1.4球面光学成像系统
球面光学成像系统
单个折射面成像
垂轴放大率
垂轴放大率 β 定义为像高 y′ 与物高 y 之比。
其中：y 是物高（物体大小），y′ 是像高（像的大小）。
从球面折射公式推导：l′n′−ln=rn′−n可得：
其中：n 是物方折射率，n′ 是像方折射率，l 是物距（物体到折射面顶点的距离），l′ 是像距（像到折射面顶点的距离），r 是球面曲率半径。
性质：
若 β>0，则 y′ 与 y 同号，表示正像。
若 β<0，则 y′ 与 y 异号，表示倒像。若 β>0，则 l′ 与 l 同号，物像虚实相同。
若 β<0，则 l′ 与 l 异号，物像虚实相反。若 ∣β∣>1，则 ∣y′∣>∣y∣，像放大。
若 ∣β∣<1，则 ∣y′∣<∣y∣，像缩小。
垂轴放大率仅取决于共轭面的位置，在一对共轭面上 β 为常数，故像与物相似
考虑一个凸球面折射系统，物方折射率 n=1.0，像方折射率 n′=1.5，物距 l=−100 mm（实物），球面曲率半径 r=50 mm。
首先求像距 l′：
从球面折射公式：l′1.5−−1001.0=501.5−1.0
计算：l′1.5+0.01=0.01
l′1.5=0
l′→∞（平行光出射）。
垂轴放大率β=n′lnl′=1.5×(−100)1.0×∞=∞（无限大，表示像在无穷远）。
由于β>0，像正立，且物像虚实相同（l<0,l′>0，实物成实像）。
考虑一个凹球面折射系统，n=1.0, n′=1.33, l=−150 mm, r=−100 mm（凹面）。
求像距 l′：l′1.33−−1501.0=−1001.33−1.0
l′1.33+1501=−1000.33
l′1.33=−0.0033−0.0067=−0.01
l′=−133mm。
垂轴放大率β=1.33×(−150)1.0×(−133)=−199.5−133≈0.667。
由于β>0，但y′与y同号
计算β=yy′>0，正像。
物距l=−150<0（实物），像距l′=−133<0（虚像），l和l′ 同号，物像虚实相同。
给定球面折射系统：n=1.0, n′=1.5, l=−200 mm, l′=300 mm。
求垂轴放大率 β。
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β=n′lnl′=1.5×(−200)1.0×300=−300300=−1。β=−1。
像倒立（β<0）。
物像虚实：l<0, l′>0，异号，虚实相反（实物成实像）。∣β∣=1，像大小不变。
系统参数：n=1.33, n′=1.0, l=100 mm, l′=−80 mm。
计算 β 并判断像的正倒、虚实和放大缩小。
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β=n′lnl′=1.0×1001.33×(−80)=100−106.4=−1.064。β<0，像倒立。
物距 l=100>0（虚物），像距 l′=−80<0（虚像），l 和 l′ 同号（均正？l>0, l′<0 异号），但 β<0 表示 l′ 和 l 异号，故物像虚实相反。∣β∣=1.064>1，像放大。
从球面折射公式 l′n′−ln=rn′−n 推导 β=n′lnl′。
提示：利用近轴光线和物像关系。
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设物高 y，像高 y′。
在近轴区，光线角度小，有相似三角形关系。
考虑轴外点 B，光线 BC 通过球心 C。
在物方三角形：tanθ≈θ=−ly（l<0 时）。
在像方三角形：tanθ′≈θ′=l′y′。
由折射定律和近轴近似，θ′=n′nθ。
故：l′y′=n′n−ly整理：yy′=n′lnl′(−ll) 但标准形式为 β=yy′=n′lnl′直接得证。
轴向放大率
轴向放大率定义为光轴上一对共轭点沿轴向移动时，像点移动量 dl′ 与物点移动量 dl 之比。
用 α 表示，即
其中：dl 是物点沿光轴的微小移动量，dl′ 是相应像点的移动量。
将l′n′−ln=rn′−n微分可得−l′2n′dl′+l2n dl=0
对于折射球面，由上得轴向放大率为
其中：n 是物方折射率，n′ 是像方折射率，l 是物距，l′ 是像距。
轴向放大率与垂轴放大率 β 的关系为
由此得出两个结论：
轴向放大率恒为正，因此物点移动时像点同向移动。
轴向放大率与垂轴放大率不等，导致空间物体成像变形，例如正方体成像后不再保持原形。
考虑一个折射球面，曲率半径 r=100 mm，物方折射率 n=1.0，像方折射率 n′=1.5，物距 l=−200 mm（负号表示物在球面左侧）。
首先求像距 l′，使用折射球面公式 l′n′−ln=rn′−n。
代入数值：l′1.5−−2001.0=1001.5−1.0。
计算得 l′1.5+0.005=0.005，因此 l′1.5=0，解得 l′=∞（无限远）。
此时轴向放大率 α=n′l2nl′2，但由于 l′→∞，公式需修正；实际中物点微小移动时，α 可通过微分近似计算。
假设一个正方体边长 a=10 mm，位于折射球面前，n=1.0，n′=1.5，垂轴放大率 β=0.5。
则轴向放大率 α=nn′β2=1.01.5×(0.5)2=1.5×0.25=0.375。
物点沿轴向移动 dl=2 mm 时，像点移动 dl′=α⋅dl=0.375×2=0.75 mm。
由于 α=β（0.375 vs 0.5），正方体成像后轴向长度压缩比例不同，导致变形为长方体。
给定折射球面参数：n=1.0，n′=1.6，物距 l=−150 mm，像距 l′=300 mm。
计算轴向放大率 α。
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使用公式 α=n′l2nl′2。
代入数值：α=1.6×(−150)21.0×(300)2。
计算分子：3002=90000。
分母：(−150)2=22500，n′l2=1.6×22500=36000。
因此 α=3600090000=2.5。
轴向放大率为 2.5。
从折射球面公式 l′n′−ln=rn′−n 出发，推导轴向放大率 α=dldl′。
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对公式两边微分：d(l′n′−ln)=d(rn′−n)。
右边为常数，微分后为 0。
左边：−l′2n′dl′+l2ndl=0。
整理得 l2ndl=l′2n′dl′。
因此 dldl′=n′l2nl′2。
即 α=n′l2nl′2。
已知垂轴放大率 β=2，物方折射率 n=1.0，像方折射率 n′=1.5。
求轴向放大率 α，并解释物点移动时像点的移动方向。
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使用关系式 α=nn′β2。
代入数值：α=1.01.5×(2)2=1.5×4=6。
轴向放大率为 6。
由于 α>0，物点沿光轴移动时，像点沿同方向移动。
例如，物点右移 dl>0，则像点右移 dl′=α⋅dl>0。
角放大率
在近轴光学中，角放大率 γ 定义为像方共轭光线与光轴的夹角 u′ 与物方共轭光线与光轴的夹角 u 的比值。
其数学表达式为：
利用近轴光学中的拉格朗日不变量 l′u′=lu，可得：
其中：
u 和 u′ 分别为物方和像方光线与光轴的夹角（单位：弧度）。
l 和 l′ 分别为物距和像距（单位：长度，如 mm；l 负表示物在顶点左侧）。
n 和 n′ 分别为物方和像方的折射率（无量纲）。
β 为横向放大率，定义为像高 y′ 与物高 y 之比（β=yy′）。
角放大率描述折射球面对光束发散或会聚能力的量化指标，即光束变宽或变细的程度。
它仅依赖于共轭点的位置（由 l 和 l′ 决定），而与光线的孔径角大小无关。
考虑一个折射球面，物方折射率 n=1.0，像方折射率 n′=1.5，物距 l=−100mm，像距 l′=200mm。
求角放大率 γ。
解：使用公式 γ=l′l。
代入值：γ=200−100=−0.5
负号表示像方光线方向与物方相反（会聚光束）。
已知横向放大率 β=−0.5，n=1.0，n′=1.5。
求角放大率 γ。
解：使用公式 γ=n′nβ1。
代入值：γ=1.51.0×−0.51=32×(−2)=−34
结果表示光束在像方被压缩为物方的 34 倍，且方向相反。
一个折射球面，物距 l=−150mm，像距 l′=300mm。
求角放大率 γ。
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解：使用公式 γ=l′l。
代入值：
γ=300−150=−0.5
负值表示像方光线方向与物方相反。
已知物方折射率 n=1.0，像方折射率 n′=1.6，横向放大率 β=−2。
求角放大率 γ。
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解：使用公式 γ=n′nβ1。
代入值：
γ=1.61.0×−21=0.625×(−0.5)=−0.3125
结果表示光束在像方被压缩为物方的 0.3125 倍。
一个光学系统，物距 l=−200mm，像距 l′=400mm，n=1.0，n′=1.5。
求横向放大率 β 和角放大率 γ。
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解：先求角放大率 γ=l′l。
代入值：
γ=400−200=−0.5
再求横向放大率 β。
从 γ=n′nβ1 推导：
−0.5=1.51.0×β1=32β1
解得：
β1=−0.5×23=−0.75
β=−0.751=−34
β 负值表示倒立像。
垂轴放大率β定义为像高y′与物高y之比，即β=yy′。
轴向放大率α定义为像方轴向位移dl′与物方轴向位移dl之比，即α=dldl′。
角放大率γ定义为像方孔径角u′与物方孔径角u之比，即γ=uu′。
三者之间的关系为
其中：y′为像高，y为物高，l′为像距，l为物距，u′为像方孔径角，u为物方孔径角，n′为像方介质折射率，n为物方介质折射率。
拉赫不变量
在近轴区成像时，拉格朗日-赫姆霍兹不变量J定义为
该式表明，在物像共轭面内，物体大小y、成像光束的孔径角u和介质折射率n的乘积为常数。
J是表征光学系统性能的重要参数。
其中：n为物方介质折射率，u为物方孔径角，y为物高，n′为像方介质折射率，u′为像方孔径角，y′为像高。
一个光学系统，物高y=8 mm，像高y′=−12 mm。
计算垂轴放大率β。
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β=yy′=8−12=−1.5
已知垂轴放大率β=0.8，角放大率γ=1.25。
计算轴向放大率α。
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由关系αγ=β，得α=γβ=1.250.8=0.64
在空气中，物高y=15 mm，物方孔径角u=0.1 rad。
计算拉赫不变量J。
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J=nuy=1×0.1×15=1.5
为什么角放大率 γ 只与共轭点位置有关，而与光线的孔径角无关？
简要解释。
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解：从拉格朗日不变量 nuy=n′u′y′ 出发。
结合横向放大率 β=yy′，可得：
uu′=n′y′ny=n′nβ1
因此 γ=uu′=n′nβ1。
式中 n、n′、β 均由共轭点位置（l 和 l′）决定，不涉及孔径角 u 或 u′ 的具体大小。
这表明 γ 与孔径角无关。
一个光学系统，拉赫不变量J=3，像方介质折射率n′=1，像方孔径角u′=0.15 rad。
求像高y′。
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由J=n′u′y′，得y′=n′u′J=1×0.153=20 mm
球面反射镜成像
反射是折射的特例。因此，令n′=−n, 即可由单个折射球面的成像结论，导出球面反射镜（简称球面镜）的成像特性。
通常，球面镜分为凹面镜（r<0)和凸面镜(r>0)
其物像关系如图
物像位置关系
球面镜的物像位置关系公式为：
将n′=−n代入l′n′−ln=rn′−n中
可得
其中：
l：物距，物体到镜顶点的距离，单位为米。在笛卡尔坐标系中，物体在镜前时 l 为负。
l′：像距，像到镜顶点的距离，单位为米。实像时 l′ 为负，虚像时为正。
r：曲率半径，单位为米。凹面镜 r 为负，凸面镜 r 为正。
一个凸面镜的曲率半径 r=20 cm（凸面镜 r 正），物距 l=−30 cm。
求像距 l′。
解：代入公式 l′1+l1=r2,
l′1+−301=202,
l′1−301=0.1,
l′1=0.1+301=303+301=304=152,
l′=7.5 cm,\
一个凹面镜的曲率半径 r=−15 cm，物距 l=−10 cm。
求像距 l′。
解：代入公式 l′1+l1=r2,
l′1+−101=−152,
l′1−0.1=−152≈−0.1333,
l′1=−0.1333+0.1=−0.0333,
l′≈−30 cm,\
一个凹面镜的曲率半径 r=−20 cm，物距 l=−25 cm。
求像距 l′。
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代入公式：l′1+l1=r2
l′1+−251=−202
l′1−0.04=−0.1
l′1=−0.1+0.04=−0.06
l′=−0.061≈−16.67 cm
像距约为 −16.67 cm。
一个凹面镜的曲率半径 r=−30 cm，像距 l′=−15 cm。
求物距 l。
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代入公式：l′1+l1=r2
−151+l1=−302
−151+l1=−151
l1=−151+151=0
物距 l→−∞，表示物体在无穷远。
球面镜的横向放大率 m=−ll′。
一个凹面镜 r=−10 cm，物距 l=−20 cm。
求放大率 m。
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先求像距 l′。
代入公式：l′1+l1=r2
l′1+−201=−102
l′1−0.05=−0.2
l′1=−0.2+0.05=−0.15
l′=−0.151≈−6.67 cm
放大率 m=−ll′=−−20−6.67=−206.67≈−0.3335
放大率约为 −0.3335，表示倒立缩小的实像。
当物体在无穷远时，对于凹面镜 r=−40 cm。
求像距 l′。
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物距 l→−∞，l1→0。
代入公式：l′1+0=r2
l′1=r2
l′=2r=2−40=−20 cm
像距为 −20 cm，表示在焦点处。
球面反射镜的放大率包括横向放大率 β、轴向放大率 α 和角放大率 γ。
公式：
其中：β 表示横向放大率，y′ 表示像高，y 表示物高，l′ 表示像距，l 表示物距；α 表示轴向放大率；γ 表示角放大率，u′ 表示像方孔径角，u 表示物方孔径角。
轴向放大率 α<0，表明当物体沿光轴移动时，像总是以相反方向移动。
对于凸面镜，当物距绝对值远大于曲率半径，即 ∣l∣≫r 时，横向放大率 ∣β∣≪1。
成像为正立、缩小的虚像，具有较大视野范围。
此特性使凸面镜适用于汽车后视镜或路口瞭望镜。
当物点位于球面镜球心，即 l=r 时，像距 l′=r。
此时 β=−1，α=−1，γ=1，成像为倒像。
反射光线通过球心沿原路返回，光程相等，因此成完善像。
球面镜的拉赫不变量定义为
其中：J 表示拉赫不变量，u 表示物方孔径角，y 表示物高，u′ 表示像方孔径角，y′ 表示像高。
该不变量描述系统光能守恒，适用于近轴光学。
在对称光学系统中，物方和像方参数满足 u=u′，y=y′。
则拉赫不变量 J=uy。
例如，平行光入射时 u=0，J=0，表示无光能传递。
一个物体位于凹面反射镜前，物距 l=−30 cm，像距 l′=15 cm。
计算横向放大率 β。
详情
使用公式 β=−l′/l。
代入 l=−30 cm，l′=15 cm。
β=−(15)/(−30)=0.5。
横向放大率为 0.5，表示像高为物高的一半。
已知物体初始位置 l=−40 cm，像距 l′=20 cm。
物体沿光轴移动 dl=−2 cm（向镜面靠近）。
求像移动量 dl′。
详情
先计算横向放大率 β=−l′/l=−20/(−40)=0.5。
轴向放大率 α=−β2=−(0.5)2=−0.25。
由 α=dl′/dl，得 dl′=α⋅dl=(−0.25)⋅(−2)=0.5 cm。
像移动 0.5 cm，方向与物体移动相反。
物方孔径角 u=0.2 rad，物高 y=10 mm。
计算拉赫不变量 J。
详情
使用公式 J=uy。
代入 u=0.2 rad，y=10 mm。
J=0.2×10=2 mm·rad。
拉赫不变量为 2 mm·rad。
对于球面反射镜，曲率半径 r=−50 cm（凹面镜为负）。
当物距 l=r=−50 cm 时，验证像距 l′=r，并计算 β、α、γ。
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球面反射镜成像公式 1/l+1/l′=2/r。
代入 l=r=−50 cm，r=−50 cm。
1/(−50)+1/l′=2/(−50)。
−0.02+1/l′=−0.04。
1/l′=−0.02，得 l′=−50 cm，等于 r。
横向放大率 β=−l′/l=−(−50)/(−50)=−1。
轴向放大率 α=−β2=−(−1)2=−1。
角放大率 γ=−1/β=−1/(−1)=1。
结果符合 β=α=−1，γ=1。
共轴球面系统
过渡公式
过渡公式为：
一个共轴球面光学系统由 k 个折射面组成，其成像特性由结构参数决定：曲率半径 ri、相邻面顶点间沿轴距离 di、以及介质折射率 ni。
第 i 面的像方空间参数直接过渡到第 i+1 面的物方空间，具体公式包括折射率、角度、高度的过渡，以及物距和光线高度的计算。
拉赫不变量 J=nuy 在整个系统中保持不变，用于校对计算结果。\
其中：
ri：第 i 面的曲率半径。
di：第 i 面到第 i+1 面的沿轴距离（i=1,2,…,k−1）。
ni：第 i 面前介质的折射率，ni+1 为第 i 面后介质的折射率。
ui：第 i 面的物方孔径角。
ui′：第 i 面的像方孔径角。
yi：第 i 面的物高。
yi′：第 i 面的像高。
li：第 i 面的物距。
li′：第 i 面的像距。
hi：第 i 面的光线入射高度，满足 hi=liui=li′ui′。
J：拉赫不变量，J=niuiyi=ni′ui′yi′ 恒常。\
宽光束实际光线的过渡公式为：
其中大写字母表示宽光束参数。
考虑一个简单系统，k=2 个面。
给定第一面像方参数：n1′=1.5, u1′=0.2 rad, y1′=5 mm, l1′=80 mm, 间隔 d1=30 mm。
计算第二面物方参数：
折射率过渡：n2=n1′=1.5。
角度过渡：u2=u1′=0.2 rad。
高度过渡：y2=y1′=5 mm。
物距过渡：l2=l1′−d1=80−30=50 mm。
光线高度计算：先求 h1=l1′u1′=80×0.2=16 mm, 则 h2=h1−d1u1′=16−30×0.2=16−6=10 mm。
验证 h2=l2u2=50×0.2=10 mm, 一致。
系统有 k=2 个面，第一面物方参数：n1=1.0, u1=0.1 rad, y1=10 mm。
第一面折射后：n1′=1.5, u1′=n1′n1u1=1.51.0×0.1≈0.0667 rad (假设单面折射公式), y1′=y1=10 mm (近轴近似)。
第二面物方参数：n2=n1′=1.5, u2=u1′≈0.0667 rad, y2=y1′=10 mm。
计算拉赫不变量：
第一面物方：J1=n1u1y1=1.0×0.1×10=1.0。
第一面像方：J1′=n1′u1′y1′=1.5×0.0667×10≈1.0。
第二面物方：J2=n2u2y2=1.5×0.0667×10≈1.0。
J 值均为 1.0，验证不变。
给定第 i 面的像距 li′=120 mm，间隔 di=40 mm。
求第 i+1 面的物距 li+1。
详情
使用物距过渡公式：li+1=li′−di。
代入值：li+1=120−40=80 mm。
因此，li+1=80 mm。
给定第 i 面的光线入射高度 hi=15 mm，间隔 di=25 mm，第 i 面的像方孔径角 ui′=0.3 rad。
求第 i+1 面的光线入射高度 hi+1。
详情
使用光线高度过渡公式：hi+1=hi−diui′。
代入值：hi+1=15−25×0.3=15−7.5=7.5 mm。
因此，hi+1=7.5 mm。
系统有 k=2 个面。
第一面物方：n1=1.0, u1=0.15 rad, y1=8 mm。
第一面折射后：n1′=1.6, u1′=n1′n1u1=1.61.0×0.15=0.09375 rad, y1′=y1=8 mm。
第二面物方：n2=n1′=1.6, u2=u1′=0.09375 rad, y2=y1′=8 mm。
验证拉赫不变量 J 是否在整个系统不变。
详情
计算各点 J 值：
第一面物方：J1=n1u1y1=1.0×0.15×8=1.2。
第一面像方：J1′=n1′u1′y1′=1.6×0.09375×8=1.6×0.75=1.2。
第二面物方：J2=n2u2y2=1.6×0.09375×8=1.2。
所有 J 值均为 1.2，不变。
给定宽光束参数：第 i 面的像距 Li′=150 mm，间隔 di=50 mm。
求第 i+1 面的物距 Li+1。
详情
使用宽光束物距过渡公式：Li+1=Li′−di。
代入值：Li+1=150−50=100 mm。
因此，Li+1=100 mm。
成像放大率
系统放大率定义为光学系统中各面放大率的乘积。
横向放大率 β、轴向放大率 α 和角放大率 γ 分别满足：
其中 βi=yiyi′, αi=dlidli′, γi=uiui′。
具体公式为：
三者关系为
其中：
β：横向放大率，表示像高与物高之比。
α：轴向放大率，表示像距微分变化与物距微分变化之比。
γ：角放大率，表示像方角度与物方角度之比。
ni：第 i 面的物方折射率。
ni′：第 i 面的像方折射率。
li：第 i 面的物距。
li′：第 i 面的像距。
ui：第 i 面的物方角度。
ui′：第 i 面的像方角度。
yi：第 i 面的物高。
yi′：第 i 面的像高。
k：系统总面数。
考虑一个简单光学系统，由两个折射面组成。
物方折射率 n1=1.0，像方折射率 n2′=1.5。
第一面放大率 β1=2.0，第二面放大率 β2=0.5。
计算系统总横向放大率 β。
根据定义，β=β1β2=2.0×0.5=1.0。
验证关系：若 γ1=0.8, γ2=1.25，则 γ=γ1γ2=0.8×1.25=1.0。
由 β=n2′u2′n1u1，假设 u1=0.1 rad，u2′=0.1 rad，则 β=1.5×0.11.0×0.1=0.150.1≈0.667，需调整参数以匹配乘积结果。
给定单折射球面系统，n1=1.0, n1′=1.5, β=1.5。
计算 α 和 γ，并验证 αγ=β。
使用公式 α=n1n1′β2=1.01.5×(1.5)2=1.5×2.25=3.375。
γ=n1′n1β1=1.51.0×1.51=32×32=94≈0.444。
验证：αγ=3.375×0.444≈1.5，等于 β。
一个三面光学系统，各面横向放大率分别为 β1=1.2, β2=0.8, β3=1.5。
计算系统总横向放大率 β。
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β=β1β2β3=1.2×0.8×1.5。
先计算 1.2×0.8=0.96。
再 0.96×1.5=1.44。
因此 β=1.44。
已知系统 β=2.0, n1=1.0, nk′=1.6。
使用公式 α=n1nk′β2 计算轴向放大率 α。
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代入公式：α=n1nk′β2=1.01.6×(2.0)2。
计算 β2=4.0。
α=1.6×4.0=6.4。
因此 α=6.4。
系统物方角度 u1=0.2 rad，像方角度 uk′=0.1 rad，n1=1.0, nk′=1.5。
计算角放大率 γ，并验证 γ=nk′n1β1 若 β=1.0。
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先计算 γ=u1uk′=0.20.1=0.5。
使用关系式 γ=nk′n1β1。
代入 β=1.0，则 γ=1.51.0×1.01=32≈0.667。
但实际 γ=0.5，矛盾，需检查假设：若 β=1.0 不成立，调整 β 使一致。
由 β=nk′uk′n1u1=1.5×0.11.0×0.2=0.150.2≈1.333。
则 γ=nk′n1β1=1.51.0×1.3331≈0.667×0.75=0.5，匹配。
一个两面系统，第一面：l1=100 mm, l1′=150 mm, n1=1.0, n1′=1.5。
第二面：l2=l1′=150 mm (过渡), l2′=200 mm, n2=n1′=1.5, n2′=1.0。
计算 β1, β2 和系统 β，使用 β=n2′n1l1l2l1′l2′。
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先计算各面放大率：
β1=n1′n1l1l1′=1.51.0×100150=32×1.5=1.0。
β2=n2′n2l2l2′=1.01.5×150200=1.5×34=2.0。
系统 β=β1β2=1.0×2.0=2.0。
使用整体公式：β=n2′n1l1l2l1′l2′=1.01.0×100×150150×200=1×1500030000=2.0。
结果一致。