13 线性近似和牛顿法

https://ocw.mit.edu/courses/res-18-005-highlights-of-calculus-spring-2010/

概述

好 今天讲两则导数的应用。

• 第一则应用是，求函数f在x点的近似值 f(x)。

• 第二项应用是解方程，这里用大写的F表示，表示这里的函数与前面不同，用F将它们区别开来，这就是解方程的问题，牛顿给出了方法，经过数个世纪 方法仍然适用。

这基于什么，两种应用都基于同样的思想。

假设存在一点，在要求的x附近 在问题的解附近，这一点记作a，假设我们知道其斜率，知道此点处的导数，于是可以用f'表示导数，这就是这一点处导数的定义，而且我假设导数值是已知的。

然后我想通过已知的 附近a点处的斜率，来逼近解，前面是求f(x) 后面是求x。

还记得吧 这是Δf/Δx，注意到在不取极限时 这是两相邻的不同点，相距Δx，f在这些点处的函数值，f的变化量除以x的变化量，这就是x逐渐趋于a点时，函数的导数。

看下面的思想，我现在把这个擦掉，此时等号不再存在，变成一个约等号，斜率… 这是Δf/Δx，它不等于df/dx 不等于这个，但当x接近a 这个就会大体上等于，该点处的瞬时斜率，这就是我要用到的近似，作为f(x)的近似值。

对于左侧这个应用，已知x 我要求的是此点处的f值，那么 根据这个公式，把x-a乘过来，再将f(a)移过来，得到什么，约等号还在这里，把f(a)移过来 这样，然后是(x-a)乘f'(a)，这就是公式了。

我先稍微讲一下这个公式 然后来点例子，如果想求附近某点处的函数f值，一个好的办法是，使用这种线性近似，线性 因为这个的图像是一条直线，这里是直线的形式 而不是曲线，这就是今天这一讲要传达的信息 沿直线，这是一条从点x=a开始的直线，它斜率同f一样 即f'(a)，如果离得不太远，直线离f曲线也不会太远。

很好 等下再来讲例子，再讲讲这里对应的思想，记得写大写F，我来…找出它对应的公式，以帮助求这个方程的近似解，有何不同。

现在 我要求的是x，要求的是x 而F(x)是已知的，它等于0，还是看这个式子 换成大写F，F(x)已知为0 x是未知数。

还是像原来那样把等式整理一下，同原来一样 把x-a乘上去，然后这里总是约等于，F(x)=0，这里得到-F(a)，然后除以F'(a)，就是这个了，这就是牛顿的办法了，牛顿 和拉夫逊 将它推广到一般函数，这种近似解法称作：牛顿-拉夫逊方法 或称牛顿法，再一次地 我忘了… 这里应该是大F，黑板这右半边讲的都是大写的F。

当x和a相距不远，这个可以得到很近似的答案，待会 大家会看到一些图示。

线性近似例1

好了 开始讲近似的例子吧，我的第一个问题 第一个例子是，求平方根，我的问题是 求，近似地求根号下9点…稍微偏离9这个值，9.06。

这怎么应用刚才的方法，这里函数是平方根函数 x的1/2次方，其导数f' 这我们是知道的，是1/2乘x的低一次幂 -1/2次方，即1除以2倍根号x 很好，知道了函数 知道了导数。

然后选取附近且简单的点a，附近 表示离点9.06不远的点，同时平方根要好求，因此 要选的点是，a=9。

• 因此9的平方根正解是3 没问题，9处的函数值很好算。

• f'(a)等于1除以2倍根号a 根号9，得到多少 简单 这是3 得到1/6，也就是说 我知道9处的值，这就是我们选取的a点。

那么近似怎么说，这是f在这个附近点的值，x等于9.06 这就是我要求的x，它表示9.06的平方根，即f(x) 约等于，f(a) 即根号9=3，很好 这是一开始的估值，只用了根号9，但后面还可以改进，引入差值x-3… 噢… x是多少，代入x=9.06 这就是真正开方的x，减去a 即9，再乘以f' 我们求得为1/6，这就是沿这条直线的线性近似，这个结果是多少，3加上0.06除以6 得到3点… 多少，这个差是0.06，除以6 得到0.01，这就是近似值，比3更精确，这是沿着直线得到的。

作个图告诉大家 我说沿直线是什么意思，这是平方根函数，大概是这样的，这一点是x=9，其值已知为3，还知道什么，这则是9.06 稍微远一点，我要找的是 这个点，要求的是根号9.06，这里是9，这则是9.06，我如何逼近该点呢。

我不打算沿曲线逼近 算出根号9.06的精确值，没必要算得比计算器还准确，我只打算沿这条直线，这是一条切线，它通过我们曲线上的a点 斜率也和曲线相同，可以看到，沿着直线 这里是3，这里有一小段，非常小的一段 肉眼几乎无法辨识，我选取直线上这一点，这个水平Δx就是0.06，这一小段就是0.06，而这个Δf，就是加在后面的修正0.01，怎么来的，由于函数这一点的斜率是1/6，水平移动0.06 向上就是0.01，我这里做的 就是取这个点，作为我 比3更精确的根号9.06的近似值。

牛顿法例1

这是例一 下面看例二，不过首先 我还是来个牛顿法的例子吧，现在转到牛顿法。找一个方程还是用前面那个问题，函数选x²-9.06 然后令它为0。

我想保证两个例子的相似性，因为答案…两个问题其实都是求9.06的平方根，那么… 显然 根号9.06是方程的一个解。

还是在解附近取一个点a，a可以取3，3很接近于正确解，正确的x是根号9.06，我离它很近了。

此点处，求出F(a)，牛顿法需要知道F(a)以及斜率值，

• a点的函数值是，3平方是9 得到9-9.06，结果是-0.06。

• 而F'(a)，F的导数是什么，导数显然是2x，而在a点处，显然是6，这就是2x 2a，这是2a，因为计算的是a点的斜率。

我们还可以画图，图像很有趣 我作一下F(x)，函数F(x)是什么样子，是一条向上的抛物线，它从下面这里开始，向上弯曲 这样，这个点就是我要求的，这就是根号9.06，函数图像是x²-9.06，这就是我要求的点。

我不打算求它的精确解，我只想在附近找一点3，3点处精确值是已知的，斜率也已知，哈 我这种半吊子画画水平 图像都能看出来，这是3 写好一点，这一点的情况我了如指掌，我知道函数值，…这个其实非常小 负的，我还知道斜率… 这有点像，我把图像放大了，嗯 这里F是…这是-0.06，这就F的值，斜率则是6。

那么x是多少，想想解处的改进是怎样的，改进的近似值，不沿曲线求解 这过于精确，但要求太高，我沿这条直线，这就是更好的x，这好多了 看到没 噢…

我这里把数字写出来 你就会发现好多了，牛顿法得出的x是多少，这里用牛顿的公式，根据牛顿公式，x-a 即x-3，牛顿公式我这里就写等号了，这里求的是近似x，负F(a)是多少，是+0.06，除以斜率F'(a)=6，得到0.01。

这两个例子实际是相同的，因为平方根函数的图像，只不过是平方函数翻转得到的，平方根函数和平方函数之间，其实互为逆函数，其图像关于x=y对称，因此现在斜率是6 原来是1/6，而且如果…看这个距离，这个是距离x-a=0.01，这就是我的结论，若竖直移动6个单位 水平移动1个单位，由于斜率是6，好 很好。

那么 近似准确度呢，我忍不住要问，如果用3.01乘3.01，得到的结果离9.06有多少差距，有多接近呢 当然 不会完全相等，做乘法 得到301，903，相加 得到9 然后是小数点，还有0601，不管哪种方法 得到的都是3.01，这就是9.06的近似值，平方3.01 得到的值稍大，稍微比9.06大一点，稍微有点误差，稍微有点偏大，将其平方，误差在万分位，即小数点后第四位，这是两个平行的例子。

线性近似例2

下面回x到线性近似，我还有一个例子要讲，再回来给一个牛顿法的例子，这就是我的计划，例子一样两个，这对例子是相关的，下面两个例子有点不同。

下面来看例二，线性近似，例二，还是求某某的近似值，取e的0.01次方，e的0.01次方 值是多少，函数是e的x次方，现在求x=0.01时的值，这就是我要求的，还是不求确切的值，还是沿切线求值，求近似解。

从哪开始呢，从离这个很近的点开始，而且该点的值我要知道，这个很近的点取作，选a=0，这离0.01很近。

• 那么f(a)，就是e的0次方，也就是1。

• 根据直线的近似，我还需要知道a点的正确斜率，这里的斜率f'(0)我们知道，这是a f'(0) 0就是a，e的x次方导数很讨人喜欢 就是它本身，x=0点处 再次得到1，导数一样 还是e的0次方 还是1。

现在 我知道了a=0处的情况，我现在想近似地知道邻近点0.01处的情况，e的0.01次方近似等于…，e的0.01次方 这就是e的x次方，这是我的函数 我想求其近似值，通过已知点的值，已知点0处的值，正确的指数函数值是1，加上(x-a)，乘以这个邻点处的正确斜率，0 正确斜率则是1，当然 a就是0，我把a的所有已知条件都用上了，来求x处的近似结果，结果就是1+x。

有一种完美的方法 大家知道的，它能告诉大家 线性近似是什么。

还记得e的x次方的级数吗，函数是e的x次方，函数的近似是1+x，有什么联系，记得e的x次方，e的x次方的级数是1+x加上什么，1/2x平方，1/6x立方 这些都是高阶修正。

沿直线近似，忽略了这些部分，这些部分就是曲线e的x次方和直线的差，但如果离得很近，所以1+x… 这是1.01，x是0.01，这就是我的近似 1+x 这是我们关注的。

线性近似 可以用这个公式来求任意f的近似，在任意a处，线性近似与幂级数类似，比如e的x次方等于1+x+x²/2加上一大堆，相当于幂级数从常数项和线性项之后拦腰截断，这就是线性近似了。

你也许会问 下一项是什么，当然 我们还知道下一项是1/2x平方，再后面一项我们也知道，一般情况… 我告诉你下一项是什么吧，下一项是… 虽然用不上，有1/2 有(x-a)的平方，还有a点处的二阶导，这就是下一项了。

很好，明白线性近似的主要思想了吧，线性项以后就不要了。

牛顿法例2

最后 回头看一个牛顿法的例子，牛顿法的第二个例子。

我在想 我该怎么讲，我要按照它一般的用法来使用它，牛顿法一般是这样用的，求出解的近似，然后还要继续用它。

从3.01处 再近似一次，所以继续同样的步骤，来完成牛顿法的下一步，但a不同了。

F(x)还是这 我还是要解这个方程，但我要比3.01更接近解，之前从3到3.01更接近了 现在重新从这里开始，a现在是3.01。

• 我需要为牛顿法计算F(a)，于是要平方3.01，减去这里来看看，3.01平方 我们算过 还在那，将它减去9.06，F(a)就是这么多了，这已经非常之接近了，但与第二次近似后的结果比起来 这不值一提。

• F'(a)又是多少，取导数2x，a点处是2a，而a现在是3.01，所以斜率是6.02。

明白了吧，我正在移向这一点，也就是… 这个现在变成了a，这是第二次牛顿法的近似结果，这才是牛顿法通常的用法。

下面求新的x，改良了的x，好过3.01的近似，根据牛顿法 新的x-a，我用的就是那个牛顿公式，x-a应该等于-F(a)即0.0001，除以F'(a) 6.02，这个可以称作Δx 这是小小的修正，它是负的 意味着我们需要稍微往回。

图上看得出，沿切线我们稍微有点超了，曲线比切线早一点越过横轴，这已经非常接近了，这就得到了新的x，这里 3.01减去这一小块。

这就可以用计算器了，你们可以自己算一下，用计算器算出这个，然后平方，这个新x … 算算这个…，求出新x，平方 减去9.06 看看有多接近，我相信误差在…，我也不知道是多少，3.01减去这么一小点的平方 这超出了我脑袋的计算能力，但我有信心 误差在…，新x的平方… 这里是x新的公式，牛顿法的第二次近似，我想 这减去9.06…，搞不清楚 反正有一堆0，你们肯定希望我至少弄个1吧，那我就弄个进来吧，我打赌 反正在很多0后。

牛顿法是一个伟大的成功，沿直线 沿下一条切线 再沿下一条，很快就能得到精准的答案，得到越来越多位的精确小数。

好 这是微积分的两项应用，源自于相同的思想，Δf/Δx的相同思想，一个应用中，未知的是f，而这里 未知的是x，两种应用中 公式都给出了，非常棒 非常简单 非常准确的近似答案，很好，感谢收听。

本视频由MIT开放课件制作，吉尔伯特•斯特朗主讲，视频由Lord基金赞助播出，帮助OCW继续提供更好的免费课程资源，请登陆ocw.mit.edu/donate进行捐助。