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对数函数和反三角函数的导数

11 对数函数和反三角函数的导数
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11 对数函数和反三角函数的导数
开场
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逆函数性质
逆函数性质
对数函数导数
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对数函数导数
推导
推导
结果
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性质
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反向
反向
反三角函数导数
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反三角函数导数
arcsin
1
arcsin
cos(sin⁻¹y)
cos(sin⁻¹y)
arccos
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相加
相加
出处
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课程目标
课程目标
重要法则
重要法则
f(x)=eˣ及逆函数
f(x)=eˣ及逆函数
f⁻¹(f(x))=x
f⁻¹(f(x))=x
链式法则求逆函数导数
链式法则求逆函数导数
y=ax+b
y=ax+b
x=(y-b)/a
x=(y-b)/a
先乘后加
先乘后加
先减后除
先减后除
逆向步骤
逆向步骤
路途往返
路途往返
例1:ln(eˣ)=x
例1:ln(eˣ)=x
例1:两边求导
例1:两边求导
例1:替换移项
例1:替换移项
例1:x换成y
例1:x换成y
意处惊喜
意处惊喜
(xⁿ)'=nx⁽ⁿ⁻¹⁾
(xⁿ)'=nx⁽ⁿ⁻¹⁾
求导得-1次方
求导得-1次方
符号不重要
符号不重要
对数增长慢
对数增长慢
逆函数图像性质
逆函数图像性质
主要公式
主要公式
例2:eˡⁿʸ=y
例2:eˡⁿʸ=y
例2:两边求导
例2:两边求导
例2:替换移项
例2:替换移项
例2:lny导数
例2:lny导数
逆函数非常重要
逆函数非常重要
指数函数太重要
指数函数太重要
求导arcsin
求导arcsin
例3:y=sin(sin⁻¹y)
例3:y=sin(sin⁻¹y)
例3:两侧求导
例3:两侧求导
求cos(sin⁻¹y)
求cos(sin⁻¹y)
画错图
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y=sinθ图示
y=sinθ图示
cos(sin⁻¹)的值
cos(sin⁻¹)的值
求cosθ思路
求cosθ思路
例3:替换移项
例3:替换移项
例3:arcsin导数
例3:arcsin导数
常用式子
常用式子
求arccos导数
求arccos导数
例4:arccos导数
例4:arccos导数
导数相加为0
导数相加为0
常函数导数
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原函数相加为常数
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两角相加
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重要结果
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说明
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对数函数和反三角函数的导数

08-02
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11 对数函数和反三角函数的导数

出处 出处

https://ocw.mit.edu/courses/res-18-005-highlights-of-calculus-spring-2010/

开场

目标 课程目标

开讲 之前我们介绍了对数,它是指数函数的逆函数,现在我们将引入微积分,求对数的导数,我们还要讨论其它一些逆函数 比如这个就很重要,sin的逆函数 有时也记作arcsin我们也会求出它的导数。

重要法则

我们现在所做的是,大体列出导数的所有重要法则。

  • 我们会求和的导数,直接将导数相加即可,

  • 减法的导数就是导数做减法,

  • 乘法法则我们也知道,

  • 还有除法法则 。

这就是求导的四则运算了。

  • 然后最最重要的就是 链式法则了,千万别忘了它也是求导法则 千万别。

  • 下面还要加一个,f的逆函数,这是今天的话题,逆函数的求导 将完成这个求导法则的列表。

通过一些简单函数,像指数函数 三角函数 幂函数,这些法则可以料理出所有常用的函数。

f(x)=eˣ及逆函数

下面 从最重要的开始讲,f(x)=ex其逆函数就是我们的自然对数了,注意这里 我是如何换字母的,这里x是输入,y是输出,指数函数中是如此。

所以 对于逆函数,y变成了输入,输出产生原来的x需要记住的是,需要记住的是 x是指数,对数求的是指数。

f⁻¹(f(x))=x

这里其实有一个函数链,一个非常棒的函数链,这是逆函数的法则,x开始,f(x)得到y然后求逆函数,这就回到了x这就得到了一条函数链,这个链结果非常特别。

链式法则求逆函数导数

这里的情况是 如果我们知道如何求导f,链式法则可以告诉我们,如何求逆函数的导数,我就用这个重要的例子来实践一下吧。

对了 倒过来 也可以用链式法则,如果输入y求逆函数 得到x然后f(x)=y

逆函数性质

y=ax+b

在我用ex之前,我们先看另一个函数,我总喜欢从它开讲起,这里的例子是…,它能帮助我们回忆下逆函数是怎样的,线性方程y=ax+b这就是f(x)了,线性。

x=(y-b)/a

其逆函数是什么,逆函数的关键是,我需要解出y的表达式 来表示xb移到另一侧,最后 我想得到x等于某某,可以将b移到另一侧,得到ax 还需要除以a这就得到x的式子了,这就是逆函数f−1(y)了。

先乘后加 y=ax+b

注意逆函数的一些性质,这里是函数f(x)是否有点像两步完成的呢,它自身就像是一条链,第一步是乘以a先乘 然后 加。

先减后除 x=(y-b)/a

逆函数干了些什么,对逆函数输入y它减去b所以它首先进行了减法,得到yb 然后做除法。

逆向步骤

我想说明什么问题呢,我想说明 如果函数由两步构成,本例中是乘法和加法,逆函数执行的则是逆步骤,用除法代替乘法 用减法代替加法,而且顺序相反,注意到乘法在前 而除法则在后,加法先做 而减法却是后做,逆函数中… 算了 你们懂的,这是必然的 必然如此。

路途往返 逆向步骤

就好比 我站在沙滩上,然后 走到水边,游到船坞,这是我从现在的位置到船坞的函数f(x)那么 我如何返回呢,应该是首先游泳对吧 肯定不能先走路,从船坞 只能游回来,游过去的,逆情况中 你就需要游回来…算了 你们懂的。

对数函数导数

推导

例1:ln(eˣ)=x

下面才是真格的了,我要取一条函数链,然后求导 就用第一条吧,第一条链表示 lnex=x对数就是这么定义的。

例1:两边求导

我们取,这个方程的导数,两边同时求导,ln的导数是我们要学习的 是未知的。

求右侧的导数 显然得到1再看左侧 这就有趣了,这 要用到链式法则,某某的对数 我需要求导…噢 这里我需要更多的空间 写这里吧,lny的导数,y就是ex 这大家都知道吧,这里是lnyy的导数,然后根据链式法则 我还要求内函数的导数,内函数是exdxdy 写下来,而右侧的导数,非常简单的是 右侧的导数是1很好。

例1:替换移项

我要求这个是什么 而这个我知道,dxdy 指数函数的导数,下面要用到的性质 也是构建指数函数最重要的性质,dxdy就是ex这没问题,然后把它除过来,来求我要的。

例1:x换成y

几乎成了,我是说 我们基本上求出了lny的导数,结果很对,但是,还有一步要走,我要求的是y的函数,lny的函数,求导的结果也应该是y的函数,所以有必要把x换成y很容易,ex等于y

结果

意处惊喜

欧 看看这个美妙的答案,ln的导数,我们要求的这个,它等于y1我为何说美妙呢,因为,这完全是意外的惊喜,我们求得函数lny其导数是y1关键是… 这个其实是−1次方,这个幂次 是我们之前求导时唯一没有得到的。

(xⁿ)'=nx⁽ⁿ⁻¹⁾

我把它写下来,记得吗,我们一开始讲的导数,是求导xn幂函数,大家都知道 它等于nxn−1任意次幂函数的导数是少一次幂的函数。

求导得-1次方

例外只有一个,n=0我写一下吧 例外 n=0当然 其实n=0 也没错,我是说 公式仍然是对的,例外在于,n=0时 右侧等于0 得不到−1次方,求导时 没有幂函数能得到−1次方,这就像导数列表中的一个遗漏,没有幂函数能给出−1次方的导数,这里 它终于现身了,我是说…

符号不重要

也许你会说,这里干嘛用y 好吧 y是字母表第25个字母,

  • 如果谁更喜欢第26个字母 我没一点意见,你可以写成dzlnz=z1

  • 不过估计更多人估计喜欢写成,dxd 用24号字母,lnx的导数为x1你们这样写 我毫不介意,爱写x的请随意。

其实 之后 公式可以这么写,在这之前 我必须保证xy的逻辑关系,毕竟一开始我是从y=ex开始的,我写成y 这是为了保证不把自己弄糊涂,完事之后 大家用什么字母我都没有意见,

  • 如果是增长 可以考虑用t

性质

对数增长慢

大家想想,有了这些 我们就能知道为什么对数增长这么慢了,因为其斜率是y1看这个,用它来考虑图像,考虑x轴上的情况,这是对数曲线的斜率,对数曲线是在增长 但其斜率在减小,逐渐减小 当x很大时 它几乎不怎么增长了,它还是会持续上升至无穷大,但非常 非常慢,这是因为指数函数的增长非常 非常快。

逆函数图像性质

记得吗 逆函数图像其实是原函数图像倒过来,所以 如果其中一个疯长,另一个必然暴跌。

小结 主要公式

好,这就是今天这一讲 最主要的内容和最重要的公式了。

反向

例2:eˡⁿʸ=y

我可以…下面反方向来看下这条链,看看是什么情况,反方向是怎样的,我想 反方向是…原来我写的是lnex=x反方向就应该是elny=y相同的链 相同的f−1 只是放到了f前面。

例2:两边求导

我想干嘛,我想求导,求两侧的导数,y求导,很好 挺有意思,这是右侧的导数,左侧 稍微费事点,不过e的某次方 这种形式求导我们是会的,要用链式法则,当然是链式法则啦 我们干的就是这个嘛,因此e的某次方 记得链式法则吗,等于e的 还是那个某某次方,乘以,里面那个的导数,求导 内函数是这个,lnyy的导数,这就是我们想求的。

例2:替换移项

1没问题 那elny是什么呢,哈 上面一行不写着吗,elny=y这个括号内其实就是y把它弄过来,放到分母 还是原来的结果。

例2:lny导数

lnyy的导数等于(elny)1 也就是y1

逆函数非常重要

比起一般的课程 我们这里关于逆函数讲得多了一些,之所以如此 是因为它们并不那么简单,却又如此重要,这里指数和对数的联系即是如此。

指数函数太重要

顺便提下,我喜欢从指数开始,逻辑上 也许从对数函数入手,步骤也许会更流畅一些,对数函数取逆函数 就是指数函数了,但在我看来,指数函数太重要了,虽然对数也很重要 但显然不及指数函数,所以我喜欢从ex开始。

反三角函数导数

arcsin

过渡 求导arcsin

大家耐心了,我今天还要讲一个导数,第二个导数就是这个了,来吧,我想求导arcsin函数,推上去 写在这一边的黑板上。

例3:y=sin(sin⁻¹y)

x=sin−1y 通常记作arcsiny好,我们… 嗯… 那么…这里还是一条链,x开始 得到yy=sinxx=arcsiny就是这条链,y开始 求f−1f 最后还是y

例3:两侧求导

我感兴趣的是导数,arcsinyy的导数,还是套用之前的方法,但现在不是e 而是sin两边同时对y求导,我总是喜欢这个1这个对y的导数要用到链式法则,这里是某内函数的sin导数得到内函数的cos还要乘以内函数的导数,这就是我们要求的。

cos(sin⁻¹y)

过渡 求cos(sin⁻¹y)

这部分首先得求出来,也就是说 我们现在得考虑下,这里的逆三角函数了,逆三角函数是个什么故事呢,关键在于 这里是一个角。

失误 画错图

角 我画个三角形吧,这个是角θ这是sinθ这里是cosθ谁都知道 这个斜边是1这个是θ

推导 y=sinθ图示

好 噢 等等 我希望θ是……这个,这个角的sin值是…这个角的sin值是y好的,θ是正弦值为y的角,好,我呈现在图上。

推导 cos(sin⁻¹)的值

邻边是多少呢,我这里需要整个cos出来,这个边是多少,回到直角三角形最关键的公式 勾股定理,这一边等于根号下…这两边的平方和要等于1因此这里是根号下(1y2)这就是cos了,cosθ等于这个除以1

思路 求cosθ思路

到这一步,我这里只是很快地,随手画了一个三角形 角记作θ令它的sin值为y 然后求出了cosθ因此这里的θcos值应该是这个。

例3:替换移项

下面 我把结果写出来吧,1等于cosθ 也就是这个,乘以逆sin函数的导数,然后需要把它写成…我需要解出y我们需要将导数写成y函数的形式,这里只需要把这个除过来就行了,把这个划掉 写到这下面,答案就出来了。

例3:arcsin导数

这就是arcsin的导数,1除以根号下(1y2)

常用式子

这没有y1这么美妙,但这个也曾经多次出现在我们的问题中,sincos用于描述圆周上的往复运动,上上下下 来来回回 前前后后,而这个结果原原本本来自于勾股定理,它出现时 我们需要知道,它就是arcsin的导数。

arccos

过渡 求arccos导数

既然讲到这里了 我把arccos的导数也写出来如何,然后这一讲就算完了。

例4:arccos导数

arccos的导数,大家想想区别在哪,我们求导sincos时,cos求导会产生负号,因此这里是−1除以根号下1y2这其实有点出乎意料,这个函数导数是这个,这个函数的导数也是这个 只是多了个负号,

相加

问题 导数相加为0

也就是说 相加的话。嗯 最后几分钟 我们想想这个情况,假设将sin−1ycos−1y相加,其导数会消掉,导数之和,我就在这里弄个大大的加号吧,等于0这个的导数加这个的导数,是一个正的加一个负的 等于0为何如此,想过吗。

常函数导数

什么函数的导数为0你们应该知道什么函数的斜率为0常函数。

原函数相加为常数 导数相加为0

因此我说 这里必然有,arcsin+arccos是一个常数,其导数为0 皆大欢喜。

两角相加

事实也确实如此,arcsin给出的是这个角度,arccos函数会给出…另一个角标作α如何,一个是θ一个是α相信吗 三角形中,θ+α等于常数,致使导数为0当然 大家都知道的,θ+α 这是直角三角形,将两角相加 得到,90°常数 2π90°没问题 但这里不能这样写,必须用弧度表示,常数。

结束 重要结果

好 千万别忘了今天的重要结果,我们找回了原本遗失的−1次幂,下课吧。感谢收听。

说明 说明

本视频由MIT开放课件制作吉尔伯特•斯特朗主讲视频由Lord基金赞助播出帮助OCW继续提供更好的免费课程资源请登陆ocw.mit.edu/donate进行捐助

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