理想光学系统的放大率

垂轴放大率

垂轴放大率β定义为像高y′与物高y之比：β=yy′​

根据牛顿公式和高斯公式，β可表示为：

当物像方折射率相等（n=n′）时：β=ll′​

其中：

• β：垂轴放大率

• y′：像高

• y：物高

• f：物方焦距

• f′：像方焦距

• x：物方焦点到物的距离（以F为原点，物在F左侧为负）

• x′：像方焦点到像的距离（以F′为原点，像在F′右侧为正）

• l：物距（以物方主点为原点，物在左侧为负）

• l′：像距（以像方主点为原点，像在右侧为正）

• n：物方折射率

• n′：像方折射率

性质：

1. β随物位置变化，每个β对应唯一物像共轭位置。

2. β符号决定像的正倒：β>0成正立像，β<0成倒立像。

3. ∣β∣决定缩放：∣β∣>1为放大，∣β∣<1为缩小。

物高y=2cm置于凸透镜（f′=10cm）前l=−30cm处。
由高斯公式l′1​−l1​=f′1​得：

l′1​−−301​=101​⟹l′=15cm，

β=ll′​=−3015​=−0.5（n=n′）。

像高y′=βy=(−0.5)×2=−1cm。

负号表示倒立实像，高度缩小为物的一半。

物高y=3cm置于凹透镜（f′=−15cm）前l=−20cm处。

由高斯公式：

l′1​−−201​=−151​⟹l′=−8.57cm，

β=ll′​=−20−8.57​=0.428。

像高y′=βy=0.428×3≈1.28cm。

正β表示正立虚像，高度缩小。

物置于凸透镜（f′=12cm）物方焦点左侧x=−8cm处。
求β及像性质。

物置于n=1.0介质中，透镜像方n′=1.5，l=−25cm，l′=50cm。
求β并比较n=n′时的误差。

某光学系统β=−0.25，物高y=8mm。
判断像的正倒、缩放、虚实并计算像高。

两薄透镜组合：f1′​=10cm，f2′​=−15cm，间距d=20cm。
物在透镜1前l1​=−25cm处，y=4cm。
求系统总β及最终像高。

垂轴放大率β随物距l的变化关系如下图 所示，由图可知光学系统对不同物距处物体成像时垂轴放大率的变化趋势。

依据β值可分析成像性质

根据高斯公式和放大率定义，透镜成像性质由物距l和焦距f′决定。约定：

• 焦距：凸透镜 f′>0，凹透镜 f′<0

• 物距：实物 l<0，虚物 l>0

• 放大率：β=−ll′​（l′为像距）

• 像的性质：

  • β<0：倒立像；β>0：正立像

  • ∣β∣>1：放大；∣β∣<1：缩小

  • l′与l同号：虚像；异号：实像

透镜成像规律表：

其中：

• ∥f′∥ 表示焦距的绝对值（∥f′∥=−f′ 当 f′<0）

• 区域划分基于物距与焦距的倍数关系

轴向放大率

轴向放大率α定义为物平面沿光轴作微小移动时，像平面移动距离与物平面移动距离之比。

即

从牛顿公式 xx′=ff′ 微分得 xdx′+x′dx=0，

结合垂轴放大率 β=−xf​=−f′x′​，

当物像空间介质相同（n′=n）时，简化为 α=β2。

这表明轴向放大率与垂轴放大率相关，影响成像形状。

其中：\

• dx 或 dl 是物平面的微小移动量（物距变化）。

• dx′ 或 dl′ 是像平面的相应移动量（像距变化）。

考虑凸透镜置于空气中（n=n′=1），焦距 f′=100 mm，物距 l=−200 mm（负号表示物在透镜左侧）。

求垂轴放大率 β 和轴向放大率 α。

使用高斯公式 l′1​−l1​=f′1​。
代入 l=−200，f′=100：
l′1​−−2001​=1001​
l′1​+0.005=0.01
l′1​=0.005
l′=200 mm

垂轴放大率 β=ll′​=−200200​=−1（在空气中）。

轴向放大率 α=β2=(−1)2=1。

这表明物移动时，像以相同距离移动。

假设光学系统物方介质 n=1.0（空气），像方介质 n′=1.5（玻璃），垂轴放大率 β=−0.5。

求轴向放大率 α。

使用公式 α=nn′​β2。

代入 n=1.0，n′=1.5，β=−0.5：

α=1.01.5​×(−0.5)2=1.5×0.25=0.375
这表明像移动距离小于物移动距离。

已知牛顿公式中 x=−120 mm，x′=80 mm。
求轴向放大率 α。

在空气中，垂轴放大率 β=−3。

求轴向放大率 α。

从高斯公式 l′1​−l1​=f′1​ 出发。

推导轴向放大率 α=dldl′​ 的表达式。

一个边长为 a 的正方体位于光轴上，垂轴放大率 β=0.5，物像空间介质相同。

求轴向放大率 α，并说明像的形状。

角放大率

角放大率定义为通过光轴上一对共轭点的任意一对共轭光线与光轴夹角正切之比：

由理想光学拉赫公式nytanU=n′y′tanU′可得

其中：U 是物方光线与光轴的夹角（逆时针为正），U′ 是像方光线与光轴的夹角（顺时针为正），γ 是角放大率。

• 角放大率仅随物像位置而异

• 在同一对共轭点上，任一对共轭光线与光轴夹角U和U′的正切之比恒为常数。

• 三种放大率之间的关系式：α⋅γ=β

已知物方光线与光轴夹角 U=30∘，像方光线与光轴夹角 U′=45∘，求角放大率 γ。
计算 tanU=tan30∘=√31​

计算 tanU′=tan45∘=1

因此 γ=tanUtanU′​=√31​1​=√3

已知垂轴放大率 β=2，轴向放大率 α=1.5，求角放大率 γ。

由关系式 αγ=β 得 γ=αβ​=1.52​=34​

已知物方光线与光轴夹角 U=20∘，像方光线与光轴夹角 U′=30∘，求角放大率 γ。

已知角放大率 γ=0.8，垂轴放大率 β=1.6，求轴向放大率 α，并验证关系式。

光学系统的节点

节点是光学系统中角放大率 γ=+1 的一对共轭点。

即对于物方点 J 和像方点 J′，满足

其中：γ 表示角放大率，u 是物方光线与光轴的夹角，u′ 是像方光线与光轴的夹角。

当光线通过节点时，出射方向与入射方向相同。

当光学系统位于均匀介质中（如空气），n′=n，则 γ=β1​。

若 γ=1，则 β=1，此时主点与节点重合。

过主点的入射光线出射方向不变。

当 n′=n 时，节点不与主点重合。

物方节点 J 的位置：

像方节点 J′ 的位置：

其中：f 为物方焦距，f′ 为像方焦距，x 和 x′ 分别以物方焦点和像方焦点为原点。

光学系统的基点包括：一对节点、一对主点、一对焦点。

考虑一个凸透镜位于空气中，n′=n=1，焦距 f′=10 cm。

由于 n′=n，节点与主点重合。

物方主点 H 和像方主点 H′ 即为节点 J 和 J′。

过 H 的入射光线平行于光轴射出。

设光学系统物方介质 n=1（空气），像方介质 n′=1.5（玻璃）。

物方焦距 f=−15 cm，像方焦距 f′=10 cm。

节点位置：xJ​=f′=10 cm，xJ′​=f=−15 cm。

物方节点 J 位于物方焦点右侧 10 cm 处。

像方节点 J′ 位于像方焦点左侧 15 cm 处。

一个光学系统物方介质 n=1.0，像方介质 n′=1.33（水）。

已知物方焦距 f=−20 cm，像方焦距 f′=15 cm。

求物方节点 J 和像方节点 J′ 的位置（以焦点为原点）。

证明当 γ=1 时，节点处 u′=u。
提示：使用角放大率定义 γ=tanutanu′​。

若光学系统 n′=n，且 β=2，求角放大率 γ。
当 γ=1 时，β 的值是多少。

一个透镜系统物方 n=1.0，像方 n′=1.2。
物方焦点到物方主点距离为 5 cm，像方焦点到像方主点距离为 8 cm。
求节点位置 xJ​ 和 xJ′​。

平行光管测定焦距

无限远轴外物点发出的平行光束与光轴成ω角入射光学系统后，会聚于焦平面上的点B′，该点高度即为像高y′。

像高y′由过节点的光线路径决定。

当系统置于空气中时，主点与节点重合，因此像高表达式为：

其中：y′ 表示像高（光轴以上为正），f′ 表示系统焦距（凸透镜为正），ω 表示入射平行光束与光轴的夹角（约定顺时针方向为正）。

给定倾角的平行光束由平行光管产生，其物镜焦平面设置刻有已知间隔y的分划板。

平行光管物镜焦距f1​已知，光束倾角ω满足：tan(−ω)=−f1​−y​；对被测物镜，有 tan(−ω)=f2′​y′​；故

其中：

• f1​：平行光管物镜焦距（已知正值）

• y：分划板线条间隔绝对值（y>0)

• y′：被测物镜焦平面像高绝对值（y′>0)

• ω：光束与光轴夹角（向下为正）

• f2′​：被测物镜焦距（凸透镜取正值）