06-sinx和cosx的导数

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6.1 概述

好 这一讲还是讨论导数和斜率今天的主题是 数学上两个伟大函数的导数sinx和cosx

为什么我说它们是伟大函数从sin和cos中 我们看到了什么运动我们看到了振动 物体来来回回物体上上下下 比如圆周运动 比如心跳比如呼吸 比如地球的公转很多运动都是这种重复运动于是sin和cos就派上用场了

与之相对的是增长运动 如幂函数x³ xⁿ如果想要增长速度很快 还有eˣ减少足够快的则是e⁻ˣ

我们今天要讨论的是来回振动的重复运动凡此种种均包含sin和cos

为了说明这一点我将…大家都知道三角函数sin和cos来自于三角形现在我要让三角形运动起来圆内作这么一个三角形 其一个顶点落在圆心另一顶点落在圆周上我让它运动起来 圆周上的顶点作圆周运动这样得到的运动…

这种绕圆周一圈圈的重复运动非常完美运动的结果也非常棒即sinx的导数为cosx而cosx的导数是-sinx 没有比这更棒的了每解释到此 我总是兴趣盎然

6.2 零点处

然后为了帮助求导 我们将需要考虑极限我们将能够发现这个的极限是非常关键的角度趋于0时 角度的正弦值除以角度本身的极限当然 它角度不能为0sin0=0 得到0/0的形式 这是微积分的一大问题角度不能为0 因为0/0没有实际意义我们只能逐渐接近 如果画图或者用计算器算的话 会发现这个比率将非常接近于1今天 我们将从sinθ的意义出发证明这个极限

6.2.1 三角函数

回想一下三角函数的意义是什么这可以追溯到很久以前可以一直追溯到毕达哥拉斯¹这里的关键性质是大家应该都知道的 直角中a²+b²=c²这就是直角三角形最基本的公式

1

毕达哥拉斯定理即勾股定理

我不知道毕达哥拉斯是否给出了证明但至少他的后辈们给出了证明爱因斯坦给出过证明某位美国总统也给出过证明1876年美国第20届总统伽菲尔德(James A. Garfield)证明过勾股定理

这是一条基础性质 然后我要将两边同时除以c²将等式右侧化为1同时除以c² 得到a²/c²+b²/c²=1同时图中的斜边也设为1那么邻边就是a/c邻边比斜边得到cos因此这里可以写成(cosθ)²把θ写进来 它表示中间这个角度我们知道了 a/c=cosθ那么b/c就是sinθ了两者平方和为1这就是用sin和cos表示的勾股定理

所以邻边=cosθ 而对边=sinθ我喜欢这个角 因为它可以运动随着此点在圆周上匀速运动角度的大小也会改变这个底边会忽左忽右 忽左忽右而这个高会上上下下 随着cos和sin的变化而变化而我想知道运动速度是多少这是圆周运动

6.2.2 弧度制

我将引入弧度制的概念我给大家说明下 弧度制是什么 及为什么需要用到它

为什么不直接使用360°来表示圆周呢360°是个不错的数字 我承认估计有人很喜欢这个数字并选择用它表示所有的角度 不过…它虽然很赞 但不自然就好像杜撰出来的这就不好了

我们需要用自然的方式衡量角度如若不然如果用度数衡量x 那么这个公式就不对了前面会得到一个讨厌的常数 我需要让它为1所以必须用正确的方法表示角这就需要引入弧度制

弧度制中 角度用弧长来表示如果这段弧的长度为θ那么角度就是θ弧度 而弧长为θ那么整个圆周是多少弧度整个圆周表示角度为一圈所以其弧度是周长2π因此360°等于2π因此2π就是对圆周的自然描述没办法 这就是事实弧度才是衡量角度的正确方式

6.2.3 证明思路

好 下面我将找出其导数从点0处开始得到了点0处的导数 其它点就容易了看看正弦曲线的图像 从0点开始我们知道sinθ是怎样的我关心的是其导数导数就是这门课的主题 "微积分之微分学"我想知道0点处的导数结果是1如何证明它等于1呢…我来证明一下吧证明是出于完备和严谨等考虑的大家必须了解正弦函数和余弦函数 这是非常核心的内容

下面我要证明斜率为1 怎么证明呢我将…这个就是斜率对吧如果水平位移一个很小的θ 那么竖直位移就是sinθ这样就可以算出平均斜率如果按照以前的说法 我可以记作Δθ不过老写Δ太麻烦因此水平位移为θ 竖直位移为sinθ对于sin曲线我插一句sin曲线略低于直线y=x好 这里竖直位移比水平位移=Δsinθ/Δθ由于是从0点开始所以sinθ就可以表示竖直位移而水平位移可以表示为θ 所以这就是平均斜率

微积分关注的永远是极限过程关注渐渐趋近于某点的情况求得某点处斜率往往称作瞬时速度 斜率或导数

下面看看是怎么得来的我要证明sinθ/θ总小于1我要证明两个点首先证明sinθ/θ…不对…sinθ…除以θ…噢 我整理下我想我应该写得更简洁一点我要证明的是sinθ<θ这对于θ>0时成立这就是我要证明的

它表示…它表示sin曲线在直线下方在45度直线 也就是切线下方这等价于sinθ/θ<1那么比1小多少呢

如果只知道这些只知道小 但也有可能是小很多因此下方还需要画点什么

下面我们找到了奇妙的cos曲线所以我要证明的第二点是 cos…写成这种形式吧 我要证明的是tanθ>θ同样 θ需要在一定范围内 首先有θ>0然后这边就写小于π/2吧关键是在0点附近 这就行了

…记得什么是正切吗显然 tanθ=sinθ/cosθ所以这等价于sinθ/cosθ>θ这就是我们要证明的我可以把θ和cos换个位置这就得到sinθ/θ大于cosθ这与这等价 这与这等价这就是我要证的这说明这个比值 在cos曲线上方

现在大家应该相信这个结论的正确性了吧如果这些都是对的 图也是对的…我没有细谈过极限的知识如果大家想学 今后再说不过 下面的推理必然是正确的这条曲线夹在cos和水平线中间随着θ逐渐减小 逐渐趋近于0它被夹在两个极限为1的曲线中间请允许我说 这简直是明摆着的总之 极限重叠在一起好 这些就是我要证明的

我需要用三角法来证明我需要作图来使大家信服这个图不大好 只是sin的草图我没有说明sinθ的来龙去脉那么 这个记作1号这个是2号只要证明了这两个 问题就得证了我们就能知道 sinθ/θ夹在中间 趋近于1了我们也就证明了开始时的问题你们将看到这些公式在曲线上很容易求得

6.2.4 三角法

式子1

准备开始证明它俩了 1号和2号1号 为什么sinθ…这张图上就能看出究竟 没错通过这张图来证明看 这部分是sinθ我要证明这个长度…我要证明的是sinθ<θ我把要证的再写一次数学中 时刻提醒自己在做什么 是很好的习惯sinθ<θ

为什么 看出来了吗这个是sinθ 对吧θ在哪由于θ用弧度表示θ表示圆弧的长度 它显然更长最短的是这个垂直距离也就是sinθ较远的是绕圈 最后在这里停下这就是θ明白了吗 也许我还得讲得更明白点 再加一半这就是2sinθ而这 是2θ显然两点之间直线最短

那么sinθ<θ 通过图像就算证明完成了这种方法用到了sinθ的几何意义 这是一种基本思路

式子2

下面还需要一个图还要一个图来证明2号式子即证明tanθ>θ这是另一件差事

我还是用几乎同样的图吧还是一个三角形还是有一个圆圆画的不赖这里有角θ然后我要…数学中总是充满了技巧看这里我要把底边延长过来 令它为1这个仍然是角θ从图中得知什么这个三角形是那边的放大版现在底为1 高是多少由于对边比邻边就是tan值tan表示比 与三角形的大小无关它等于对边比邻边 等于sin比cos这就是tanθ它等于这个距离比上1 很好那么式子2 怎么证明

下面请大家…暂时撇开距离 思考一下面积面积怎样了我马上就能看出 这个三角形的面积小于…不对 这不是个三角形这是饼的一小块 一小块扇形那么阴影部分面积…看得清阴影吧…这个扇形的面积我称它作饼块如何它的面积小于三角形的面积我们可以算出三角形的面积

• 三角形的面积是多少 很容易算它等于1/2的底乘以高这里三角形的面积是1/2乘以底1 再乘以高好

sin的位置对上了我们要的就是tanθ大于某值

• 我们希望阴影部分面积即扇形的面积等于1/2θ很奇妙吧

看这个面积毫无疑问 扇形在三角形内其面积必然小于三角形

我只需要搞明白为何扇形的面积是1/2θ 问题就解决了要知道 使用弧度制还有一个好处它方便计算面积可以将这一小块的面积和整块的面积进行比较整块的面积是多少…我现在解释的是1/2θ它相对于整块而言pie(饼)和pi(π)同音真是闹得不愉快不是故意的 原谅我吧

求整个圆的面积 已知半径为1根据面积公式πr²代入r=1 面积等于π天 我早该想到那么扇形占了多少对于整个圆 角是2π而这部分角是θ扇形的占比是θ/2π这是扇形的占比 然后乘以整块的面积π明白了吗这块饼 或者说批萨嗯 我早该说批萨的 自己就不会糊涂了这一小块批萨和整块之比 为θ/2π

好 假设批萨切成六块每块就是60度角 现在我不想用度数那么每一块的角是什么呢切成六块时每一块是多少它是360度的六分之一 这我知道 但我不用度数它等于2π的1/6

而这个是θ/2π最后π消掉θ/2就是扇形面积 最后1/2也消掉了式子2成立

太棒了或多或少 这应该是我们第一次在微积分里碰到这么复杂的问题sinθ不能直接除以θsinθ…我们不能直接相除必须令两者同时趋近于0我们观察它们比率的变化

6.3 任意点

下面 我要做了断了我将回过头求出所有点处的导数所有点处

6.3.1 求导sin

从sinx开始吧我想怎么做这里是sin曲线它的上下波动 取任意点x突然间 角就被我从θ换成x了因为现在讲的是函数x表示函数更好 更习惯这是sinx的图像x以弧度计要求出特定点处的导数我该怎么做

求出它的sin值向前平移Δx计算x增加后的sin值导数就是sinx的变化量除以x的变化量最后当然还是要让增量Δx逐渐减小这才是微积分嘛

关键问题是 现在x不是从原点开始了一开始算的是原点 现在算的是任意点这是x 这是x+Δx 稍微增加了一点可以把它写成我们熟悉的形式 即sin(x+Δx)-sinx然后除以Δx同原来一样 我们不能直接做除法

我们需要用到三角学 参考sin(a+b)的公式两角和有个很漂亮的公式记得那个公式吗它等于第一个角的sin值乘以第二个角的cos值减去第一个角的cos值乘以第二个角的sin值还记得吧三角函数的两角和公式非常漂亮

然后要减去sinx下面减去sinx这里得到减1然后再除以Δx这个除以Δx 这个也除以Δx这个形式就好办了根据三角函数公式 最终得到我们能够处理的式子

为什么说能够处理呢因为这就是我们刚才搞定的Δx现在趋近于0这个点逐渐接近这个点我们这里成功得到两项这个sinΔx/Δx 当Δx趋近于0时 它趋近于什么它趋近于1 这个我在右边写了一整块黑板这个趋近于1…等等 这里应该是加号所有观众朋友们都这样认为吧我搞错了两角和公式它应该等于sin×cos+cos×sin再次表示抱歉这里Δx→0时 sinΔx/Δx→1

然后还有另一块需要求的我们需要这个比值趋近于0(否则导数就不是cosx) 这就需要再次回到右边的黑板 看看0点处的cos曲线这个比值其实就是0点处cos曲线的斜率

此处 cos曲线的斜率应当等于0而sin曲线的斜率等于1看明白了吗这一项没有了 因为这个比值为0所以得到cosx乘以1 最后整个等于cosx目标达成这就是我们梦寐以求的公式(sinx)'=cosxΔx→0时Δsinx/Δx→cosx

看明白了吗我们使用了三角公式 最后算是没把sin的公式弄错差点弄错的一个原因是另一个求导公式 及我们需要用到的三角公式中确实存在一个减号它自始至终都存在

6.3.2 求导cos

下面 我想按照求导sin的办法 继续求导cos如果下面还有黑板的话 我就算算看好的 有

现在要求的是Δcosx/Δx这就是我们要化简的式子然后令Δx→0这个式子的意义是 cos(x加上少许增量)减去cosx 然后除以这个增量Δx这还是不能直接得出答案

还是需要用两角和公式化简cos的公式 让我想想它等于cos×cos加上…不对 应该是"减"…减去sin×sin这是我们做梦时都应该记得的公式

还要除以Δx 噢 忘了减去cosx了这里有个cosx 所以要减去1然后再除以Δx这里一样看到了吗又是这种让人愉快的形式

这种形式中 Δx趋近于0时我们知道它趋近于1我们还知道这个 至少马上我会讲到它趋近于0

这同前面计算sinx导数时完全一样这一项最终还是会消掉只剩下后一项后一项中是1乘以sinx 额外还有个-号这就是最终结果了 极限是-sinx这就是cosx曲线的斜率总是记得 这里有一个负号这其实也是sinx的二阶导…

这些函数非常棒sin的导数是正的cos而cos的导数是负的sin证明基本上完成了

6.3.3 cosΔx-1

只剩下这一部分没有解决 下面就证明它这是这一讲最后的内容为什么该比值趋近于0这个比率表示什么

它与cos曲线相关0点处的cos曲线与此比值来自于0点处的sin曲线 是一样的道理这里取…这个是Δcos…其实证明这个方法很多 我只…我就… 来个直观的证明吧

cos在0点处的斜率是多少这个其实很好求 不用求极限 也不用花大力气我们只用加上cos曲线的另一半众所周知 它是对称的那么这一点斜率是多少

这又涉及到微积分最重要的应用了这就是确定函数极大值的问题cos的极大值就在这里cos在0处取到极大值1极大值处的斜率 很好我也可以通过这里的图像得到结论

但是 我有更好的办法 可以说是捷径极大值处的斜率为0直觉告诉我们 如果此处斜率为正函数图像还会上升这就不是极大值 因为后面还会增加如果斜率为负函数图像会下降 极大值显然已经过了而这里正好取得极大值所以此点处斜率必然为0这个0就是我们要求的

这里是cosΔx这里是1这是Δx这个比值是高:底它趋近于这个高:底随着两者逐渐接近 这就是导数极大值处导数为0

我的讲义中还有一种方法即 用这些性质也可以完成证明

6.4 结束

好 下面稍微回顾下都在这块黑板上我们今天讲了微积分中两个伟大函数的导数之前我们讲了xⁿ今后还要讲到指数函数和对数函数这些就是最重要的函数 谢谢

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