离散数学概论 北京大学 陈斌
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那么上一节我们所说的这种关于非真即假的基本假定就称之为排中律，那么排中律呢？
是传统逻辑的基本规律之一俗话说，是非之间，必居其一那么中国古代的墨子也说过："辩也者，或谓之是或谓之非，当者胜也。 "这个意思就是说一个 论断要么是是，要么是非，没有第三种情况
所以我们说任何一个事物在同一时间里具有某种属性或者不具有某种属性，而无其他的可能，这就是排中律的最基本的表述。
那么传统数学证明当中经常采用的反证法就利用了排中律那么首先要证明一个命题为真，并不会去直接去证明它可能是因为直接证明相当的困难那么它是假设命题不为真的话就会推出一个矛盾，这样呢根据排中律这个命题非假 即真，那么从而间接地证明了命题为真。
那么反证法呢有很多著名的范例其中古希腊的数学家欧几里得在他的几何原本里就论述了这么一个证明，他要证明的是素数有无穷多个那么他所做的首先假设命题不为真那么素数就是有限多个，我们可以把素数 呢按着它们从小到大的一个顺序进行排列记为a1, a2, a3, 一直到an，它是有限多个，所以它只有n个那么接下来呢我们来构造一个新的数N这个N呢就等于a1乘以a2乘以a3 一直乘到an，然后最后给它加上1那么很显然，所有的这些素数ai都不是这个数N的因子因为这个ai除上这个N最后都会有一个余数为1那么这样就会有两种可能关于这个这个N一：这个N呢它是一个和数，但是呢它具有其他的素数的真因子第二种可能N本身就是一种素数很显然因为N比所有的ai呢都要来的大，所以无论哪一种情况我们都发现了ai之外的这个素数那这个就跟我们的假设矛盾了，根据排中律命题就是真
那么关于反证法的著名的范例在古希腊的数学里面 还有很多，其中的一个很著名的就是在毕达哥拉斯他所证明的根号2是无理数大家如果有兴趣，你可以找来看一看
当然并不是所有的人都无条件地认为排中律根本没有任何问题
其中呢直觉主义者就对排中律提出了他的质疑因为直觉主义者认为数学的基础和出发点 是自然数理论，而自然数呢是人 类从时间的直觉当中所构造出来的那这样数学理论的可靠性就必须依赖于心智上的可构造性同样对于命题真假的确定也必须要给出一个构造性的证明而反证法虽然对问题的反面推出了矛盾但是呢这并不意味着命题本身具有构造性的证明所以呢他们否认排中律的普遍有效性因为他们认为从人的 生活和所能够感知的有限的这种 生活，生存环境当中有穷事物中概括 出来的排中律，它并不能够就冒然地就推广到无穷的事物来适用它
凡是涉及到有穷事物全体的命题我们实际上都可以通过逐个的检验来验证其真假
比如说我说，我们班上的所有的同学都戴眼镜这个论断是可以经过通过逐一验证来证明它的真假
但是呢一旦涉及到无穷的事物，比如说自然数的集合那么除了一些特殊的情况之外，一般来说是没有办法做这种检验的
那么哥德巴赫猜想就是一个很好的例子
那么您认为直觉主义者对于排中律的质疑有道理吗？
