【Reed-Solomon 擦除码 Python 实现：二 (甲) 范德蒙矩阵】 https://www.bilibili.com/video/BV1ue411B75E/?share_source=copy_web&vd_source=04259c9260832797bf08914e26e438d5

$$中，x 预先约定，message 控制多项式 $$ 的系数，实际传输的是 y 值。

Encoding: polynomial evaluation, matrix-vector multiplication
Erasure Decoding: solve linear equations

Shannon's Birthday date as polynomial coefficients

Message: 6 digits of the date are [d0, d1, d2, ..., d5], let's make a polynomial of degree 5 using those coefficients:$$

Codeword of 9 values: [c(0), c(1), c(2), ... c(8)]

Shannon's Birthday using Vandermonde matrix：

$$

$$

假设 c0, c4, c8 丢失，我们用剩下的数据列线性方程组。

解出 d = [1, 6, 0, 4, 3, 0], 故 Shannon 的生日是 1916-04-30。

多项式编码的基本原理是这样，实际上还有一些困难需要克服，才能投入使用

• 消息长度 k = 多项式次数 + 1，codeword 长度为 n，如何保证任选 k 行始终有解

• 编码不用大整数 $$，解码不用浮点数。

• codeword symbol 的取值范围最好和 message symbol [d0, d1, ...] 一样，都是字节 [0, 255]。这就要用 Finite Field，也叫 Galois Field 迦罗华域。

• 如何在没有传丢数据的情况下跳过解码步骤

  • systematic code: [c0, c1, ..., c5, c6, c7, c8] = [d0, d1, ... d5, p0, p1, p2]

如果 d0.. d5 中没有丢失(erasure)，那么无需解码。

$$$$Generator matrix $$ for parity.$$$$

运用消元法，将范德蒙矩阵进行消元便可得到该矩阵：

或者，通过逆运算

Sysieniatic enciding using inverse of Vandermonde matrix

也可通过列变换：

Systematic encoding

如果 $$ 中没有丢失(erosure)，那么无需解码。
纠错能力

• 假如 $$ 中丢失任何一个，那么只要知道 $$ 中的任何一个就能恢复。

• 假如 $$ 中丢失任何两个，那么只要知道 $$ 中的任何两个就能恢复。

• 假如 $$ 中丢失任何三个，那么要知道 $$ 才能恢复。
  注意是丢失，不是传错，这是 erasure code 区别于 error correction code 的地方。

假设丢失了 $$，如何从 $$, $$ 恢复 $$ ？

对左边的矩阵求逆

假设丢失了 $$，如何从 $$, $$ 恢复原始数据？

如法炮制

要求：$$ 的任意 $$ 行都是可逆的。

Send [1, 1, 4, 5, 1, 4, 10, 14, 12]
Got [1, 1, ?, ?, 1, 4, 10, 14]