当我们想要证明某个序列中元素个数是无穷大时，我们往往可以考虑通过反证法，
也即先假设这个序列中的元素个数是有限的，然后从该假设出发去寻找矛盾。
假设质数的个数是有限的，它们构成一个集合 ，我们考虑这样一个数 ，显然它要么是质数，要么是合数 。
假设它是质数，显然它不属于 ，因此 就并未包含所有质数，这与「 是所有质数的集合」矛盾。
假设它是合数，那么必有一个质因子，我们设为 ，也即可写作 与另一个正整数 的乘积。
如果 ，那么 就并未包含所有质数，产生矛盾。
如果 ，我们可以将 记作 ，这里 是 1 到 中的某个数，这是因为 是 中的任意一个，那就意味着 也是 的质因子 。
置 ，由于 是它的质因子，那么 也可以写作 （这里是一个正整数） 。而 ，我们经过一系列的变换最终得到 ，由于 和 都是整数，则 也是整数，而由于 是质数，则 ，因此 不可能为整数，这就与刚才得出的 是整数产生矛盾。
至此，我们的讨论已经囊括了所有情况，但均得出了矛盾，这也就意味着，我们无法用一个有限的集合来表示所有的质数，也即，质数的个数是无限的。
