前面提到的，都是针对「判别模型」的「上层材料」所做的细分。那么，「判别模型」的「下层材料」是否也可以细分呢？

当然可以。

我们依然先以「针对判别模型还是联结模型」为根据，把「下层材料」分为两类：

• 针对「判别模型」的，也就是「交代一个现象是（或不是）特定概念」的「下层材料」，分成一类，称为“判别例述”

• 针对「联结模型」的，分成一类，称为“联结例述”。

需要注意，「判别例述」是以「判别模型」为中心来划分的，而非以「概念」为中心。两种划分的区别如下：

• 以概念为中心：「A 的例子」和「非 A 的例子」属于针对「两个不同概念」的「例述」。

• 以判别模型为中心：「A 的例子」和「非 A 的例子」属于针对「同一个判别模型」的「例述」。

因此，不论是「交代一个现象是概念A」的例述，还是「交代一个现象不是概念A」的例述，都属于「同一个判别模型」的「判别例述」，它们只是展示了「不同的输出结果」（判别模型有两个可能的输出结果）。

那么，很自然，我们还可以根据「例述所展示的输出结果」是「A（正概念）」还是「非 A（负概念）」，将「判别例述」再细分为两类：

• 「所展示的输出结果」是「A（正概念）」的「判别例述」，分为一类，称为“正例”。

• 「所展示的输出结果」是「非A（负概念）」的「判别例述」，分为一类，称为“负例”。

需要特别说明：这里的“正例/负例”仅仅对应判别模型的输出。有时人们会用“正例/反例”来称呼，但“反例”还可表示“违背某个规律的现象”，那是另一层含义，请勿混淆。

例如，当学习「质数」这个概念时，就需要渐构一个「划分“质数”与“非质数”的判别模型」。这个「判别模型」有两个可能的「输出结果」——“质数”与“非质数”，那么在举例时，

以下的例子就是「正例」：

• 「3」是「质数」，因为它具备「只能被 1 和自身整除，且大于 1」的属性

• 「11」是「质数」，因为它具备「只能被 1 和自身整除，且大于 1」的属性

以下的例子就是「负例」：

• 「1」不是「质数」，因为它虽具备「只能被1 和自身整除」的属性，但不具备「大于1」的属性

• 「4」是「非质数」，因为它虽具备「大于 1」的属性，但还能被 2 整除，不具备「仅能被 1 和自身整除」的属性

要特别注意区分「正负概念」与「对立概念」：

• 「非A（负概念）」是「A（正概念）在对象层中的补集」，也就是「对象层中，所有不属于 A 的对象」。

• 「对立概念」是与「A」在某种意义上相反的概念，但二者合并后未必会覆盖整个「对象层」。

例如，「质数」和「合数」是一对「对立概念」，但却不是「正负概念」。「质数」和「非质数」才是「正负概念」。

又如，「黑」与「白」是一对「对立概念」，但却不是「正负概念」。「黑」与「非黑」才是「正负概念」。

「判别模型」所划分的是「正负概念」，而非「对立概念」。

「内涵层面的概念对比」属于一种「上层材料」。当我们要对此举例，也就是通过举例来展现「两个概念之间的对比」时，如果想达到最佳的学习效果，所举的例子应当满足一些要求：

最好同时给出两个例子 P 和 N：

• 例子 P：举一个现象，它符合「概念 A」的所有特征，但不符合「概念 B」的所有特征。换句话说，它既是「概念 A」的正例，同时又是「概念 B」的负例。

• 例子 N：举一个现象，它符合「概念 B」的所有特征，但不符合「概念 A」的所有特征。换句话说，它既是「概念 B」的正例，同时又是「概念 A」的负例。

这其实就是把两个概念的正例与负例各用了一遍，用来帮助学习者界定两个概念的边界。

我们把这种符合要求的例述固定命名为“对比例子”。今后但凡需要在举例时突出「概念之间的对比」，最好的材料就应满足这些条件。

例如，我们将「质数」和「奇数」做对比，展现二者在内涵层面的特征差异：

• 质数：大于 1，且只能被1 和自身整除的数。

• 奇数：除以 2 余 1 的整数。

然后进行举例时，若要满足「对比例子」的条件，便会是下面的例子：

• 例子 P（质数的正例&奇数的负例）：数字 2 是质数，但不是奇数。

  • 2 大于 1，且只能被 1 和自身整除，因此是质数。

  • 2 除以 2 余 0，因此是非奇数。

• 例子 N（奇数的正例&质数的负例）：数字 9 是奇数，但不是质数。

  • 9 能被 3 整除，因此是非质数。

  • 9除以 2 余 1，因此是奇数。

介绍完「内涵层面上的概念对比」及其「对比例子」后，我们现在来讨论「外延层面上的概念对比」。

在「外延层面」上，我们所对比的就不是两个概念的特征异同，而是比较两个概念各自所代表的「现象群」之间的异同。用数学语言来说，就是比较「集合之间的关系」。对比后的结果有以下几种：

• 相等关系：两个概念的外延完全重合

• 包含关系：一个概念的外延包含于另一个概念的外延

• 相交关系：两个概念的外延存在交集

• 互斥关系：两个概念的外延没有交集

我们对这几种关系分别举两个例子：

相等关系：

• 「小于 5 的质数」与「2 和 3」

• 「母亲的姐妹」与「姨」

包含关系：

• 「矩形」包含于「平行四边形」

• 「正方形」包含于「矩形」

相交关系：

• 「奇数」与「素数」

• 「老师」与「男人」

互斥关系：

• 「奇数」与「偶数」

• 「猫」与「狗」

上面仅是一种分类方式。还有更宽泛和更细致的分法。

例如，当引入对象层的概念后，互斥关系还可以有一些细分：

• 完全不相交，且两个概念的并集刚好就是对象层

• 完全不相交，两个概念的并集包含于对象层

课程介绍的那四类分法，只是最为常用。