作者：YJango
大家选择这门课，显然是为了提升认知或思维能力、提升学习能力的。但你有没有想过，什么是认知、如何描述思维过程？
如果我们连思维过程都无法描述，不知道这个过程在做什么、需要什么，又何谈提升呢？
许多人喜欢听知识付费内容，很多人已经坚持了3到5年，但大多数人都无法描述自己这些年学了什么。
如果我们无法描述知识，就无法判断自己学了什么，也不知道该何时应用所学知识，更谈不上提升学习能力了。
所以，接下来，我们就要讲解，如何描述「思维过程」「知识」以及「知识的适用范围」。
在异星求生的故事中，你可以直接感知到暗霞的相关信息（弦、环），而你需要知道的是触碰后手心数值变化的信息（升或降、具体数值）。于是，你用「暗霞的相关信息」去预测「触碰后手心变化的信息」。
打出租车时，我们可以查到「距离」「起步价」「每公里计价」等信息，而我们需要知道的是「总价」。于是，我们常会用「距离」「起步价」「每公里计价」等信息去推测「总价」。
打羽毛球时，我们可以观测到「对手的动作」和「球的位置」等信息，而大脑需要知道的是「控制各个肌肉进行反击的神经信号」（一种内隐信息）。于是，大脑会用「对手的动作」和「球的位置」等信息去推测「反击的神经信号」。
从上面的例子中可以发现一个共性，它们都是「从一堆信息推测另一堆信息」的「思维过程」。
若从「过程视角」来看，这种思维过程该被称为"信息加工"或"输入推测输出"，因为「过程视角」强调「加工」，不强调「加工前的信息」和「加工后的信息」有什么作用和目的。
若从「功能视角」来看，这种思维过程该被称为"信息推测"或"已知推测未知"，因为「功能视角」强调作用和目的，会将「加工前的信息」视为「推测根据」，而将「加工后的信息」视为「推测目标」。
两种视角下的称呼都可以，但本课程强调目的，因此采用"信息推测"的名称。
「信息推测」是人类最基础的思维过程。在这里，"基础"的意思并不是「低端」，而是「不可再分」。换句话说，高级思维过程可以被分解为「信息推测」的组合。
之前我们提到的「预测」实际上就是「推测」的一种形式。不同之处在于，「预测」是「从当下推测未来」，而「推测」的外延更广，不仅可以「从当下推测未来」，还可以是（但不限于）：
「信息推测」时刻发生。想象你看到「一个双手掩面的人」，你的大脑并不会停留在这个画面，而是会不自觉地推测「此人可能正在哭泣」、推测「此人经历了什么」、推测「此人的内心活动」等。正是通过这些推测，我们的思维才得以形成一个「完整连续的世界」，而非「零碎离散的瞬间」。
「信息推测」也分为「经验推测」和「模型推测」。
虽然我们只讲过「经验预测」和「模型预测」。但只要将二者扩展一下，去掉「从当下推测未来」的限制，就可以直接推广到「经验推测」和「模型推测」。
对「信息推测」有了基础认识后，接下来，我们将像第六集介绍判别模型时那样，对「信息推测的构成」进行更详尽地讲解。毕竟 "从一堆信息推测另一堆信息" 的表述，只是一种简略说法，缺失很多细节，容易让读者以为自己理解了，但实际难以应用。这一次，我们将运用数学概念来描述「信息推测」。
但在开始之前，有两个误区需要提醒大家注意：
首先，在这里，数学概念是我们用来分析和描述「思维过程」的一个「工具」，并不是说「思维过程」在本体上等同于「数学」。
之所以要提醒大家这一点，是因为生活中经常能听到诸如"X不过是数学/统计学"的言论。这其实也是「类别固有观」的一种表现，因为说话人把「"X是Y"的句式」解读成了「X在物质世界中的本体是Y」。"不过是"这个选词，也反映了说话人在得知X只是数学后，感叹自己此前高估了X的本体。
实际上，汉语中的"是"有两种含义：一个是「经验推测下的"是"」，即「等同于」，另一个是「模型推测下的"是"」，即「被归于」。
当 X 和 Y 的抽象层级没有差异时，「"X是Y"句式」中的「是」意为「等同于」。
当 X 和 Y 的抽象层级一低一高时，「"X是Y"句式」中的「是」意为「被归于」，也就是「将 X 归类于 Y」，暗示着「我们接下来将用 Y 的处理方式来处理 X」。
举例说明，"王阳明是王守仁"、"水的化学式是"，都是「等同于」。
但"苏格拉底是哲学家"中的"是"，并非在说，"苏格拉底" 在本体上与 "哲学家" 这一概念等同，而是说，我们暂时剥离"苏格拉底"的部分属性，将其归于 "哲学家" 这个概念，并按照「"哲学家"的通用处理方式」来分析和描述"苏格拉底"。
同理，当我们用数学概念来介绍「思维过程」，意味着我们将按照「数学概念的通用处理方式」来分析和描述「思维过程」，并不是在宣称，「思维过程」在本体上等同于数学。
第二点误区，很多人一听到数学，就会下意识联想到复杂的公式和头疼的计算。但其实，数学就像汉语，本质上是一种用来「描述世界的语言」。数学最强之处不在于计算，而是允许我们用数学概念更清晰地描述现实。"信息推测" 和 "输入推测输出" 这两个名称，其实刚好就反映了两种语言的描述，"信息推测" 更接近我们日常使用的自然语言，而 "输入推测输出" 更贴近数学语言的表达。
在这门课程中，不会涉及复杂的公式和计算。你需要做的，是建构出课程所介绍的数学概念。一旦你能够像语文课上"造句"那样，用这些数学概念来描述（编码）周围的思维过程和学习现象，这就意味着你已经掌握了它们。
能用来描述思维过程的数学概念有很多，为了照顾大多数人，课程尽量避免引入过多的数学概念，并且选用人们熟悉的数学概念进行描述。
在引入数学概念进行描述时，课程会先用我们日常语言（也叫自然语言）来描述，随后介绍相应的数学描述，并解释为何选择这种数学描述。
「信息推测」的日常描述是"从一堆信息推测另一堆信息" 或 "从已知推测未知" 。若用数学语言来描述，则是"从输入到输出的单向关系"。
数学之所以这样描述，是因为：「信息推测」具有方向性，而「输入」和「输出」分别意味着「关系的起点」和「关系的终点」，刚好适合表达「信息推测」中的「推测依据」（输入）和「推测目标」（输出）。
一些人首次接触"输入"和"输出"这两个名词是在机器学习领域，因此可能对它们有一种"机械"的印象。但实际上，「输入」「输出」并不是机器学习或工程领域的专有词汇，而是「数学概念」，所有学科中都有使用，例如，心理学、经济学、社会学。因为任何学科都需要描述「状态」与「变化」，而「输入」与「输出」就是描述「变化前状态」与「变化后状态」的数学语言。
「输入」和「输出」其实在初高数学中就有教，同函数一起出现的自变量和因变量就是输入和输出的一种。
「输入和输出」本质上是一种"状态"，而「（二者的）关系」本质上是一种"变化/运动"。
但要注意：但这里的"状态"和"变化/运动"并不是「内容上的」，而是「形式上的」。即使一个东西，在「内容上」属于一种变化/动作，我们也可以不将其按照「关系」来处理，而按照「输入和输出」来处理，只要我们将它转换成「输入和输出」的形式。
这也意味着：一个东西能否作为输入或输出，并不是客观的，而是人主观选择的。
这就像「英语中的词性」。虽然「游泳」这个概念，在内容上，属于一种动作，但我们也可以不将其按照「动词"swim"」来处理，而按照「名词"swimming"」来处理，只要我们将它变成「形式上的名词」即可。然后我们就可以套用「"Swimming is a popular sport" 这个名词的句式」。
再举一个实际例子。
从「光的传播时间」推测「光的传播距离」时，会得到二者的关系，姑且称为"关系A"。
此时，「光的传播时间」是输入，「光的传播距离」是输出，而「关系A」既不是输入，也不是输出。
但是，在另一个推测中，我们其实可以把「关系A」视为「输入」去推测「是否可导」和「是否连续」。
熟悉编程的人更容易理解这一点。在编程中，函数是输入和输出之间的关系，但函数也可以作为输入传递给另一个函数。
对于输入和输出的数量，一定有人会好奇，如果遇到「从多个输入向多个输出的推测」，该如何描述呢？
其实，只需要引入「维度」这个数学概念，就可以避免使用「多个输入」的说法。因为无论有多少个"输入"，都可以视为「一个输入的不同维度」。「输出」也可以按这个逻辑处理。换句话说，我们将「输入」或「输出」看作「一个多维向量」而不是「多个单维标量」。
这样做的好处是：我们不必为不同数量的输入和输出建立不同的描述方式和公式，可以使用统一的描述方式来应对各种数量的情况。
其实，在自然语言中，「向量的维度」对应着「概念的子概念」。我们知道，任何概念都可以被拆分成多个概念，而多个概念也可以被划分为单一概念。所以，不论说"一个概念"还是"一堆概念"都没什么差别。但说"一个概念"会更加方便，之后可以在必要的时候，再把"一个概念"详细描述成"一堆概念"。
例如，在打羽毛球的例子中，我们可以将「对手的动作」和「球的位置」视为「一个输入的两个维度」，而不是两个独立的输入。同样地，「控制肌肉的神经信号」其实也有很多个，我们也可以将它们看作「一个输出的不同维度」。
又如，在从「暗霞」到「手心数值变化」的推测中，「暗霞」可以被视为一个输入，而「弦的数量」和「环的数量」则被视为「暗霞的两个维度」。同样地，「手心数值变化」也被我们视为一个输出，而「数值的变化」和「升降的变化」则是它的两个维度。
在从「拳击选手条件」到「比赛输赢」的推测中，「拳击选手条件」这一个输入，就可以包含「红方选手条件」和「蓝方选手条件」两个维度，而「红方选手条件」又可以被细分为「身高」「体重」「年龄」「历史战绩」等维度。同理，「比赛输赢」这一个输出，可以仅包含「优胜者是谁」这种单一维度，也可以包含「双方点数」「回合次数」等多维信息。
前面说过，「信息推测」可以细分为「经验推测」和「模型推测」两种类型。当进行「经验推测」时，「信息推测」的数学描述会变得更加具体：由"从输入到输出的关系"转变为"从「输入常量」到「输出常量」的「对应关系」"。
之所以用「常量」描述，是因为：「经验推测」中的「输入」「输出」都是「确定的唯一可能状态」，不像「模型推测」中的「输入」「输出」可以是「多个可能状态中的任意一个」。「常量」正是用于表达这种「确定的唯一可能状态」的特性。
注意，「常量」虽有一个"量"字，但它不必是「数字」，本质上是「状态」。
举例来说，当我们把「对象层」设为「具体数字所处的层面」时，"「3」-「1」=「2」"的关系中，「3」和「1」是「输入常量」，「2」是「输出常量」，因为「3」「1」「2」都是「确定的唯一可能状态」。
但是，在"「被减数」-「减数」=「差」"的关系中，「被减数」和「减数」不是输入常量，「差」也不是输出常量，而是「变量」，因为「被减数」「减数」「差」都可以代表1、2、1.2等「多个可能状态中的任意一个」，而非「确定的唯一可能状态」。
之所以用「对应关系」描述，是因为「经验推测」中「输入」「输出」的「关系」是「两个具有唯一可能状态的对象」之间的「直接对应」，不像「模型推测」中的「关系」是「两个可以有多个可能状态的概念」之间的「映射关系」。
在本课程中，「对应（关系）」专门被用来指代「一个常量和另一个常量之间的关系」。当出现"对应"一词时，也意味着我们将当前讨论的对象视为一个常量。
例如，"「这个苹果」是「酸的」"的关系中，「这个苹果」是「输入常量」，「酸的」是「输出常量」。「这个苹果」和「酸的」之间的关系就是「对应关系」，因为二者被我们视为常量，都是「具有唯一可能状态的对象」。
但是，"「苹果」是「可食用的」"的关系中，「苹果」可以代表红苹果、绿苹果、国光、红富士等多个可能状态，不是常量，而是变量，因此，「苹果」和「可食用的」之间的关系，就不是「对应关系」，而是「映射关系」。
「经验推测」中的「输入常量」「输出常量」「对应关系」就好比一个实心点（输入常量）与另一个实心点（输出常量）连成一条实线（对应关系）。
同样地，当进行「模型推测」时，「信息推测」的数学描述也会更加具体：由"从输入到输出的关系"转变为"从「输入变量」到「输出变量」的「映射关系」"或"从「输入空间」到「输出空间」的「映射关系」"。
之所以用「变量」描述，是因为：「模型推测」中的「输入」「输出」并非「确定的唯一可能状态」，可以是「多个可能状态中的任意一个」，「变量」正是用于表达这种「可以在特定范围内任意取值」的特性。
例如，"从「溶液」到「酸碱性」"的推测中，作为「输入（推测依据）」的「溶液」，并非「确定的唯一可能状态」，而可以是「温泉水」「啤酒」「洗衣液」「氢氧化钠溶液」等「多个可能状态中的任意一个」，因此是「变量」。而作为「输出（推测目标）」的「酸碱性」也不是「唯一可能状态」，而可以是「酸性」「中性」「碱性」等「多个可能状态中的任意一个」，因此也是「变量」。
我们也使用「输入空间」和「输出空间」来描述「输入变量的可取值范围」和「输出变量的可取值范围」。
虽然一些人可能不熟悉「空间」这个数学概念，但高中教过「集合」，而「空间」实际上就是「满足特定性质的集合」。在这里，「变量」对应着自然语言中的「概念」，而「空间」对应着自然语言中的「概念的外延」，「空间里的元素」则又对应着自然语言中的「外延里的对象」。
「输入空间」和「输出空间」也有别名，分别叫做「定义域」和「到达域（陪域）」。注意与「值域」相区分，「输出的实际取值范围」是「值域」，但「输出空间」是「输出的可能取值范围」，因此不是「值域」，而是「到达域（陪域）」。
之所以我们描述「输出空间（到达域）」，而非「值域」，是因为在「信息推测」之前，我们只知道「可能取值范围」，并不知道「实际取值范围」。
例如，"从「人」到「寿命是否有限」"的推测中，「输入空间」是「所有具体的人（如嬴政、孔子）所组成的集合」，也就是「"人"这个概念」的外延，而「输出空间」是「"有限"和"无限"两个可能状态所组成的集合」，也就是「"是否有限"这个概念」的外延。
尽管通过归纳，我们得出"所有人的寿命都是有限的"，即"「输出的实际取值范围」都是「有限」这一个可能状态"，但在描述这个信息推测时，我们应该说"我们在探究「人」与「寿命是否有限」的关系"，而不该说"我们在探究「人」与「寿命有限」的关系"，因为后者只不过是探究的结果。这也是为什么我们要描述"「输入空间」和「输出空间」的关系"，而不是描述"「输入空间」和「值域」的关系"。
至于「模型推测」中「输入（变量）」和「输出（变量）」的「关系」，则选用「映射关系」来描述。原因在于：我们进行「信息推测」时，是为了做决策，需要获得「确定的输出结果」，而非「"既是，又是"的输出结果」，因此，「输入变量」在「输入空间」内的每一个可选取值，都只能「对应」「唯一一个输出取值」，不可以对应两个以上的输出结果，否则会得出矛盾的结论。而「映射关系」就是具有这种约束的「变量间的关系」，即：「输入变量」在「输入空间」的每一个可选取值，都只能「对应」一个「唯一的输出取值」。
例如，"从「大学期末分数」到「是否及格」"的推测中，「输入空间」是「0至100的有理数所构成的集合」，「输出空间」是「"及格"和"不及格"两个元素所构成的集合」。「输入变量」在0至100的每一个取值，都只能对应唯一一个输出取值，要么输出及格，要么输出不及格，如果既对应及格又对应不及格，就相当于没推测。通常，大学的判定规则都是：当输入为0至59时，都对应不及格，而输入为60至100时，都对应及格，因此这是一个映射关系。若是150分满分，那么输入为0-89时，都对应不及格，输入为90至150时，都对应及格，这又是另一个映射关系。
下表展示了自然语言和数学语言的概念对应关系。
自然语言 | 数学语言 |
|---|
思维过程、认知过程 | 从输入到输出的关系（信息推测） |
对象（推测依据） | 输入常量（输入空间的元素） |
对象（推测目标） | 输出常量（输出空间的元素） |
仅对单一情况有效的关系 | 对应关系 |
一个对象和另一个对象的个别关系（一个情况） | 从输入常量到输出常量的对应关系（有序对） |
概念（推测依据） | 输入变量 |
概念（推测目标） | 输出变量 |
推测依据的概念外延 | 输入空间 |
推测目标的概念外延 | 输出空间 |
对一类情况有效的通用关系 | 映射关系 |
一个概念和另一个概念的通用关系（一个知识） | 从输入空间到输出空间的映射关系（模型） |
一个知识的适用范围 | 映射的输入空间 |
可拆分成多个子概念的概念 | 多维向量 |
想必会有人疑惑，学习「变量」「空间」「映射」等概念有什么用？
请回想开篇对于描述「思维过程」和「知识」时所遇到的障碍。有了这些数学概念，我们就可以更加清晰明确地描述「思维过程」和「知识」了。
首先，任何「思维过程」都可以被我们用「信息推测（信息加工）」过程来描述，也就是「从输入到输出的推测（加工）过程」。
「输入」是「思维过程的起点」，也是「推测的依据」。
「输出」是「思维过程的终点」，也是「推测的目标」。
我们可以把"从「一个输入常量」到「一个输出常量」的「对应关系」"称为"一个情况"。
然后，我们再把「情况」根据「是否已见」划分为两个子类，即「已见情况」和「未见情况」。这样，我们就可以更清晰地描述「经验」了，也就是「已见情况」。
至于「知识」，我们之前只能粗略地描述为："从一类事物到另一类事物的通用关系"或"多个情况之间的共有关系"。然而，这些描述仍不能清晰说明知识的适用范围和作用。
现在，我们有了更好的描述方式：
在「一个信息推测（任务）」中，我们通常依靠记忆和回忆「已见情况（经验）」，来根据输入推测输出，也就是「经验推测」。但我们也可以建构出一些「通用规律」。如果某个「通用规律」不仅能推测「已见情况（经验）的输入该对应什么输出」，还能推测「未见情况的输入该对应什么输出」，那么这个「通用规律」就是该「信息推测」下的一个「知识」。
这里有几个要点：
知识总是属于某个「信息推测（任务）」的，但一个信息推测中，可以建构出多个知识。
若用数学语言描述：
「知识」是在一个「信息推测」中，对「所有输入变量的取值」都能推测出「正确输出对应」的「映射关系」。
「知识的适用范围」就是「其输入变量的取值范围」，也就是「它的输入空间」。
「知识的作用」是帮助我们推测未见情况。
需要注意的是：在描述一个「知识」时，不能只说它的「映射关系」，必须要说明这个「映射关系」是"从哪个变量到哪个变量的映射关系"。换句话说，需要「输入空间」「输出空间」「映射关系」三个要素，才能完整描述一个知识。
举例来说，牛顿第一定律（惯性定律）是一个知识，属于"从「受外力为零的物体」到「物体的加速度」的推测规律"。
该知识的「输入空间」是「所有受外力为零的物体组成的集合」，元素可以是「在桌面上受重力和桌面支持力的苹果」或「不受摩擦阻力的滚动的小球」等。
该知识的「输出空间」是「所有物体的加速度组成的集合」，元素可以是「」「」等。
该知识的「映射关系」是"「所有受外力为零的物体」都对应「加速度为零（静止或匀速直线运动）」"。
该知识的「适用范围」是「所有受外力为零的物体组成的集合」。
又如，阿基米德定律（浮力定律）是一个知识，属于"从「浸入液体的物体」到「物体受到的浮力」的推测规律"。
它的「输入空间」是「所有浸入液体的物体所构成的集合」，元素可以是「部分浸入水中的木块」或「完全浸入油中的铁球」等。
它的「输入」可以分成两个维度，即「侵入液体的体积」和「液体的密度」。
它的「适用范围」是「所有浸入液体的物体所构成的集合」。
可以发现，「知识的输入空间」表达了「知识的适用范围」，而「知识的输出空间」表达了「预测目标」，能让我们明白「该知识可以告诉我们什么信息」。
如果一个人在学习某个知识时，不清楚这个知识的输入空间，他就不知道该知识在什么情况下有效，什么情况下无效。如果不清楚知识的输出空间，他就无法判断何时能用上该知识。
因此，我们可以得到「学习的第一原则」：学习任何知识时，都要先明确该知识的输入空间和输出空间，简称"明确输入输出"。
不过，上面只讲了「如何描述」，但要「依靠什么明确」呢？
请针对「牛顿万有引力」回答以下问题：
请针对「光的反射定律」回答以下问题：
BGM："Within Our Nature" by Scott Buckley is licensed under CC BY 4.0
