2.3理想光学系统的物象关系
理想光学系统的物象关系
图解法求像
在理想光学系统中，给定物方主点 H、像方主点 H′、物方焦点 F 和像方焦点 F′ 的位置，通过画图追踪特定光线路径，求解物点 P 的像点 P′ 的方法。
核心是利用光线的共轭性质：从物点 P 发出的任意两条光线，其像方共轭光线的交点即为 P′。
可利用的典型光线性质包括：
①入射光线平行于光轴，出射光线通过 F′；
②入射光线通过 F，出射光线平行于光轴；
③倾斜于光轴的平行光束入射，出射后会聚于像方焦平面上的点；
④从物方焦平面上一点发出的光束入射，出射为倾斜于光轴的平行光束；
⑤物方主面和像方主面上的共轭光线投射高度相等，即 h=h′。
其中：H 为物方主点，H′ 为像方主点，F 为物方焦点，F′ 为像方焦点，P 为物点，P′ 为像点，h 为物方主面投射高度，h′ 为像方主面投射高度。
轴外点
在光学系统中，对于轴外点B或垂轴物体AB，可通过两条典型光线图解求像。
第一条光线从B点发出通过物方焦点F，其共轭光线平行于光轴。
第二条光线从B点发出平行于光轴，其共轭光线通过像方焦点F′。
这两条光线在像空间的交点B′即为B的像点，过B′作光轴的垂线A′B′即为AB的像。
其中：B表示轴外点，F表示物方焦点，F′表示像方焦点，B′表示像点，A′B′表示像线段。
轴上点
在工程光学中，轴上点A的像点A′可以通过图解法求得，使用物方焦平面
基于物方焦平面
从A点发出任意光线AM，与物方焦平面交于B点。
从B点引一条平行于光轴的辅助光线BN。
辅助光线BN通过光学系统后，射出光线通过像方焦点F′，即N′F′。
光线AM的共轭光线M′A′平行于N′F′。
M′A′与光轴的交点即为像点A′。
其中：
A：物方轴上点。
M：光线AM与光学系统的入射点。
B：光线AM与物方焦平面的交点。
N：辅助光线BN与光学系统的入射点。
F：物方焦点。
F′：像方焦点。
A′：像点。
光轴：光学系统的对称轴。
物方焦平面垂直于光轴并通过F，像方焦平面垂直于光轴并通过F′。
考虑一个薄透镜，物方焦距f=−10cm（负号表示凹透镜），像方焦距f′=10cm，物点A在光轴上，物距s=−15cm（负号表示实物）。求像点A′：
从A发出光线AM任意方向，例如与光轴成30∘角，交物方焦平面于B。
从B引平行光轴的辅助光线BN。
BN射出后通过F′。
AM的共轭光线平行于N′F′，交光轴于A′。
图解得像距s′≈30cm（正号表示实像）。
一个薄透镜的物方焦距f=−15cm，像方焦距f′=15cm。物点A在光轴上，物距s=−20cm。图解求像距s′，并验证是否与公式s′1−s1=f′1一致。
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图解步骤：
光线AM交物方焦平面于B。
辅助光线BN平行光轴，射出通过F′。
M′A′平行N′F′，交光轴得s′≈60cm。
公式验证：s′1−s1=601−−201=601+201=601+603=604=151=f′1，一致。
对于光学系统中轴上物点A的成像，可通过以下步骤图解确定像点A′：
过物点A作任意入射光线AM交物方主平面于M
过物方焦点F作辅助光线FN∥AM，构成倾斜平行光束
FN的共轭光线出射后平行光轴，与像方焦平面交于B′
在像方主平面确定M的等高点M′
连接M′B′并延长交光轴于A′，即为像点
其中：
F：物方焦点
F′：像方焦点
M：入射光线与物方主平面交点
M′：M的共轭点（与M等高）
B′：倾斜平行光束会聚点
AM共轭M′B′且FN共轭∥光轴
解析法求像
牛顿公式
牛顿公式以焦点为坐标原点描述物像位置关系。
物距x定义为从物方焦点F到物点A的距离，像距x′定义为从像方焦点F′到像点A′的距离。
符号规则：若从F到A或F′到A′的方向与光线传播方向一致，则为正，反之为负。
由相似三角形△BAF∼△FHM和△H′N′F′∼△F′A′B′推导得：−yy′=−x−f,−yy′=f′x′
化简得牛顿公式：xx′=ff′
垂轴放大率β定义为像高与物高之比yy′，其公式为：β=yy′=−xf=−f′x′其中：
x: 物距，从物方焦点F到物点A的距离（单位：长度量纲）。
x′: 像距，从像方焦点F′到像点A′的距离（单位：长度量纲）。
f: 物方焦距（单位：长度量纲）。
f′: 像方焦距（单位：长度量纲）。
y: 物高（单位：长度量纲）。
y′: 像高（单位：长度量纲）。
β: 垂轴放大率（无量纲）。
已知光学系统物方焦距f=−10cm，像方焦距f′=15cm，物距x=−20cm。
求像距x′和放大率β。
解：使用牛顿公式xx′=ff′，代入得(−20)x′=(−10)(15)。
解得x′=−20(−10)(15)=7.5cm。
放大率β=−xf=−−20−10=−0.5。
已知像高y′=3cm，放大率β=−0.5。求物高y。
解：由β=yy′，得−0.5=y3。
解得y=−0.53=−6cm（负号表示倒像）。
给定f=−15cm, f′=20cm, x=−30cm。求像距x′。
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使用牛顿公式xx′=ff′。
代入值：(−30)x′=(−15)(20)。
计算：x′=−30(−15)(20)=10cm。
已知x=−25cm, f=−10cm。求垂轴放大率β。
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使用公式β=−xf。
代入值：β=−−25−10。
计算：β=−0.4。
给定x=−40cm, x′=20cm, f′=30cm。求物方焦距f。
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使用牛顿公式xx′=ff′。
代入值：(−40)(20)=f⋅30。
计算：−800=30f。
解得f=−30800≈−26.67cm。
物体高度y=−4cm，成像后像高y′=2cm。已知f=−12cm, f′=18cm。求物距x和像距x′。
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先求放大率β=yy′=−42=−0.5。
使用β=−xf：−0.5=−x−12。
解得−0.5=x12，故x=−0.512=−24cm。
使用牛顿公式xx′=ff′：(−24)x′=(−12)(18)。
解得x′=−24−216=9cm。
高斯公式
高斯公式描述了光学系统中物像位置相对于主点的关系，即以主点为坐标原点
物点A到物方主点H的距离为l，像点A′到像方主点H′的距离为l′。
符号约定：从H到A或H′到A′的方向与光线传播方向一致时为正，反之为负。
由牛顿公式xx′=ff′和关系x=l−f、x′=l′−f′推导得：
lf′+l′f=ll′
两边同除ll′得高斯公式：
l′f′+lf=1
垂轴放大率β定义为像高y′与物高y之比：
β=yy′=−f′fll′
当物空间和像空间介质相同时，f′=−f，则公式简化为：
l′1−l1=f′1，
β=ll′
其中：
l：物点到物方主点距离，单位米（m）
l′：像点到像方主点距离，单位米（m）
f：物方焦距，单位米（m）
f′：像方焦距，单位米（m）
β：垂轴放大率，无量纲
x：物点到物方焦点的距离，x=l−f
x′：像点到像方焦点的距离，x′=l′−f′
假设凸透镜在空气中，f′=−f=10 cm。
物距l=−20 cm（负号表示物在左），求像距l′。
使用简化公式：
l′1−l1=f′1
代入值：
l′1−−201=101，
l′1+0.05=0.1，
l′1=0.05，
l′=20 cm
像在右方20 cm处，为实像。
给定f=−15 cm，f′=15 cm，l=−30 cm，l′=60 cm。
求垂轴放大率β。
使用公式：
β=−f′fll′
代入值：
β=−15−15−3060
β=−(−1)×(−2)
β=−2
放大率为-2，表示像倒立且放大2倍。
已知光学系统在空气中，f′=8 cm，l=−12 cm。
求像距l′。
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使用简化公式：
l′1−l1=f′1
代入值：
l′1−−121=81
l′1+121=81
l′1=81−121
l′1=243−242=241
l′=24 cm
已知介质相同，l=−20 cm，l′=40 cm。
求像方焦距f′。
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使用简化公式：
l′1−l1=f′1
代入值：
401−−201=f′1
401+201=f′1
401+402=403=f′1
f′=340≈13.333 cm
给定f=−10 cm，f′=10 cm，l=−15 cm。
求垂轴放大率β。
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先求l′：
l′1−l1=f′1
代入值：
l′1−−151=101
l′1+151=101
l′1=101−151
l′1=303−302=301
l′=30 cm
再求β：
β=−f′fll′
代入值：
β=−10−10−1530
β=−(−1)×(−2)=−2
当介质相同，f′=−f=12 cm，物距l=−24 cm。
求像距l′和放大率β。
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求l′：
l′1−l1=f′1
代入值：
l′1−−241=121
l′1+241=121
l′1=121−241
l′1=242−241=241
l′=24 cm
求β：
β=ll′
代入值：
β=−2424=−1
放大率为-1，表示像倒立且等大。
光组过度关系
一个光学系统可由一个或几个部件组成，每个部件可以由一个或几个透镜组成，这些部件被称为光组。
光组可以单独看作一个理想光学系统，由焦距、焦点和主点的位置来描述。
在光学系统中由多个光组组成时，物像位置的过渡公式为：
li=li−1′−di−1
xi=xi−1′−Δi−1
Δi=di−fi′+fi+1
其中：
li 表示第 i 个光组的物距（从物方主点到物体的距离）。
li−1′ 表示第 i−1 个光组的像距（从像方主点到像的距离）。
di−1 表示第 i−1 个光组到第 i 个光组的距离（主面间隔）。
xi 表示第 i 个光组的物方焦点位置（从物方焦点到物体的距离）。
xi−1′ 表示第 i−1 个光组的像方焦点位置（从像方焦点到像的距离）。
Δi−1 表示焦点间隔（第 i−1 个光组的像方焦点到第 i 个光组物方焦点的距离）。
fi′ 表示第 i 个光组的像方焦距。
fi+1 表示第 i+1 个光组的物方焦距。
i 为光组序号，系统由 k 个光组构成。
焦点间隔 Δi 定义为第 i 个光组的像方焦点 Fi′ 到第 i+1 个光组物方焦点 Fi+1 的距离：Δi=Fi′Fi+1
其中：
正负号规则：以第 i 个光组的像方焦点为原点，若指向第 i+1 个光组物方焦点的方向与光线传播方向一致，则 Δi>0；反之，则 Δi<0。
焦点间隔与主面间隔的关系为 Δi=di−fi′+fi+1。
整个光学系统的放大率 β 等于各光组放大率的乘积：β=β1β2⋯βk=y1y2⋯yky1′y2′⋯yk′=y1yk′
其中：
βi 表示第 i 个光组的放大率（βi=yiyi′）。
yi 表示第 i 个光组的物高。
yi′ 表示第 i 个光组的像高。
yk′ 表示最终像高。
y1 表示初始物高。
由于前一个光组的像是下一个光组的物，即 y2=y1′, y3=y2′,...,yk=yk−1′。
假设系统由三个光组组成。
各光组放大率：β1=−0.5, β2=2, β3=1.5。
求系统总放大率 β。
应用放大率公式：β=β1β2β3=(−0.5)×2×1.5=−1.5系统总放大率为 -1.5，表示像为倒立实像。
给定两个光组。
第一光组：物距 l1=−30 cm，像距 l1′=20 cm。
光组间距离 d1=10 cm。
求第二光组物距 l2。
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应用过渡公式 l2=l1′−d1。
计算过程：l2=l1′−d1=20−10=10 cm
第二光组物距为 10 cm。
给定两个光组。
第一光组像方焦距 f1′=12 cm。
第二光组物方焦距 f2=8 cm。
主面间隔 d1=6 cm。
求焦点间隔 Δ1。
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应用公式 Δ1=d1−f1′+f2。
计算过程：Δ1=d1−f1′+f2=6−12+8=2 cm
焦点间隔为 2 cm，方向与光线一致（正值）。
系统由两个光组组成。
第一光组放大率 β1=y1y1′=−2。
第二光组放大率 β2=y2y2′=0.5。
初始物高 y1=4 mm。
求最终像高 y2′。\
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应用放大率公式 β=β1β2 和 y2=y1′。
推导过程：
系统总放大率：β=β1β2=(−2)×0.5=−1第一光组像高：y1′=β1y1=(−2)×4=−8 mm由于 y2=y1′，第二光组物高 y2=−8 mm。
第二光组像高：y2′=β2y2=0.5×(−8)=−4 mm最终像高为 -4 mm，表示倒立实像。
系统由三个光组组成。
第一光组：物距 l1=−40 cm，像方焦距 f1′=15 cm。
第二光组：物方焦距 f2=10 cm，像方焦距 f2′=10 cm。
第三光组：物方焦距 f3=20 cm。
光组间距离：d1=8 cm（第一到第二光组），d2=12 cm（第二到第三光组）。
求最终像距 l3′。
提示：先求各光组像距，再应用过渡公式。
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求解步骤：
第一步：求第一光组像距 l1′。
物像公式：l1′1−l11=f1′1代入 l1=−40 cm, f1′=15 cm：l1′1−−401=151l1′1+0.025=0.0667l1′1=0.0417
l1′≈24 cm
第二步：应用过渡公式求第二光组物距 l2。l2=l1′−d1=24−8=16 cm
第三步：求第二光组像距 l2′。
物像公式：l2′1−l21=f2′1代入 l2=16 cm, f2′=10 cm：l2′1−161=101l2′1=0.1+0.0625=0.1625
l2′≈6.15 cm
第四步：应用过渡公式求第三光组物距 l3。l3=l2′−d2=6.15−12=−5.85 cm
第五步：求第三光组像距 l3′。
物像公式：l3′1−l31=f3′1假设 f3′=f3=20 cm：l3′1−−5.851=201
l3′1+0.1709=0.05
l3′1=0.05−0.1709=−0.1209
l3′≈−8.27 cm
最终像距约为 -8.27 cm，表示像在第三光组物方主点左侧。
理想光学系统两焦距之间的关系
图 2 - 20 是轴上点 A经理想光学系统成像于A′的光路，由图显见
ltanU=h=l′tanU′
或(x+f)tanU=(x′+f′)tanU′
由β=yy′=−xf=−f′x′
所得的 x和x′，即 x=−f(y/y′)和x′=−f′(y′/y)代入上式并化简后得
fytanU=−f′y′tanU′
对于理想光学系统，上式中的角度U和U′不论为何值，式fytanU=−f′y′tanU′ 总是成立的。
因而，当这些角度的数值很小时，正切值可用角度的弧度值来代替，即在近轴光线区域中，式fytanU=−f′y′tanU′亦成立。
故对于小角度，可用下式代替
fyu=−f′y′u′
共轴球面系统的近轴区适用的拉赫公式nyu=n′y′u′。将此式与式fyu=−f′y′u′比较可得出物方焦距和像方焦距之间的关系式
理想光学系统中，物方焦距 f 和像方焦距 f′ 之间的关系由下式给出：
其中：n 是物空间折射率，n′ 是像空间折射率。当物空间和像空间介质相同时（如空气，n=n′），则 f′=−f。
考虑一个光学系统在空气中工作，n=n′=1.0。
根据公式 ff′=−11=−1，因此 f′=−f。
例如，若物方焦距 f=100 mm，则像方焦距 f′=−100 mm。
在水底摄影系统中，物空间为水（n=1.33），像空间为空气（n′=1.0）。
根据公式 ff′=−1.331.0≈−0.752。
例如，若 f=50 mm，则 f′≈−37.6 mm。
若物方焦距 f=20 cm，则 f′≈−15.038 cm
已知物空间折射率 n=1.5，像空间折射率 n′=1.2，求 ff′
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根据公式 ff′=−nn′代入 n=1.5，n′=1.2ff′=−1.51.2=−0.8
凸透镜物方焦距 f=15 cm，物空间为空气（n=1），像空间为玻璃（n′=1.6），求 f′
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根据公式 ff′=−nn′代入 f=15，n=1，n′=1.615f′=−11.6=−1.6f′=−1.6×15=−24 cm
当物空间和像空间均为油（n=n′=1.47），物方焦距 f=8 cm，求 f′
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根据公式 ff′=−nn′=−1.471.47=−1因此，f′=−1×8=−8 cm
凹透镜物方焦距 f=−12 cm，物空间为水（n=1.33），像空间为空气（n′=1），求 f′ 并解释符号意义
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根据公式 ff′=−nn′代入 f=−12，n=1.33，n′=1−12f′=−1.331≈−0.7519f′≈−0.7519×(−12)=9.0228 cmf′ 为正表示像方为凸透镜性质
当光学系统包含反射面时，焦距比关系由反射面个数决定，修正为：
其中：k 是反射面的数目。
系统有一个反射面（k=1），物空间和像空间均为空气（n=n′=1.0）。
根据公式 ff′=(−1)1+1×1=1，因此 f′=f。
例如，若 f=80 mm，则 f′=80 mm。
系统有两个反射面（k=2），物空间折射率 n=1.0，像空间折射率 n′=1.5。
根据公式 ff′=(−1)2+1×1.01.5=−1.5。
例如，若 f=60 mm，则 f′=−90 mm。
系统有三个反射面（k=3），物空间和像空间均为空气（n=n′=1.0）。求 ff′。
详情
详情
公式：ff′=(−1)k+1nn′。
代入 k=3, n′=1.0, n=1.0，得 ff′=(−1)3+1×1=(−1)4×1=1。
因此 ff′=1。
由ff′=−nn′可将fytanU=−f′y′tanU′写为
理想光学系统的拉赫公式为：
其中：y 是物高，y′ 是像高，U 是物方孔径角，U′ 是像方孔径角。
在近轴区域，角度 U 和 U′ 很小，tanU≈u（弧度），公式简化为 nyu=n′y′u′。
例如，n=1.0, n′=1.5, y=5 mm, u=0.1 rad，
则 1.0×5×0.1=1.5×y′×u′，简化得 y′u′≈0.333。
给定 n=1.0, n′=1.0, y=10 mm, U=45∘, U′=45∘。
公式：1.0×10×tan45∘=1.0×y′×tan45∘，即 10×1=y′×1，因此 y′=10 mm。
给定 n=1.0, n′=1.33, y=8 mm, y′=6 mm, U=30∘。求 U′。
详情
公式：nytanU=n′y′tanU′。
代入值：1.0×8×tan30∘=1.33×6×tanU′。
计算 tan30∘=√31≈0.577，左边：8×0.577≈4.616。
右边：1.33×6×tanU′=7.98×tanU′。
因此 4.616=7.98×tanU′，得 tanU′≈7.984.616≈0.578。
所以 U′≈arctan(0.578)≈30∘。