光阑

孔径光阑

在光学系统中，孔径光阑是限制光束孔径（成像光束大小）的物理元件，它决定了限制轴上物点成像光束的立体角（孔径角），并选择轴外物点成像光束的位置。从而影响成像的分辨率、亮度和景深。

孔径光阑的位置和大小决定了系统的入瞳和出瞳。

孔径光阑的确定基于光路追迹：

1. 计算所有光学元件（如透镜边缘）在物空间的像。

2. 从物点看，这些像中张角最小的那个对应的元件即为孔径光阑。
   设系统有 k 个候选光阑，其像在物空间的张角为 αi​，则孔径光阑满足：

   αmin​=min(α1​,α2​,…,αk​)

入瞳是孔径光阑在物空间的像，出瞳是孔径光阑在像空间的像。

如图 4 - 6 所示的照相机镜头，中间粗实线所示的俗称光圈，就是所讨论的孔径光阑

考虑一个简单透镜系统，孔径光阑置于透镜前、透镜上或透镜后。

当置于透镜上时，轴上和轴外光束都通过透镜中心，所需透镜口径最小。

例如，在显微镜中，孔径光阑位置变化会影响成像光束的收集效率。

例如在图 4 - 8 所示的系统中，当物平面位于 A 处时，限制轴上物点光束最大孔径角的是图示的孔径光阑。

而当物平面位置不在 A 处而在 B 处时，原先的“孔径光阑”形同虚设，真正起限制轴上物点孔径角 u 大小作用的是透镜的边框，这时透镜的边框是系统的孔径光阑。

场景1：物平面位于A点（lA​=−200mm），孔径光阑D1​=20mm限制光束，计算孔径角：

场景2：物平面移至B点（lB​=−50mm），透镜边框D2​=30mm成为实际孔径光阑：

此时D1​不限制光束（uD1​=arctan(0.1)≈5.71∘>uB​）。

一个透镜系统，孔径光阑置于透镜后，轴外物点光束通过透镜边缘。
解释为什么孔径光阑置于透镜上时透镜口径最小。

焦距f′=100mm的凸透镜（直径DL​=40mm）前方50mm处有光阑DA​=30mm。

(1) 物在透镜前150mm时，求孔径光阑

(2) 物移至透镜前80mm时，重新判定

组合系统孔径光阑的确定

确定孔径光阑的两种常用方法：

1. 追迹近轴光线法：
   从轴上物点追迹一条近轴光线（光线角度u任意），计算光线在每个折射面上的投射高度hi​，然后与相应折射面的实际口径Di​比较，比值ki​=Di​hi​​最大的折射面，其边框即为孔径光阑。

2. 成像边框张角法：
   将每个透镜的边框经其前面的所有透镜成像到物空间，得到像的大小，然后计算这些像对给定轴上物点的张角ωi​，张角ωi​最小的像对应的透镜边框即为孔径光阑。

对于方法1，比值ki​最大表示该面限制光束最严格。

对于方法2，张角最小表示该边框在物空间对光束的限制最强。

两种方法等价，均基于几何光学原理。

其中：

• u：光线在物空间的初始角度（单位：弧度）。

• hi​：光线在第i个折射面上的投射高度（单位：毫米）。

• Di​：第i个折射面的实际口径（单位：毫米）。

• ki​：投射高度与口径的比值（无量纲）。

• ωi​：成像边框对物点的张角（单位：弧度）。

考虑一个简单系统：轴上物点位于l=−100毫米处，系统由两个凸透镜组成，透镜1焦距f1′​=50毫米，口径D1​=20毫米，透镜2焦距f2′​=30毫米，口径D2​=15毫米，两透镜间距d=40毫米。

追迹一条近轴光线，初始角度u=−0.1弧度（负号表示逆时针方向）。

计算投射高度：

• 在透镜1面：h1​=l⋅u=(−100)⋅(−0.1)=10毫米。

• 光线经透镜1折射后，角度u1′​=u−f1′​h1​​=−0.1−5010​=−0.3弧度。

• 在透镜2面：投射高度h2​=h1​+d⋅u1′​=10+40⋅(−0.3)=−2毫米（负号表示光轴下方）。

比值计算：

• k1​=D1​∣h1​∣​=2010​=0.5。

• k2​=D2​∣h2​∣​=152​≈0.133。

k1​>k2​，因此透镜1的边框是孔径光阑。

同前系统：物点l=−100毫米，透镜1f1′​=50毫米，D1​=20毫米，透镜2f2′​=30毫米，D2​=15毫米，间距d=40毫米。

将每个透镜边框成像到物空间：

• 透镜1边框：直接对物点张角ω1​=∣l∣D1​/2​=10010​=0.1弧度（因边框在物空间）。

• 透镜2边框经透镜1成像：透镜2在透镜1后d=40毫米，成像位置l2′​=f1′​1​−d1​1​=501​−401​1​=−200毫米（物方），像大小D2′​=D2​⋅∣∣∣∣​dl2′​​∣∣∣∣​=15⋅40200​=75毫米。

张角计算：

• ω1​=0.1弧度。

• ω2​=∣l∣D2′​/2​=10037.5​=0.375弧度。

ω1​<ω2​，因此透镜1边框是孔径光阑。

不同光学系统中孔径光阑的安放

1. 目视系统：

   出瞳必须位于目镜外特定位置，便于人眼瞳孔与其衔接，满足

   Deye​=Dexit​+2l′tanω′

   其中 Deye​ 为人眼瞳孔直径（约 2-8mm），Dexit​ 为出瞳直径，l′ 为目镜到出瞳距离，ω′ 为视场角。

2. 投影计量系统：

   为使投影像的倍率不因物距变化而变化，要求入瞳或出瞳位于无限远，确保放大率 β 恒定：

   β=−xf′​

   其中 f′ 为像方焦距，x 为物方焦点到物体距离。此时主光线平行光轴，物距变化不影响 β。

3. 无特殊要求时：

   光阑位置选择轴外光束像差校正最优处，亦把光阑位置的选择作为一个校正像差的一个手段，满足最小波像差条件：

   δW=i=1∑n​∂Hi​∂W​ΔHi​≈0

   其中 W 为波像差函数，Hi​ 为光阑位置参数。

4. 口径匹配原则：

   在遵循以上原则只后若光阑位置仍有选择余地，则考虑如何合理匹配光学系统各元件的口径，各元件口径 Dk​ 需满足

   Dk​≥2(hk​+nk​lk​tanU​)

   其中 hk​ 为元件通光半高度，U 为最大视场角，lk​ 为元件到光阑距离，nk​ 为介质折射率。

入射光瞳和出射光瞳

光瞳：即孔径光阑的像

入瞳：孔径光阑被其前方光学系统所成的像，决定了能进入光学系统的光束的最大孔径。

出瞳：孔径光阑被其后光学系统所成的像，决定了从光学系统出射的光束的最大孔径。

• 若孔径光阑位于系统最前面，则它本身就是入瞳。

• 若孔径光阑位于系统最后面，则它本身就是出瞳。

主光线：通过入瞳中心的光线。主光线通过孔径光阑中心和出瞳中心，因为入瞳、孔径光阑和出瞳相互共轭。

其中：共轭指物像关系，即三者通过光学系统成像对应。

入瞳和出瞳关于整个光学系统共轭，入瞳和孔径光阑关于光阑前面的光组成像共轭，出瞳和孔径光阑关于光阑后面的光组成像共轭。

在图 4 - 2 所示的光学系统中，孔径光阑在系统的最前边，系统的入瞳与孔径光阑重合，孔径光阑本身也是入瞳；

在图4-3所示的光学系统中，孔径光阑就安放在透镜上，如果透镜可当薄透镜处理，则孔径光阑本身是系统的入瞳，也是系统的出瞳；

在图4-4所示的光学系统中，孔径光阑在系统的最后面，因此系统的出瞳与孔径光阑重合，孔径光阑本身也是出瞳。

望远镜物镜直径Do​=50mm为孔径光阑。

• 入瞳：物镜本身（前方无透镜）

• 出瞳：物镜被目镜（fe′​=20mm）成像，若目镜到物镜距离d=120mm，则：

  l′1​−−1201​=201​⟹l′=24mm

  出瞳位于目镜后24mm处，直径D出​=∣∣∣∣​−12024​∣∣∣∣​×50=10mm。

考虑一个由两个透镜组成的光学系统，第一透镜焦距f1′​=10cm，第二透镜焦距f2​=−15cm，孔径光阑位于两透镜之间，距离第一透镜d=5cm。计算入瞳位置

解：

f1​=−f1′​

使用成像公式l′1​−l1​=f1​1​，其中l=−5cm（物距，负号表示物在左）

解得l′=f1​1​+l1​1​=−10cm，表示入瞳在物空间左侧10cm处。

焦距f′=100mm的凸透镜，直径DL​=30mm，其前方50mm处有直径DA​=20mm的光阑。求入瞳位置和大小。

两薄透镜L1​(f1′​=80mm), L2​(f2′​=60mm)间距d=120mm，孔径光阑在L1​后40mm处，直径DA​=25mm。求出瞳位置和大小。

显微镜物镜fo′​=4mm，目镜fe′​=25mm，光学筒长Δ=180mm，孔径光阑在物镜后焦面，直径DA​=5mm。求：
(1) 入瞳位置
(2) 出瞳位置及直径

一个光学系统由焦距f1​=20cm的正透镜和f2​=−10cm的负透镜组成，孔径光阑位于两透镜之间，距离正透镜d1​=15cm，距离负透镜d2​=5cm。求入瞳位置。

一个相机镜头焦距 f=50mm，孔径光阑直径 D=8mm，位于透镜后方 10mm 处。物在无限远。求入瞳和出瞳的位置及大小。

视场光阑

光学系统中限制成像视场范围（限定物平面或物空间能被清晰成像的最大范围）的光阑，它决定了系统能够成像的最大角度或尺寸。

• 视场光阑的位置和大小直接影响视场角，通常位于像平面或附近。

• 视场光阑的位置决定了成像范围的大小，通常位于物面或像面附近，其孔径形状和尺寸直接控制视场边界。

光学系统一般只有一个视场光阑。

入射窗和出射窗

入射窗：视场光阑经其前面的光学系统在物空间所成的像，决定了物方视场角2ω的大小。

出射窗：视场光阑经其后面的光学系统在像空间所成的像，决定了像方视场角2ω′的大小。

视场光阑：实际限制成像范围的光学元件，三者满足共轭关系

• 若视场光阑位于像面上，则入射窗与物平面重合，出射窗就是视场光阑本身；

  若视场光阑位于物平面上，则出射窗与像平面重合，入射窗就是视场光阑本身。

• 入射窗和视场光阑关于光阑前面的光学系统共轭；

  出射窗和视场光阑关于光阑后面的光学系统共轭。

整个光学系统中，入射窗和出射窗共轭，因此出射窗可视为入射窗经整个系统所成的像。

考虑一个单透镜系统，透镜焦距f′=100 mm，视场光阑位于透镜后方d=50 mm处。视场光阑经前面透镜（无其他光组）成像于物空间。

入射窗位置由透镜成像公式计算：

其中l为物距，l′为像距。

视场光阑位于像空间，故l′=−50 mm（逆光线方向为负），f′=100 mm。

解得l=l′1​−f′1​1​=−501​−1001​1​=−33.33 mm（物空间负值表示在透镜左侧）。

入射窗位于物空间l=−33.33 mm处，决定物方视场角。

若视场光阑直接放置在物平面上（如物体本身为光阑），则无前面光组，入射窗即视场光阑本身。

出射窗经后面光组成像：假设系统为一个焦距f′=80 mm的透镜，物距l=−200 mm（物在透镜左侧）。视场光阑在物平面，经透镜成像于像空间。

出射窗位置由成像公式：

代入l=−200 mm，f′=80 mm

解得l′=l1​+f′1​1​=−2001​+801​1​=133.33 mm

出射窗位于像空间l′=133.33 mm处

与像平面重合（假设像距为133.33 mm），决定像方视场角。

显微镜物镜焦距fo′​=4mm，目镜焦距fe′​=20mm，物距l1​=−150mm，视场光阑位于中间实像面。
求视场光阑和入射窗位置：

视场光阑位于中间实像面，则入射窗位于物平面，即物镜左侧150mm

焦距f′=50mm的镜头，视场光阑位于镜头前10mm处。
出射窗位置：

光学系统分三组：前组fa′​=120mm，中组fb′​=−80mm，后组fc′​=60mm，间距dab​=50mm，dbc​=40mm。视场光阑位于中组，求出射窗位置。

视场角

视场：光学系统能够成像的空间范围。

根据物距不同有两种表示方式：

1. 线视场：

   当物体位于有限距离时，用物高2y或像高2y′表示视场大小

2. 视场角：

   当物体位于无限远时，用物方视场角2ω或像方视场角2ω′表示视场

其中：

• y：物高（光轴到物点的垂直距离）

• y′：像高（光轴到像点的垂直距离）

• ω：物方半视场角

• ω′：像方半视场角

线视场

线视场：
光学系统中垂直于光轴的物平面或像平面上能清晰成像的最大直线范围，通常用长度单位（如毫米）表示。

在物空间称为物方线视场（y），在像空间称为像方线视场（y′）。

对于焦距为f′的光学系统，物方线视场y与半视场角ω的关系为：

像方线视场y′与像方半视场角ω′的关系为：

其中：

• l：物距（物在透镜左侧时为负值）

• ω：物方半视场角（顺时针为正）

• l′：像距（像在透镜右侧时为正）

• ω′：像方半视场角

推导过程：

已知焦距f′=50mm的镜头对焦在l=−2m处，像方半视场角ω′=15∘。求像方线视场y′。
解：

1. 先求像距l′：l′1​−−20001​=501​⟹l′≈51.28mm

2. 计算像方线视场：
   y′=l′tanω′=51.28×tan15∘≈13.74mm

显微镜物镜焦距f′=4mm，物距l=−150mm，半视场角ω=2∘。求物方线视场直径2y。
解：
y=−ltanω=−(−150)×tan2∘≈5.24mm
直径=2y≈10.48mm

投影仪镜头f′=20mm，像距l′=300mm，像方半视场角ω′=12∘。求像方线视场y′及对应的物方线视场y（物像同介质）。