在学习中，人们常常会遇到类似下面的困境：

1. 看《如何写小说》的教程时，里面的案例分析全都看懂了，可一旦让自己下笔，还是写不出来。

2. 学习数学中的矩阵、向量等概念时，都能理解，可从来没有在生活中应用过，感觉这些知识没用。

引入「方向视角」后，这些困境就能被更清晰地理解和描述。「方向视角」是最常用、最基础的学习分类方式，没有之一。

课程原本计划将「学习类型」「学习材料」和「学习方式」分为三章逐个讲解，但这样有可能使大家难以联系到一起，所以现在决定在介绍每一个视角时，同时讲解「类型」「材料」和「方式」。

接下来，我们就从「如何判别方向视角下的学习类型」开始讲起。

1 两类学习

此前讲过，任何知识都由「下层」和「上层」两部分构成：

• 下层：包含着「实践对象」

• 上层：包含着「抽象规律」

应用知识时，我们是利用「上层的规律」来指导「下层的实践」。只有将下上两层连接起来，形成一个「整体结构」，才算真正学会了一个知识。

那么，我们就可以基于“连接的方向”，将「学习（渐构）方式」划分为两种：

• 一种是「从下层出发，向上层连接的渐构方式」。我们称其为“自下学习”或“自下渐构”。

• 一种是「从上层出发，向下层连接的渐构方式」。我们称其为“自上学习”或“自上渐构”。

例如，在先前“拽枯草”的故事中。你经历的「3根枯草拧在一起，拽起来费力」「5根拧在一起，更难拽断」等事件是「下层的具体现象」。随后你抽象出「干植物」「根数」「拽断所需力」，并由这些概念渐构出「干植物拧在一起的根数越多，拽断所需力越大」，便是「上层抽象规律」。这种从「下层具体现象」出发，向「上层抽象规律」连接的渐构方式便是「自下学习」。

而故事中你的小伙伴，是先从「干植物拧在一起的根数越多，拽断所需力越大」，也就是你对「上层抽象规律」的表述开始出发，向「下层的具体现象」进行连接，成功渐构出知识，还应用知识做了一个草绳秋千。这种学习方式便是「自上学习」。

下面我们同样要补充一些学习材料，来帮助大家校准「自下学习」和「自上学习」所指概念的外延。

首先，要避免把「自下学习」误解成「基于直接经验的学习」。

「自下学习」可以基于「亲身经历的直接经验」，也可以基于「他人告知的间接经验」。

假如在“枯草故事”中，你不告诉小伙伴「你总结的抽象规律」，只告诉他「3根枯草拧在一起，拽起来费力」「5根拧在一起，更难拽断」等「你经历的具体事件」，让其自己向上抽象和归纳。那么，小伙伴的学习便会是「自下学习」，而且是基于「间接经验」的「自下学习」。

我曾在《断墨寻径》的科普视频中，用“归纳学习”来命名「自下学习」，用“指令学习”来命名「自上学习」。但后来发现这两个名字起得不是很好。原因有两点：

1. “归纳学习”是以「学习方式（即归纳）」来命名，而“指令学习”则是以「学习材料（即指令）」来命名。名称上不如“自下”和“自上”工整。

2. 其次，「自下学习」虽然包含「对下层对象的归纳」，但“归纳学习”的名称，容易让人误解成“仅用归纳思维来进行的学习”。可实际上，「自下学习」的过程中，也可以运用「其它知识的演绎和类推」，并无思维方式的限制，只不过这些方式最终会服务于「目标知识的归纳」。

例如，一个学生在学习「等差数列求和公式」时，可以从下面的几个「具体实例」出发：

• 1+2+3+...+100 = (1+100)×100/2 = 5050

• 2+4+6+...+50 = (2+50)×25/2 = 650

• 5+10+15+...+200 = (5+200)×40/2 = 4100

过程中，不仅会涉及「对三个例子的归纳」，同时还涉及「加法交换律的演绎」，还可以涉及「梯形面积公式的类推」，最终从「下层的具体实例」，连接到「上层的抽象规律」，即「首项加末项乘以项数除以2」。

相同的原因，也不应将「自上学习」误解成"仅用演绎思维来进行的学习"。

“自下”和“自上”仅表示「连接下层和上层时的方向」，并不是以「思维方式」为视角所划分的类别。

我们再来说说「创验学习」和这两类学习之间的关系。

第一个问题便是：只有「自下学习」才能创造「新知识」吗？

这个问题的答案，并没有那么直接，还取决于我们如何定义"新知识"。

试着考虑下面的情况。

「任意一个偶数与任意一个奇数的和」属于「奇数」。这是一个知识，而且这个知识的创造，并不需要「具体实例的归纳」，仅用「既有知识」就能推理而出：

1. 写出偶数和奇数的表达式：

• 偶数为2k，奇数为2m+1（k和m都为整数）

2. 相加并简化：

• 2k+(2m+1)=2k+2m+1=2(k+m)+1

3. 根据(k+m)为整数，得到2(k+m)+1为奇数

创造该知识的过程中，运用到了下面几个「既有知识」：

• 「偶数的定义」

• 「奇数的定义」

• 「加法结合律（2k+(2m+1)=(2k+2m)+1）」

• 「乘法对加法的分配律的逆操作（2k+2m=2(k+m)）」

• 「整数加法的封闭性（整数+整数=整数）」

由此可见，我们确实能仅通过运用「若干个既有知识」推出「另一个知识」。那么，“是否只有自下学习才能创造新知识”的答案，就取决于我们如何定义“新知识”了。

「观点 A」认为：上面这种情况，得出了「新的概念间关系」，因此属于「"新知识"的创造」。

「观点 B」认为：上面这种情况，只是运用「逻辑」，将「既有知识」中「原本就蕴含的结论」显性化，并没有扩展「既有知识的边界」，因此不属于「“新知识”的创造」。这也是为什么，一些《逻辑学》教材中，有“逻辑不创造新知识”的说法。

可以发现，两种观点对“新知识”采用了不同的定义。此前讲过，定义问题没有对错之分，两种观点都可以。

本课程也认可“演绎是将既有知识中本就蕴含的结论显性化”的观点，但对「新知识」的定义，将采用「观点 A」中的，因为它更便于「描述学习现象」。如果采用「观点 B」中的“新知识”定义，只有当学习者掌握了「既有知识所蕴含的全部结论」时，才算“真正学会了”。这种定义难以操作，不利于评估学习成果。

更重要的是：课程关注的是「人的学习」，而人是有局限性的，没有上帝视角。人脑是依靠「概念间关系」来认识世界的，当「概念间关系」发生变化时，就会被大脑视为不同的事物。

因此，最后的回答是「自上学习也可以创造新知识」。

注意：当听到有人说“逻辑不产生新知识”时，切莫单纯认为对方错了。因为现实活动不是学校考试，没有统一的定义，不同人所说的“新知识”一词，未必指代同一个概念。在某些目的下，观点B中的定义反而更适合。所以，面对这些结论，一定要结合词语的定义去理解，避免继续沿用校园阶段的“标准答案思维”。

课程也会在后续章节对「新知识」给出更详尽的定义。

还要注意：自上学习创造知识时，仍需要数据。尽管严密地演绎推理可以确保结论的正确性，但我们并不知道自己的推理过程「是否真的没有疏忽」，也不知道自己是不是产生了判联错配，套错了数学公式，所以，还是需要数据来检验。

可能有人觉得“自上学习所学的知识，仅有上层，没有下层”。

这是一个常见的误解。实际上，自上学习所学的知识也有下层，没有下层意味着「没学会」。

例如，「龙」是前人虚构出来的概念，后人可以将「龙」作为「认识对象」，以「自上学习」的方式来学习。当一个人凭借“龙是具备蛇身、鹿角、鹰爪、鱼鳞的神兽”的抽象描述，成功学会「龙」的概念后，就能够在看到任何一个「具体的龙」，哪怕是「未见过的具体的龙」时，也能判别到「龙」的概念下，如下面的两张图。这便是形成了「下层」。

如果没有「下层」，就意味着无法判别一个具体现象是不是「龙」，当然也就是没有学会「龙」这个概念。

其实，「自上学习」和「自下学习」都一样，都需要渐构模型。「自下学习」是先从「具体对象」渐构出「判别模型」，然后指导下层。「自上学习」是直接根据「抽象描述」渐构出「判别模型」，指导下层。

很多人学习数学概念时，其实就处于「仅有上层，没有下层」的“半会不会”的状态，导致学习者见到具体问题，也无法将其判别到对应的数学概念下，更别提应用数学公式了。

额外一提：

• 「新的数学知识」主要是通过「自上学习」来创造的。

• 「新的科学知识」主要是通过「自下学习」来创造的。

不少人在质疑「某个知识是否可信」时，习惯问一句“怎么证明？”这种提问并不适用于所有知识。

对于「自上学习所创造的知识」，如「数学定理」，可以被「证明」（如勾股定理的证明）。

对于「自下学习所创造的知识」，如「科学定律」，无法被「证明」。人们接受一个「科学模型」，只是因为它「尚未被证伪」或「普遍性超过可接受的概率」。

所以，对于「数学知识」，可问“如何证明？”，而对于「科学知识」，该问“实验结果如何？”或“如何验证？”（这里的验证指的是怎么设计实验来验证，但永远无法证明为真，只能一定概率上为真）。

还有一点值得注意：不少人因为“归纳无法保证正确，演绎只要前提对结论就对”，便觉得“归纳不如演绎可靠”。

这是一个常见的误解。甚至不少网络科普文章也这样介绍归纳和演绎，形成了“推崇演绎、贬低归纳”的倾向。

其实，“归纳不必然正确，演绎前提对结论就对”这句话本身没错，但它没说清全貌，容易让人草率地得出“演绎比归纳更可靠”。

「归纳」和「演绎」分别对应着「一个知识」的「建构阶段」和「使用阶段」，若要比较二者，也要围绕「同一个知识」的「归纳」和「演绎」来比较。

「归纳」相当于「造一个锤子」的阶段，「演绎」相当于「用这个锤子」的阶段。我们不可能总结说“「造锤子」不保证成功，「用锤子」只要锤子好，就一定成功，所以「造锤子」不如「用锤子」可靠”。因为我们都知道，“用得稳”本就建立在“造得好”的基础上。

那么为什么对「归纳」和「演绎」，人们却把“造”和“用”分离和对立，还得出类似“造不如用”的结论呢？

原因在于：人们把「对不同知识」的「归纳」和「演绎」混在一起比较了，把「本该比较的归纳」忽略了，导致人们误以为「演绎的正确性」是由「演绎」本身提供的。但实际上，「演绎」只是「知识的应用」，本身不提供任何正误，「演绎所得结论是否正确」，取决于「所用知识（大前提）是否正确」，而所用知识（大前提）追根溯源，还是「归纳」而来的。

举个例子，“女人非永生”这个知识，可以来自两种方式：

• 归纳A：由“李清照非永生”“武则天非永生”等个例归纳而来。这种方式，不保证正确。

• 演绎B：由“人非永生”这个大前提演绎而来。这种方式，只要“人非永生”正确，就一定正确。

看上去似乎「B演绎」比「A归纳」更可靠，但这里其实涉及四个环节：

• 归纳A：对「女人非永生」的归纳

• 演绎A：对「女人非永生」的演绎

• 归纳B：对「人非永生」的归纳

• 演绎B：对「人非永生」的演绎

「演绎B的正确性」取决于「人非永生」，而「人非永生」又是「归纳B」得到的。我们需要把「演绎B」和「归纳B」进行比较，才能意识到这一点。

然而，如果把围绕不同知识的「演绎B」和「归纳A」进行比较，就会忽略「归纳B」的存在，进而得出“归纳不如演绎可靠”的错觉。

所以，为了避免这种误解，建议大家以后不要单说“归纳”和“演绎”，而是要把「知识」带上，说“对知识A的归纳”或“对知识B的演绎”。

最后我们再借机讲讲「公理和定理的区别」。

你可能也好奇过，为什么都是数学知识，有的叫“定理”，有的却叫“公理”？

数学以演绎（证明）闻名，所谓“定理”就是依靠「某个知识A（大前提）」演绎（证明）出来的知识。若按照“逻辑不创造新知识”的说法，这个定理是「知识A」中已蕴含的结论。

但「知识A」也需要证明，就需要依赖另一群「知识B」，「知识B」的证明又依赖「知识C」。当我们不断溯源，就会追溯到「没有其它知识可以证明的知识」。这种知识就是「公理」，即「不可被证明」，但为了演绎，就需要将它认作为真。而用于进行演绎的「公理」，其实就来源于对生活现象的「归纳」。

不过，也有不是归纳而来的「公理」。因为数学不是科学，不必非要反映现实，可以根据「凭空构思的公理」，推演出一个另类的“数学宇宙”。这个“数学宇宙”就跟此前提到的“魔法规则”没什么区别了。而这种「凭空构思的公理」就不算「归纳」而来的了。

接下来我们说说「自下学习」和「自上学习」各自的优势和不足。