Reed-Solomon概述
【Reed-Solomon 擦除码 Python 实现 一 (上)：多项式编码的原理】 https://www.bilibili.com/video/BV1CC4y1S7CL/?share_source=copy_web&vd_source=04259c9260832797bf08914e26e438d5
基本原理
Reed-Solomon码是一种强大的纠错编码技术，广泛应用于数据存储和传输系统中。其核心思想是通过引入冗余数据来实现对原始信息的保护和恢复。
Reed-Solomon码工作流程是：将k个数据位编码为n个编码位(n>k)，在传输过程中即使丢失部分数据(只要剩余数据量≥k)，接收端仍能完整恢复原始信息。
例如，将6位数据编码为8位，允许传输过程中丢失任意2位数据，接收方仍能准确还原原始6位数据。
数学基础
Reed-Solomon码基于多项式插值原理：
任意k+1个点可以唯一确定一个k次多项式
两点确定一条直线(一次多项式)
三点确定一条抛物线(二次多项式)
四点确定三次曲线等
这一特性使得：如果已知某多项式上的多个点，只需其中足够数量的点即可重构整个多项式。
如果已知某条抛物线上的5个点，那么用其中任意 3 个点就能还原整条曲线。
两种视角
**原始视角(Original View)**：
主要用作擦除码(Erasure Code)
编码：使用范德蒙矩阵进行矩阵-向量乘法
解码：通过矩阵求逆和基本行/列操作
**BCH视角**：
作为纠错码(Error Correction Code)使用
编码：采用多项式除法和余数计算
硬件实现：使用线性反馈移位寄存器
应用场景：QR码、广播通信等
纠错能力
Error Detection Code 检错码：仅能发现数据错误，但无法修复。
Erasure Code 纠删码/擦除码：能恢复丢失的数据，但前提知道丢失的位置（如丢包、磁盘损坏）。
Error Correction Code 纠错码：能自动检测并纠正错误，无需知道错误位置。
检错码难度最小，其次纠删码，最后纠错码。
从数学角度上讲：
**检错**：校验方程 $H⋅rT=0$（非零即错）。
**纠删**：解方程 $H$ 已知$⋅eT=s$（已知擦除位置）。
**纠错**：解非线性方程 $H⋅eT=s$（需搜索错误模式 $e$）。
**检错**：发现房间里有异味（无需知道来源）。
**纠删**：知道垃圾桶的位置，直接清理。
**纠错**：在未知位置中寻找异味来源并清除。
对于Reed-Solomon码来说，若原始数据为 $k$ 位，编码后为 $n$位，则允许 $(n−k)$ 位丢失或 $(n−k)/2$ 位出错。
以传输香农生日 19ab-cd-ef 的6位数据为例：
使用9位表示：可容忍丢失任意3位(擦除码)
使用10位表示：可纠正任意2位错误(纠错码)
具体实现时，将数据作为多项式系数构造多项式，然后计算多个点值进行传输。接收方通过收到的足够数量的点值求解方程组，即可恢复原始数据。
