14 幂级数和欧拉公式

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14.1 开场

上课 我想今天我要谈到幂级数，幂级数 项都是x的幂，一直下去，所有的幂 包括x4 x5 等等，这里的思想是把它们组合在一起，全部加起来，来得到某x的函数，这是微积分的又一部分内容，关于无穷级数。

什么叫把它们组合起来，我的意思是 用一些数乘以这些幂，这些数字记作a0​…第一个数是a0​，然后加上a1​x 某倍的x，再加上某a2​x2，某a3​x3 以此类推，这就得到一个函数，这个函数 我记作f(x)，这就是我这一讲的方法了。

这个其实我们在讲ex时讲过，回想一下ex 其级数是怎样的，我计划这样，我要找一些a，来匹配… 这个字眼写下来 匹配，在x=0处的，函数值，导数值，二阶导值，其三阶导数值，诸如此类，每一个a 比如a3​，其选取在x=0处 必须使得等式右侧导数值正确，三阶导数值正确等等，这就是泰勒级数，这种级数就称作泰勒级数，我这里只关心x=0的这些值。

好 对于ex，其所有阶导数都一样，都还是ex。

而且在x=0时 它们都为1，因此函数任意阶导数必然算出来都是1。

这倒不是说所有的a都必须为1，为何，因为比如我求这一项的导数，x3的一阶导是3x2，二阶导6x 三阶导6 这不等于1，它的三阶导是6 这不对，因此a3​=61​，这才能得到正确的1。

我还是写下来吧，我们刚才做的是求导xn，n阶导，xn的n阶导数是多少，这就需要用到导数的公式了，一阶导是nx(n−1)，这个的导数则是n(n−1)x的少一次方，点点点 一直下去，n次求导之后 得到什么，最终得到x0 常数，这个常数是多少，得到n(n−1)…所以n阶导数首先是第一次求导的n，第二次求导产生的n−1，一直乘下去 直到1，然后 这个叫作…因为它经常出现 所以人们给它起了个名字，也就是n的阶乘，记作n!，这就是xn求n次导数之后的结果。

所以对于特定函数ex，我可以写出它的级数，所有这些导数必须都得到1，但x的幂弄了一堆n!出来，因此这些a需要除以n!。

我们回忆下ex的级数，然后看一些新的函数 这才是这一讲的目标。

先看看ex，这和原来的方法稍有不同，但不失为一种好方法。

• 它在x=0时 等于1；

• 它的一阶导也是1，除以1! 也就是1。

• 而这里需要除以2，因为幂函数二阶导为2，我需要将它消掉；

• 这里需要除以…除以什么，6 因为其三阶导是6；

• 通项是，需要除以n!，因为取n次导数时，会得到n!，对吧，这一项的n阶导数 刚算出是n!，所以除以n! 让导数得到正确的1，这才满足ex。

所以这里的方法是 在x=0处匹配导数值，通过x的各次幂。

14.2 正弦函数

下面准备看一个新的函数，sinx是个很好的选择，就用这块黑板吧，下面重新找一个函数 不再用ex。

新的函数是sinx，我先来求一下它的各阶导，这很棒，sinx的导数 我让它们一字排开如何，这些就是必须匹配的值，我可以代入x=0 我们先还是来求导吧，正弦的导数是余弦，余弦的导数是负的正弦，负的正弦的导数是负的余弦，最后还是回到正弦，无限循环下去，这就是sinx的各阶导数，这里f(x)=sinx，这第一个函数就是了。

下面 代入x=0，我想知道0处的所有导数值，级数是在x=0附近展开得到的，因此x=0处 代入求解很易，sin为0 cos为1 −sin为0，−cos是−1 sin是0 无限循环下去，0 1 0 −1循环，好，这些就是需要匹配的导数值。

现在就可以构建匹配的幂级数了，sinx展开为幂级数，它等于什么。

• 它从0开始，常数项是0 因为sin0=0，x=0时 显然sinx应该是0；

• 下一项是x项 其系数为1，1倍x；

• sinx没有x2项；

• 那么 x3项是−1个吗，不尽然，−x3 还需要除以，6，因为三次求导之后 会得到6，所以需要除以6 即3!，就是这么个数 3×2×1 得6；

• 然后是四阶导数 四次项没有；

• x5为正，正号来自这里 这是0 1 2 3 4 5，x5 现在除以什么，5!，120；

• 然后减去 等等 减去x7除以7!。

我们建立了0点附近的幂级数，0点附近，擦掉这个1 简直是浪费空间。

x x3 都是奇次幂，因为sinx是奇函数，如果将x变成−x 那么函数值也将反号。

啊 我猜 如果代入x=π…，假设对sinx取x=π，代入无穷级数 等等等，结果得到π−6π3​−120π5​，这太荒唐了，但我们知道 结果肯定是sinπ，0，我就不算了 但这必然成立。

好 这是正弦函数，而且是奇级数 很好的例子。

14.3 余弦函数

然后 它的孪生兄弟要登场了，余弦函数，余弦函数的级数是什么，学这两个级数非常值，大家知道x=0处斜率是1 关于sinx这很重要，斜率为1，这里斜率确实是1。

那么 余弦函数呢，现在我可以代入…，余弦函数从这里开始，cos −sin −cos 现在f(x)是cosx。

我要求它的各阶导数，还是这三行，就像这里的三行，对象是余弦函数，因此从cos开始，其导数是−sin，再求导得到−cos，再求导是+sin，然后是cos，无限循环，−sinx。

下面代入x=0求值，系统性方法，求各阶导，代入0 求各阶导在0处的值。

函数本身 0阶导数是1，一阶导是0，二阶导是−1，三阶导是0 四阶导是1，0 以此类推，这和上面其实是一样的 只是后移从1开始，从cos开始。

求出了各阶导，然后就是构造cosx的级数了，它必须匹配上述值，还是一样，还是匹配我之前说的系数a0​ a1​ a2​ a3​，但现在有具体数值了，

• 这个级数开始是什么，x=0 cos0=1 这就是常数项；

• x项没有系数，线性项为0，因为cos一开始斜率为0；

• 然后非零项就来了，减去… 现在是什么 首先是常数项，一次方项没有，二次项是−x2，我们还需要匹配二阶导数，让导数等于−1，而现在是−2，求导会得到2x 然后是2，因此需要除以2 或者说2!，这就好了，现在就匹配二阶导−1了；

• 三阶导没有；

• 四阶导是正1 x4 除以，4!；

• 然后减去x6除以6! 以此类推，都是偶次幂，这些都是偶次幂，零次 二次 四次 六次幂。

因此它是偶函数，这表示cos(−x)=cosx，这对函数的奇偶性又提供了一种见解，其中正弦函数是奇函数的完美例子，而余弦函数是偶函数的完美例子。

但这太多太复杂，如果将级数拦腰截断 会如何，只保留前面的项 看看都代表什么。

假设只取到线性项之前，得到什么，这个单独的x表示什么，其实是0+x啦 因为0是常数项，这是线性近似，这给出了切线的方程，y=x 斜率为1。

还有更有趣的，把这个从这里截断，这是很重要的估值，这不是完全准确的cos cos还包括后面所有这些项。

别忘了 我一开始应该就提醒下大家的，n!增长飞快，而我们讨论的所有这些级数，多亏n!增长如此之快 而且作为分母，取任意的x 最后才能得到合理的结果。

如果取x=π，正弦级数结果是0。

如果往余弦级数代入x=π会得到什么，如果往余弦级数里代入π 耐心多算几项，结果会在cosπ附近，也就是−1，这个−1还真不容易看出来，这里是1−21​π2 结果大概是…，21​π2大概是5吧，但它们会相互抵消 变得很小 最终得到答案，−1。

好 这两个级数非常重要。

14.4 欧拉公式

然后我准备讲伟大的欧拉公式了，伟大的欧拉公式，它将这三个级数联系起来。

为了讲清这种关联，我需要引入虚数i的概念，准备好了吗，想象有这么个i，大家应该都知道它是什么吧，即假设i2为−1，众所周知 没有这样的实数，实数的平方必然大于等于0，于是人们就发明这个符号i，规定任何时刻碰到i的平方 都可以当−1处理。

那么欧拉公式又是什么呢，欧拉公式的伟大之处在于，将这些ex级数中的x考虑为虚数，将x看作ix，于是就得到虚数。

我要用欧拉… 用泰勒级数…，也许欧拉就是这么想的，这个e就是他首创的 也许吧，我想他就是这么找出这种联系的。

取eix，级数中的x都用ix替换掉，试试 将x虚数化，写出来 怎样，1加上 用ix代替x，然后是2!1​(ix)2，然后是31​(ix)3，然后4!1​(ix)4等等，这就是eix，我只是将ix代替了x。

下面是关键，下面观察一下 这一堆乱码，我要分离出实数的部分，和虚数部分，我要将其分成实部和虚部。

这玩意哪部分是实的，可以看到1显然是实数，你能看出下一个实数吗，它由i2得到，i2可以写成−1 如假包换的实数，得到负的 负号来自i2，2!1​x2不变，只是将i2写成了−1而已，然后还有一些，来自于i4，想想i4是什么，它是(i2)2，(−1)2得到+1，这里是正号，很棒。

然后是含i的项，这些项存在消不掉的i，i×x，现在是i3，i3如何处理，i3是i2×i −1×i，i2×i得−i，所以 这里有个−i，3!1​x3，以此类推。

• 看出来了吗，这个实部是什么，它就是cos，瞧 一模一样，因此实部是cosx，

• 然后是i乘这个级数，这个级数看出来了吧，它是sin级数，x−61​x3+1201​x5，这是sinx。

这就是欧拉公式，eix… 看来得另找一块黑板了，写在这里吧，从这块黑板抄一下，欧拉公式，eix结果是 实部cosx 虚部isinx，把它写在这里，eix=cosx+isinx。

我还想画个图，画在这里。

实际上 欧拉不这样写公式，我们也不这样写，想想这里是余弦和正弦，这里的x其实是角度，因此更自然的写法是，由于这里是正弦和余弦，更自然的写法是，用某些角度符号 比如θ，这才是我们通常见到的形式，这里只是改变下符号，用θ代替x 时刻提醒这里是角度。

下面作图，这是… 我要作图了，这个是实方向，而这个是虚方向，这是实数部分cosθ 到这里，这就是cosθ，然后竖直方向表示虚数，横轴表示实部，竖直表示虚部，sinθ就是这个高度了，而这个角度就是θ，美妙，这就是欧拉公式的图像。

不过 公式才是最棒的形式，这是美妙的公式 而图像是便于我们直观理解用的，好的 呃…，这个 我们可以称作复平面，这里的点都包含两部分 实部和虚部，没有比这更复杂的了 所以叫复数。

14.5 两个级数

下面 在下课之前，我们已经讲了3个重要级数，再讲两个如何，从长长的级数列表中选讲两个。

几何级数

其中一个是最重要的级数，即所有系数为1的级数，它系数全部是1，这叫作几何级数 写下它的大名，这也是泰勒级数 也是幂级数。

它的函数是，1−x1​，就是它了，为什么，如果两侧同时乘以1−x 这里得到1，观察会发现 除了1 这些都会消掉，就是这样子。

这个级数和ex之间存在显著差别，最大的差别是，这里没有了n!，因此，这些项并不一定越往后越小，除非x<1，所以x<1时 这个才成立，而这些x可以是负数，所以可以写成∣x∣<1成立，这时这些项会越来越小 。

但x=1时 就死翘翘了，x=1时，得到1+1+1… 一大堆的1，无穷多个，所以左侧也是无穷大，x=1 爆掉了。

对数的级数

好 再来最后一个级数 就下课，很简洁 它引入了对数。

我要从这个最重要的级数出发，几何级数，我要逐项对它进行积分。

• 对1积分 得到x；

• 对x积分 得到2x2​；

• 积分x2 得到3x3​；

• 4x4​ 等等；

不是3! 只有3。

• 再看这个的积分，先写答案再说，，对这个结果求导 就能检验正确性了，这个答案是，负的 这个负号到了前面 得到−ln(1−x)；求导数验证下，对数导数总是把内函数放在分母，然后求内函数的导数 链式法则，出来一个−1 和外面的消掉了 正确。

看看这个对数的级数，ln(1−x) 这里还是考虑x=0的情况，x=0时 这个函数没问题，x=0时 函数是什么，函数是ln1 也就是0，没有常数项 吻合。

关于这最后一个例子 还有什么要讲的，这个对于x<1奏效，但在x=1时就玩完了。

这个呢… 它还有点救，除以3 4 5什么的 但这杯水车薪，这与除以阶乘毫无可比性，阶乘才能帮上忙，所以此级数 也只在x=1以内成立。

同样 在x=1时 它不再成立，x=1处 得到ln0，负的−∞ 这就又得到无穷大了，x=1时 这一侧是1+21​+31​+41​+51​… 逐项减小但太慢了，最终相加得到无穷大。

这个展开讲 还可以讲上几个小时，1+21​+31​+41​… 以及其它数项级数 不是重点。

我要讨论的是微积分 导数 积分，我关心的是函数项级数 幂级数 而不是数项级数，好的 谢谢收听。

本视频由MIT开放课件制作，吉尔伯特•斯特朗主讲，视频由Lord基金赞助播出，帮助OCW继续提供更好的免费课程资源，请登陆ocw.mit.edu/donate进行捐助。