08-复合函数和链式法则

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8.1 开场

大家好 今天讲链式法则，这是一个非常有用的法则 简洁而自然，我先来解释下什么是函数链吧，然后解释其导数如何求。

链是怎么工作的呢？这里x是输入变量，得到函数输出g(x)，这个可以称作内函数 记作y。第一步是 令y=g(x)，将得到的输出函数g记作y，这是前半段链，后半段将y作为f的输入变量，这就得到一条完成的链，函数链从x得到y 也就是内函数g(x)。然后求出f(y) 记作z，现在我们想知道的是 z随x的变化有多快。这就是链式法则要回答的 要求的是链的斜率。

先把链式法则写出来吧，然后再讲几个相关的例题 大家就知道怎么使用它了。

这就是链式法则，函数链的导数dxdz​，注意 随着原输入变量x的改变 我想求整条链的导数，公式如下 妙不可言，它等于dydz​⋅dxdy​，那么我们要求的导数 或者说斜率 速度，就此转化为两个简单已知函数的导数，想求导函数链 只需将两个导数乘起来即可。

不过这里有个需要注意的问题，这里求得的第一个因子dydz​是y的函数，但我们想求的是原变量x的函数，所以在求出了dydz​之后 必须将其化成x的函数。

8.2 z=sin(3x)

来个例子并画张图 大家就知道这是必须的了，函数链是cos… 还是用sin吧，以sin(3x)为例，这是sin(3x)，我想知道，这个函数作图并不难，那它的斜率是多少？

这里的内函数y是什么，y其实就是括号内的3x，y经常都在括号里 很容易辨识，y=3x就是内函数了，那么外函数就是siny了。

那么根据链式法则 导数是什么，函数链被分解为两个已知的简单函数，这整个是z 根据链式法则 dxdz​等于…

• 根据法则 首先要用到dydz​，z对y的导数 得到cosy，

• 然后要用到dxdy​，y不过是一条斜率为3的直线，所以dxdy​=3。

好，好 但还没搞定，因为式子里面还有y，我们需要用x表示回来 这很简单，我知道y和x的关系，这里是3，通常可以把它提到前面，括号就不需要了 只写一个3即可，然后这里是cos(3x) 注意不是cosx，注意到这里sin的是y 因此导数是cos(3x)。

我把函数图像作出来吧，大家就会明白了，先作x在180°即π范围内 sinx的图像，水平为x轴 竖直方向是…当然 这里是sinx 不是我们想求导的函数。

我们想求导的是sin(3x) 值得关注的是，如果用3x替换x 图像的差别是怎样的，结果一切会来得更快 波动频率会更快，这里x=π 180°的时候sin才回到x轴，而对于3x 它回到x轴只需要在60° 3π​，只是原来的31​，sin(3x)是这个，它同sinx曲线类似 只是更快，这里是3π​ 60°，这就是z(x)曲线了，其斜率在开始时更陡，可以看到这里 波动的速度是原来的三倍，曲线就像被压缩到原来的31​，所以波动速度更快。

开始时其斜率变成3，斜率的结果是3cos(3x)，我来画一下斜率的图，还是先画sinx的斜率，这个是sinx 其斜率为cosx，斜率开始时是1，得到斜率函数cosx，还是到这个点π，这是原来那个sinx的导函数 而不是我们这里链的导数。

sin(3x)的导函数，它不会拉这么长 它只在0和3π​之间，它只在这一部分上，它从3开始 波动速度是原来的3倍，大概从这里开始 然后逐渐向下，大概是这样吧 很棒，我要说的是 它从3开始 到−3结束，停止时x=60° 这就是3cos(3x)的图像，这里的y要还原为3x。

8.3 z=(x³)²

下面我再讲两到三个例子 让大家更明白一些，先来个简单的，假设z是(x3)2。

那么内函数就y=x3，那么z是什么呢？z是x立方的平方，x3是内函数 那么外函数是什么，外函数是y的函数 也就是平方函数，这就是外函数 不能写x2 要写成y2，记住平方的是y不是x，

那么根据链式法则 导数dxdz​等于…根据链式法则 它等于dydz​dxdy​，这很容易记，这可以类比分子分母同时乘以一个可以约分dy，那么dydz​是什么？z=y2 所以导数为2y，dxdy​呢，y=x3 这个的导数我们讲过 等于3x2。

答案出来了 但还得化简，这里还有个本不该属于这里的y，需要还原为x，所以这里总共是 2×3=6，而这个y还需要还原为x的表达式，即x3，所以后面是x3和x2 相乘得x5。

这个答案正确吗？这里我们是可以检验的，因为我们可以直接算出(x3)2，x3=x×x×x，然后平方 又乘以一个x3 又乘一个x×x×x，所以总共得到x的六次方 注意这里不是相加，x立方的平方应该是2×3=6，所以z=x6 我讲过六次幂函数的导数，即6x5 幂次减一。

8.4 z=1/√(1-x²)

下面再来两个例子，先马上来看第一个 趁热打铁，用这块黑板 看看我们的方程，为了让大家更好地辨别内函数和外函数。

我的z函数写成这样，√1−x2​1​，这种情况非常普遍，我们需要求出它的导数 并作图，这我们能做到 方程的形态非常合理。

它是一条很好的函数链 首先怎么做，能分辨出内函数和外函数吗？内函数是1−x2，将内函数写成y 形式就简单多了，外函数是什么呢 y要拿来干嘛，y拿来求平方根 即y21​，但是平方根在分母里，因此这里z是y−21​，这些函数就好办了。

其导数是什么，dz/dy 链式法则就不多说了 大家肯定心知肚明，抬头便是，这里直接写答案，dydz​ y的幂函数的导数 结果是−21​乘什么，得到的幂次总是减一，原来是−21​次幂 减一得到−23​，然后要求dxdy​ 这很简单，dy/dx y是1−x2 它的导数显然是−2x。

下面需要将结果整理下，然后用x的式子替换掉y，−2和−21​消掉了 很好，x还在那，然后是y−23​，它等于多少？我们知道y=1−x2，所以这里就是这个的−23​次方，可以这样写，x×(1−x2) 也就是y−23​。不知道大家喜不喜欢这个形式，我觉得还不错，也许将负指数写成正23​次方 放在分母更好一点，我觉得都可以。

8.5 链式法则由来

又讲完了一个例子，还有个例子我已经酝酿好了，不过我们还是先转过头，回头看看一开始的这块黑板，了解一下链式法则到底是怎么来的。

怎么求导数大家记得吗？求导数总是从有限小步△开始 之后才有d，……比如从这里开始 取x变化量，然后我想求z的变化量，这些△值很小 但不为零，丫的非常小，这些变化量 都是实实在在的量，对它们 分子分母同时乘以△y完全是允许的，因为y的变化量是存在的，改变x会造成g(x)的变化 g(x)也就是y，对于分式 这样写肯定是没问题的，这就是我们需要的形式。

用语言描述 当我稍微改变x，y也会随之改变，而y的改变又会导致z的改变，而我们关心的是变化的比值，输入变化和输出变化之间的比值，所以可以分子分母同时乘以一个中间变化量。

下面怎么做呢？众所周知 下面要做的就是取某一点处的导数，令△x趋近于0，随着△x→0 △y也趋近于0 △z也趋近于0，得到一些00​形式 这就是微积分中始终要处理的，微积分会保留这个比值，这里不能孤立地考虑成00​，这个比值最终变为一个不可分割的整体，比值在极限条件下得到导数 这就是导数的定义，这个比值趋近于那个 答案就有了，比值的极限就是我们要求的导数。

一言以蔽之 这就是链式法则背后的原理，要讲还可以讲很多 但精华我都讲到了。

8.6 z=e的-x²/2次方

8.6.1 一阶导数

下面 再来一个例子，这可不是我生造出来的 它很重要，这个我们原来还从没见过，也就是 e−x2/2，这就是我们的例子 函数记作z吧，它是关于x的函数。

希望大家能够辨别什么是内函数 什么是外函数，求导，然后作图，这个函数的图像大家肯定会很眼熟 它很重要，它是一个很有趣的函数，…我们经常需要处理e的多少次方 这样的函数。

e的某函数次方，这个某函数就是我们的内函数，内函数y=−2x2​，也就是指数内的函数，而外部函数z 则是ey，函数链中的两个函数 非常简单，两个简单函数构成了e−x2/2。

下面如何求导呢？求导 没问题，dxdz​ 使用链式法则，链式法则抬头便知，dydz​ 这就是我们想求的外函数的导数，ey 这个函数有个很棒的性质，这也是我们如此这般关注它 使用它的原因，它的导数就是它自身，然后−2x2​的平方是多少呢 小菜一碟，…x2求导 提了个2下来 与分子约掉 最后得到−x，这就是−2x2​的导数 注意结果中的-号，函数向外延伸，如果x为正 则斜率始终为负 曲线始终向下。

我说了好多遍了吧 答案写成这样还不能算完，这个y还没写成x的式子，−x写在前吧，因为它来得比后面那个因式简单，ey也就是e−x2/2，这就是我们要求的导数，这就是我们要考虑的函数。

再提醒一下，我们从e的负某某次方开始，最后得到e的原来那么多次方 还多了一个别的因子，这在指数函数中很常见，指数函数求导后指数保持不变，不过还需要求指数本身的导数，会得到一个另外的因子，好 一会我还要再求一次导。

8.6.2 一阶图像

现在先作图，原函数z 以及z的导函数，看看，x可正可负，…我先画这个，

• 图像是怎样的呢 显然在x=0点处，x=0处 得到e0 即1，x=0 它为1，注意x=1处的奇妙性质，x=−1也是如此 它是对称的。

这个函数 这个图像，关于y轴是对称的 因为这里是x2，这种函数的正式名称叫作偶函数，偶函数 即f(x)=f(−x)。

• x=1处 函数值为e−21​，我本应该预先算出它的具体数字的，它反正显然小于1 e的负数次方嘛，画上去，这里也是。

除了这两点之外，整个图像大致是怎样的呢？

• 记住它是对称的 它从这里出发 然后开始下沉，继续下沉 然后通过这个点，

• 一直到… 看，随着x逐渐增大 从3 4 到1000，平方后 得到9 16 到一百万，然后要除以2 关系不大，然后以e为底，如果是e1000，会上升到黑板千里之外，而e−1000就相当小了，而且减小很快，函数递减 但不会触到x轴，继续下降 ，

• 而这边也一样，看看 这边我要画成对称。

这里挨到x轴了 要知道粉笔有点粗，无法画出无限接近的效果，这里看上去碰到x轴了，如果有根细点的粉笔 这是不会发生的。

这条我们要作的曲线，它应该是对称的 这就是著名的钟形曲线。

对于赌博佬来说 这是个重要的曲线，对研究概率的数学家也是如此，后面我会详细讲到钟形曲线，微积分进入到概率论，就是从这个函数开始的。

那么它的导函数是怎样的呢，仍然是对称 或者说反对称更合适 因为前面还有-x，那么导函数是什么，斜率开始时为0，这还是x轴。

现在要画的是导函数，这个是z，下面来作导函数图像。

• 导函数从0开始，这个图上容易看出，沿着x轴 原函数斜率始终为负，斜率逐渐下降，从这里开始，开始时斜率为0，斜率负得越来越厉害，

• 应该说是在某点之前 斜率越来越负，也就是这个点，这之后斜率就开始负得没那么厉害了，不过总是负的。

• 导函数向下 直到点x=1，此处斜率是最陡的，

• 然后斜率反弹，但总无法达到0，原函数仍在减小 但减小得不多，因此最终导函数逐渐接近x轴，因为此时e−x2/2已经变得很小了，

• 而这边是对称的 斜率为正。

看 原函数是偶函数 关于y轴对称，而导函数却是…，这绝非偶然，导函数得到奇函数，关于原点对称，之所以它是一个奇函数 是因为如果改变x符号，函数的符号也随之改变。

8.6.3 二阶导数

好 如果不介意的话，我们再来看看二阶导数，这也许是我们首次正儿八经地算二阶导，大家认为二阶导会是怎样的，二阶导数，是导数的导数，斜率的斜率。

我总喜欢说求导是函数一到函数二的过程，高度到斜率，现在我还要求一次导，现在我要把这个当作函数一 然后求新的函数二，这个是dxdz​，而现在要求的是二阶导数。

它也有一个很棒的记号，千万别写成(dxdz​)2 ，我要求的是这个的导数，…这个的导数…，我要好好回顾下二阶导了 它很重要，它记作dx2d2z​ 这就是二阶导，斜率函数的斜率。

我想知道，如何求这个函数的导数，我们将会得到什么结果呢？

写在这吧，函数写在这里，−xe−x2/2，它的导数是什么，这是一个乘法 这乘这，所以需要乘法法则，这里还有一个因子包含−2x2​，这是函数链，这其实就是原来那条函数链，这个好办，下面需要用到乘法法则和链式法则，就是这样子。

我们已经学了很多法则，这些是所谓的导数四则运算，我们很熟悉了 加减乘除，而现在又学了链式法则 我们必须时刻准备着，处理像这样又有乘积 又有函数链的问题。

那么我们来求斜率… 的斜率吧，这个就已经是导数了，它等于第一个因式乘以第二个因式的导数。

• 第二个的导数 之前用链式法则就已经搞定了，这个的导数我们之前就计算过了，也就是这个，第二个因式的导数是−xe−x2/2。

• 回顾一下乘法法则，这相当于f⋅dxdg​，乘法法则中这里相当于f⋅g，得到这个f⋅dxdg​ 然后还需要g⋅dxdg​。

• dxdf​是什么，擦掉这个先前的例子，f=−x dxdf​=−1 简单。

• 好 把结果整理一下，结果如我所料，最后仍然保留了因式e−x2/2，它支配着整个进程，结果是什么，这里有一个−1，这里有个+x2，因此 结果是x2−1乘以这个因式。

…二阶导数这就算完了。

…我想做两件事，一个是这个例子，这个二阶导将会改变符号，画出这个麻烦的东西吧。

• x=0时 它是负的，这意味着什么，这是二阶导 这意味着一阶导的斜率，一开始是往下的，确实。

• 在x=1处，二阶导数由于因式x2−1 而等于0，二阶导数的图像需要费点功夫，…这是斜率的斜率，对应这一点，在这一点 导函数的斜率为0，这一点之后 导函数的斜率向上。

• 所以图像大概是这样的，这是导函数的导函数，它是偶函数 所以这一侧也是一样。

看明白了吗，我们已经知道了导数 或者说斜率，除此之外还有需要考虑的东西，也就是斜率的斜率，或者说 变化率的变化率，这才算是搞对了微积分。

这里有个挑战，我就不来挑战它了，即 二阶导数继续下去怎么求导，我把这个挑战，留给其它教授来讲吧。

这一讲最后 我们介绍了二阶导数，而这一讲的核心内容是 链式法则，并通过它求二阶导，好的 谢谢。

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