望远镜系统

无焦系统：

平行于光轴的入射光线经过组合系统后出射光线仍然平行于光轴。组合系统的焦点在无限远处，主面也在无限远处。由组合焦距公式，并代入这里的d=f1′​+f2′​得Φ=0

望远系统：

当无焦系统f1′​>f2′​时，系统通常亦称为望远系统。

垂轴放大率：

即望远系统的垂轴放大率与物体所处位置无关。

角放大率：

其物理解释就是如果一平行光束以与光轴夹角为ω的方向入射，则出射光束是与光轴夹角为ω′的平行光束，且tanωtanω′​=−f2′​f1′​​

望远镜系统的视觉放大率

望远镜的视觉放大率：望远镜的视觉放大率定义为像方视场角正切与物方视场角正切之比，即

其中，ω 是物方视场角，ω′ 是像方视场角。fo′​ 是物镜的焦距，fe′​ 是目镜的焦距。

视觉放大率还与入瞳直径 D 和出瞳直径 D′ 相关：

视觉放大率与物体的位置无关，仅取决于望远镜系统的结构参数欲增大视觉放大率，必须增大物镜的焦距或减少目镜的焦距，但目镜的焦距不得小于 6mm，使得望远系统保持一定的出瞳距，以避免眼睛睫毛与目镜的表面相碰。。

放大率的正负决定了像的方向：若 Γ>0，像是正立的；若 Γ<0，像是倒立的。

一个望远镜的物镜焦距为 200 mm，目镜焦距为 20 mm。计算视觉放大率。
根据公式，

放大率为 -10，表示像是倒立的。

如果一个望远镜的视觉放大率为正，像是正立的；为负，像是倒立的。

例如，伽利略望远镜通常有正放大率，像是正立的；开普勒望远镜有负放大率，像是倒立的。

一个望远镜的物镜焦距为 150 mm，目镜焦距为 25 mm。求视觉放大率。

已知望远镜的视觉放大率为 -8，入瞳直径为 40 mm。求出瞳直径。

一个望远镜的物镜焦距为 100 mm，目镜焦距为 -20 mm（凹透镜）。求视觉放大率并判断像的方向。

解释为什么增大物镜焦距或减小目镜焦距可以增大视觉放大率。

典型望远镜

由两个正透镜组组成的无焦光学系统，物镜焦距f1′​大于目镜焦距f2′​，满足f1′​>∣f2′​∣。

因此开普勒望远系统成倒像。为使经系统形成的倒像转变成正立的像，需加入一个透镜或棱镜转像系统。因开普勒望远镜的物镜在其后焦平面上形成一实像，故可在中间像的位置放置一分划板，用作瞄准或测量。

机械筒长L为两焦距之和：

其中：

• f1′​：物镜像方焦距（正值）

• f2′​：目镜像方焦距（正值）

• L：机械筒长（物镜与目镜间距）

孔径光阑：物镜框作为系统孔径光阑，限制成像光束孔径角。

视场光阑：置于物镜像方焦平面处的分划板，限制视场范围。

渐晕光阑：目镜框往往作为渐晕光阑，其尺寸De​决定轴外点渐晕系数K：

其中δ为轴外光束偏移量。

军用望远镜的转像系统是由两个垂直放置的DⅡ​-180 棱镜（即保罗棱镜）组成的。

由正透镜组（物镜）和负透镜组（目镜）组成的无焦光学系统。

其视觉放大率大于 1，形成正立的像，不需加转像系统，但无法安装分划板，应用较少，可应用于观剧，倒置伽利略望远镜可用于门镜。

对无限远物体成像时，形成正立虚像，无一次实像面。

机械筒长：为物镜和目镜焦距绝对值之差，即 L=∣fo′​∣−∣fe′​∣，机械尺寸较小。

角放大率公式为：

Γ>0 表示正立像。

人眼瞳孔：通常为孔径光阑，同时也是望远镜的出瞳

物镜框：通常为视场光阑，同时也是望远镜的入窗

由于视场光阑不与物面或像面重合，大视场下存在渐晕现象。

其中：

• fo′​ — 物镜像方焦距（正值）

• fe′​ — 目镜像方焦距（负值）

• L — 机械筒长

• Γ — 角放大率

分辨率

极限分辨角：望远镜分辨相邻两物点最小角距离的度量，由衍射理论决定。

瑞利判断下：

道威判断下：

有效放大率：满足人眼分辨率要求的最小视觉放大率：

该值保证衍射分辨角经放大后恰等于人眼极限分辨角60''。

其中：Γ为视觉放大率，D为入射光瞳直径（单位：mm）。λ=0.000555mm为可见光中心波长，′′表示角秒（1°=3600''）。

某天文望远镜D=200mm，按瑞利判断：

该值表示可分辨月球上相距约130米的两个陨石坑（地月距离3.84×105km）。

双筒望远镜D=50mm，有效放大率：

选择20×目镜可满足分辨需求，但采用40×目镜不会增加细节。

某航海望远镜D=80mm，按道威判断求极限分辨角。

望远镜实测最小分辨角2′′，入射光瞳直径D=70mm，问是否符合瑞利判断？

某望远镜参数：D=150mm，f0′​=1800mm，采用fe′​=15mm目镜。

1. 计算实际放大率

2. 验证是否满足有效放大率

3. 求可分辨1km外最小物距

工作放大率

工作放大率：
在望远镜设计中，为了减少眼睛在分辨极限条件（60″）下观察物像时的疲劳，视觉放大率通常取为最小分辨放大率(Γ=2.3D​)的2~3倍，称为工作放大率。

由Γ=2.3D​可求得

1. 对观察仪器的精度要求则是其分辨角

   φ=Γ60′′​

2. 对瞄准仪器的精度要求则是其瞄准误差Δφ，它与瞄准方式有关。

   • 使用压线瞄准，则有

     Δφ=Γ60′′​

   • 使用双线或叉线瞄准，则有

     Δφ=Γ10″​

最小分辨放大率

工作放大率Γwork​=k×Γmin​，k通常取2~3。

当取k=2.3时，工作放大率简化为

其中：Γwork​是工作放大率，Γmin​是最小分辨放大率，φ是望远镜的分辨角（单位：角秒），D是物镜直径（单位：毫米），k 是放大倍数因子。

给定物镜直径 D=50 mm，求工作放大率当 k=2.3。
解：Γwork​=D=50。

如果最小分辨放大率 Γmin​=20，求工作放大率当 k=2.5。
解：Γwork​=k×Γmin​=2.5×20=50。

望远镜物镜直径 D=60 mm，求工作放大率当 k=2.3。

证明当 k=2.3 时，Γwork​=D，假设 Γmin​=2.3D​。

设计望远镜，物镜直径 D=80 mm，工作放大率取最小分辨放大率的2.5倍。求工作放大率。

解释为什么工作放大率需大于最小分辨放大率。

视场

开普勒望远镜的视场

开普勒望远镜中，物方视场角ω定义为光线从无限远物体进入系统时，与光轴的最大夹角，满足公式：

其中：y′是视场光阑半径（即分划板半径），f0′​是物镜的像方焦距，ω是物方半视场角。视场2ω一般不超过15∘，以避免渐晕和像差。

物镜框作为孔径光阑和入瞳，目镜框是渐晕光阑，允许50%渐晕；出瞳位于目镜外侧，与人眼重合。分划板置于物镜后焦平面，作为视场光阑。

人眼通过开普勒望远镜观察时，必须使眼瞳位于系统的出瞳处，才能观察到望远镜的全视场。

假设开普勒望远镜物镜焦距f0′​=200mm，分划板半径y′=10mm。

求物方半视场角ω。

解：tanω=f0′​y′​=20010​=0.05，ω=arctan(0.05)≈2.86∘。

因此视场2ω≈5.72∘，小于15∘，符合限制。

若要求视场2ω=12∘，则ω=6∘，tanω≈0.1051。

给定f0′​=150mm，求分划板半径y′。

解：y′=f0′​tanω=150×0.1051≈15.765mm。

此值需小于目镜直径以避免严重渐晕，典型目镜直径约20mm。

一个开普勒望远镜物镜焦距f0′​=180mm，分划板半径y′=15mm。
计算物方半视场角ω和全视场2ω。

设计要求开普勒望远镜视场2ω=10∘，物镜焦距f0′​=250mm。

确定分划板半径y′的最小值。

开普勒望远镜中，目镜框是渐晕光阑，直径De​=25mm，物镜焦距f0′​=200mm。
求渐晕开始时（50%渐晕）的视场角ω。

开普勒望远镜放大率Γ=8×，物镜焦距f0′​=160mm，目镜焦距fe′​=20mm，分划板半径y′=12mm。
计算物方视场角2ω和像方视场角2ω′。

伽利略望远镜的视场

在伽利略望远镜中，人眼瞳孔作为孔径光阑和出瞳，物镜框作为视场光阑和入射窗。

由于视场光阑不与物面重合，系统存在渐晕现象。

视场角ω定义为光线与光轴的夹角，其计算依赖于视觉放大率Γ、机械筒长L和光阑位置。

50%渐晕时的视场角公式：

最大视场角（K=0）公式：

其中：D为物镜框直径，DP​为入瞳直径，lz​为入瞳到物镜框的距离，lz2′​为目镜到出瞳的距离（正值），lc2′​为目镜到出射窗的距离（负值），L=f0′​+fe′​为机械筒长，Γ为视觉放大率，f0′​和fe′​分别为物镜和目镜焦距。视觉放大率定义为Γ=tanωtanω′​=−fe′​f0′​​（目镜为凹透镜，fe′​<0）。

视觉放大率增大时，视场角减小。

已知伽利略望远镜参数：D=20mm, Γ=4, L=100mm, lz2′​=10mm。求50%渐晕时的视场角ω。