有多少个x×X呢 应该是两个 但这里有1/2，得到1，这正是我要的 最后X平方 得到X²/2，这也是我要的 一切顺利 你们还要算下立方项吗 我可不想 不过如果算的话… 至少让我来试一下吧 立方项指的是什么 也就是后面这项 应该是(x+X)³/6 而通过上面相乘，得到了许多项 1乘以这个，得到… 那两项相乘后得到x³/6 这里得到x²/2乘以X 了解了吧 我更宁愿你们自己动手 我把这里写完吧 这里是x乘以X²/2 得到xX²/2 然后是1乘以X³/6 这就是后面四项 相乘得到的三次项 这要与下面的三次项相等 它们确实相等
4.3 两个重要级数
4.4 无穷级数求e
e是无理数
4.5 eˣ图像
4.6 银行存款复利
如果按月计算的话，还是从1开始 就有1+1/12 这是一个月后存款余额
还是根据前面的步骤 可以获得… 一月底，你可以获得1/12的利息 那么，整个二月份 你在银行的存款是1+1/12 到了二月底，你又有了1/12的利息 加到本金里 那么二月底总共的存款余额就是(1+1/12)²
过了一年后会变成这样 你们知道过了一年后变成多少了吗 乘了十二次 33:34.780¹²