10-逆函数和对数函数

https://ocw.mit.edu/courses/res-18-005-highlights-of-calculus-spring-2010/

开始 今天的主题是逆函数，这是联系两个函数的又一种方式，逆函数很重要 因为…今天要讲的对数函数 就是ex的逆函数，因此我们必须搞清指数函数，和对数函数之间的关系。

10.1 逆函数

10.1.1 概述

这就是逆函数的思想，看这里使用的记号，一般 y=f(x)是函数的标准表示法，而对于逆函数，表示是f上标一个−1，注意 x等于的是f−1(y)。

我来解释下记得什么叫函数吗？对于函数f，我取x作为输入变量(自变量)，函数作用于输入变量，得到输出变量(因变量)，某种意义上 这就是函数，它就是一些输入所对应的输出。

那逆函数是什么 很容易理解，把两者颠倒下 就成了逆函数，y变成输入，原来的输出 现在变成了输入，倒了过来，现在的问题是 什么样的y可以得到x，这里从y得到x，可以通过逆函数实现，明白了吗 x和y的关系颠倒了。

10.1.2 y=x²

我举个例子吧，之前是符号，下面需要例子 第一个例子是y=x2，这是函数f(x) f是平方函数，输入x=3 输出就是y=9。

那么逆函数是多少，逆函数是通过y得到x，通过平方根可以实现，所以逆函数是x=…你们是喜欢写√y​，还是喜欢y21​ 这都行，这就是逆函数。

当然 之前我们讲过x=3 则y=9，现在如果y=9，那么x就是√9 即3，这有点琐碎 但不完全是，如果x2=0 这个例子是没问题的。

但x=−3是不允许的 为何，如果取x=−3作为输入的话，如果将x2函数定义到整个x轴，如果x=−3是允许的，那么y的结果还是9，从3和−3都得到9，那么逆函数中 我们无从得知取哪个，逆函数中如果输入是9 输出是3还是−3呢？

因此这里的关键是 函数必须是一一对应的，这个词准确地说明了逆函数的概念，一个x对应一个y 一个y对应一个x，这时 图像要么一直向上 要么一直向下，不可能上上下下，y=x2就是下了又上 这是不允许的。

10.1.3 过渡

好了 这些例子是为了引出这一讲的关键内容，即指数和对数，我们先展望一下 这一讲末我们会谈论些什么吧。

关于指数函数的性质我们知道不少，这些性质，通过逆函数 可以得到一些不同的性质，一些对对数非常重要的性质，这一个是最重要的，两数乘积的对数 等于两数分别的对数的和，很重要的性质，简单但重要 这也是对数备受关注的原因。

这也是计算尺的基本原理，听说过计算尺吗 也许你们没多少人见过，也许吧，原来大家人手一把 突然就没人用了，我要说的是 计算尺上有两个标尺，可以用作计算，一个标尺移动到lny，第二个衡量lnY，于是就能得出乘法的答案，它可以用来做乘法，只是不大精确，但这并不意味着对数不重要了，只是计算尺过时罢了。

10.1.4 圆形

好了 再讲两个例子，让大家有更深刻的认识，想想圆形面积A和半径r的关系，函数的输入是r，面积是πr2，这就是r的函数，输入r 输出A。

告诉我逆函数是什么，逆函数的输入是A，得到r，… 因此逆函数是这样的，我们需要解出r的表达式，除以π 得到r2，然后再开方 得到r，这就是逆函数，它是r的函数吗？果断不是，输入现在是A 它是A的函数，除以π 开方 回到r。

作个图看看，函数的图像，和逆函数图像之间的关系很简单，大家知道A=πr2的图像吗？注意 r还是只能取正，而面积也只能为正，πr2的图像是抛物线r=1时 面积是多少，代入公式 面积是π，这个点，其它点在曲线上，这就是原来的图像 没什么新鲜的。

新鲜的东西 是逆函数图像，现在输入变成了A，输出则是r，

• 面积A=0时 半径为0，

• 面积为π 相当于把这个移到这来，面积为π 半径是多少，代入到公式 ππ​=1 再开方，得到半径为1 很显然，1，因此逆函数上有这么一点，逆函数根号下πA​。

• 剩下的图像是怎样的呢？是那样的吗 门都没有，一切都翻转过来了，或者可以说 和原来互为镜像，把它弄到这里来，函数原来是这样的 现在变成了平方根函数，平方根函数上升 然后逐渐转弯，一条躺下的抛物线，原来的抛物线是站着的。

好 下面看第二个例子，图像沿45°斜线翻转的原因是，x和y互换了。

10.1.5 温度

好 第二个例子，讲温度如何，温度可以用华氏度F衡量，也可以用摄氏度C衡量，两者之间的关系是怎样的呢？

取F 我想知道，C作为F的函数是怎样的，我来作个图，这是正向的函数 首先讨论f，然后再考虑f−1。

大家知道两种温度之间的关系吗？这是F，

• 从水的冰点开始，水的冰点是32华氏度，摄氏度下是0度 这就是摄氏度建立的基础，F=32时，C=0，这点在图像上。

• 还有一个重要的点 即沸点，此时F是212度，212是水沸腾的华氏温度，沸点的摄氏温度是多少，100度，不知道为什么有32度和212度这种计量体系，而0和100的体系意义很明确，这又是一个点。

图像其实是一条直线 因为…呃… 看公式吧，直线的公式是什么，用F−32，这就得到了正确的冰点，然后需要调整斜率 来达到正确的沸点，华氏度温差是180 而摄氏度只有100 100/180，180由212−32得到，比值是100/180，约分得到95​，95​写起来更简单，这就是原函数的表达式，F的函数 由F得到C。

下面看逆函数，大家也动手画一下，C现在是输入，F变成输出，0和100仍然是关键的点，F分别对应为32和212，

• 这一点在图上，0°C=32°F，

• 100°C对应212°F 这也在图上。

两者的关系还是一条直线，图像画得不太好，212其实应该更高点 斜率更陡。

下面来求f−1的式子，第二条直线的式子是怎样的，

之前 我们一直用的是数字，现在我要引入代数，代数的思想是…很好奇代数的思想是什么吧，代数就是一次性处理所有数，比如我可以写出别的数，中间的数 比如22，然后求出摄氏温度对应50，但不能总用数字表示，我们需要字母和符号 这就是代数。

下面来点代数，从华氏度如何得到摄氏度，这需要求出F的式子，如何求F，首先是把95​倒成59​，得到59​C，95​移到了这边，然后还有F−32 把32也移过来，得到+32，F就解出来了，这就是逆函数了。

注意 它还是一条直线，其斜率是59​，而原来的斜率是95​，这是必然的 一开始是乘法，到了逆函数里 就成了除法，一个斜率必然是另一个斜率的倒数，这对直线来说 太简单不过了。

10.2 指数对数

10.2.1 概述

下面 来点真格的，即 指数函数，回到这块黑板 这才是今天的主题，把它推上去一点 我们继续。

我一直在讲 对数函数，就是ex的逆函数，这称为自然对数 ln的n是自然的首字母，这才是我们真正要考虑的对数，写作log也没问题 因为这里只关心自然对数，我说它是一个逆函数，也许图像能更清晰地揭示真理。

我先画ex的图像，然后再是其逆函数，插一句 由于这是微积分课程，下一讲将涉及到它的导数，ex导数是其本身 这我已经讲过，这是最基本 也是最重要的一项性质，之后我会讲到求导其逆函数 即对数函数，这也非常值得一提，很奇妙 而且正是我们想要的。

10.2.2 指数

好了 先看看对数函数长怎样，我知道大家见过对数 但这里不同 这里底是e，ex 只在微积分里才有，下面作图，函数是ex，作图，这当然也是y，x可正可负，没的说，而y=ex 只能为正，图像高于横轴。

这是x，画出0到1的图像 以及0到-1，图像在x轴上方，看看在哪，

• x=0时 y是多少，y=e0=1，e0为1，指数函数从1开始 这里，高度是1。

• 然后x=1时，y=e1，等于e，大约2.78，大概在这上面什么地方，那么高度e 对应1。

• 那x=−1呢，此时y=e−1，负次方就是做除法，即e−11​，大概2.781​，接近31​ 大概这里，

• 加上一点 图像大概是这样的。

我之所以不越过x=1作图，是因为后面增长太快 指数函数飞了出去，它呈指数增长，这有点废话的嫌疑。

这让我想到了呈对数增长 不过这个说法不常用，什么叫呈对数增长，它表示一种缓慢爬升，如果说指数函数是飞速增长，那么对数函数就只是缓慢上升了。

…我想求它的逆函数，图像这一侧 越来越小，函数这里继续上升 上升很快且一直上升。

10.2.3 对数

下面开始讲x=lny，我还是要作图，我将其定义为指数函数的逆函数，我这里要得到一个新的函数，通过逆函数来得到它，这就是x=lny，根据之前我们的经验，我们知道它的图像是怎样的，x现在是纵轴 而y是横轴。

y只能为正 log只对正数有定义，负数的对数不是我们的研究范围，而对数值可以是>0 =0 或<0。

x取什么都成，这是x，先画出已知的点，还是这边这三点，但现在x轴变成了纵轴，而y轴成了横轴，我把这几个点画上去。

• y=0时 x是多少，嗯 搞得懂吗，哦不 应该是y=1 x=0，这才是我要说的，y=1时，ln1是多少，ln1是这里的关键点，之前x=0得到y=1，1的对数是… 当y=1…1的对数…1的对数是…是0 曲线上这一点，这一点倒过来 到了这一点。

我还是在这写一下吧，大家也看到了 ln1=0我纠结了半天，写几组数字很有帮助，然后图像上还有些什么点 还有lne，还有lne1​，这些对数值是多少，看这边，分别是1和−1。

现在知道log的含义了吧，log求的就是指数，这是大家始终要记住的，什么是对数，对数就是求原来式子里的指数。

这里指数是1 所以log值为1，这里指数是多少，e1​即4e−1 这里就是lne−1，这个对数值是多少 是原来的指数−1。

• 把这些点描上去，这是e 这是1，这是e1​。

• ln1=0 一个点。

• lne=1 又一个点。

• lne1​=−1。

曲线这样上升，向下弯曲，而原来的曲线是向上弯曲的，如果我继续画曲线，对数曲线还会负得越来越厉害 径直下去，不过y永远不会得到0，而这边函数会上升，ln一百万，ln一万亿。

要知道 可以用对数来处理财政赤字了，对数函数增长非常缓慢，但它在持续爬升，它没有顶点，它会延伸得比我画的还远，这已经在y轴方向走得很远了，但x轴向的高度并不大，大数的对数 会化成小数，这就是大家使用对数纸 画对数图的原因，这样就能把大数画在图像上来处理了。

10.3 对数性质

关于对数我讲了好多了，下面还有两条关键性质没讲，特别是第一条，找个地方比划比划。

10.3.1 lnyˠ

…假设 还是有y=ex，假设Y=eX，做乘法 会得到什么有趣的性质呢？y×Y是多少，也就是ex×eX，这就是y和Y的意义。

下面要运用指数曲线的关键性质，这些很重要 希望大家能理解透彻，ex×eX是多少？

比如取x=2 X=3，那么有e2=e⋅e，乘以e3 即e⋅e⋅e，于是得到e⋅e×e⋅e⋅e，总共是5个e相乘。

这相当于指数相加，这是指数的重要法则，同底相乘 指数相加。

下面把这个法则应用于对数，取逆函数，两边同时取对数，希望结果如我所料，这个的对数是… 结果的对数是多少，是其指数，这个的对数是这个，就像e1 对数是1，e−1 对数是−1，这个的对数 也是其指数x+X，而x是多少，别忘了它是怎么来的，x是y的指数 即x=lny，而X=lnY。

写了一大堆符号，最后一行就是我们想要的结论，y乘以Y的对数 是两对数之和。

10.3.2 ln(yⁿ)

另一个公式也很重要，…证明什么的就免了吧，它和上头一个公式关系非常密切。

比如y2的对数是多少？这其实很简单，y2可以怎么理解，我们可以用之前的结论，y2的对数。

取Y=y X=x不就成了吗，于是lny2，等于x+x=2x，而x=lny，所以求某数对数的平方，只需要取两倍对数即可。

大家再一次的看到，不断平方数字会变得很大，但通过取对数 平方变成了x×2 放缓了许多。

这里一般性的结论对任意次幂成立，不只是对n=2 或n为整数成立，也不只是对正数成立 而是对所有n成立，结果是lnyn=nlny，这就是对数的第二条重要性质。

10.4 结束

今天讲了一些符号和概念，在引入导数之前 弄清楚对数函数是很必要的，想知道对数函数的导数吗？想提前知道答案吗？其导数… 不知道现在告诉大家合适与否，对数函数的导数是…y1​，很妙吧，这就是我们今天讲的这个逆函数的导数。

现在我们已经了解了这个函数，不妨换个字母来表示它，换个名字，当然 不是说连对数这个名字也换掉，我是说换个字母，大家完全可以写成 (lnx)′=x1​，将原来的字母y换成了x。

这一讲只是讨论对数的实质，在了解了这个中间过程之后，可以用回原来的字母，好 这就是逆函数了 谢谢。

本视频由MIT开放课件制作吉尔伯特•斯特朗主讲视频由Lord基金赞助播出帮助OCW继续提供更好的免费课程资源请登陆ocw.mit.edu/donate进行捐助