7.2放大镜
目视光学系统
人眼感觉的物体大小：
取决于其像在视网膜上的大小，
由于眼睛光学系统的焦距是一定的，也取决于物体对人眼所张的视角大小。物体离眼睛越近，张角越大。
但被观察的物体必须位于眼睛的近点之外才能被眼睛看清，而且被观察的物体细节对眼睛节点的张角大于眼睛的分辨率60′′时，眼睛才能分辨。
各种目视光学仪器，如放大镜、显微镜和望远镜等扩大了人眼的视觉能力。
物体通过各种目视光学仪器，其像对人眼的张角大于人眼直接观察物体时对人眼的张角。
视觉放大率
视觉放大率：
用目视光学仪器观察物体时，视网膜上的像高yi′与用人眼直接观察物体时视网膜上的像高ye′之比，用Γ表示：
其中：yi′为仪器观察时视网膜像高，ye′为人眼直接观察时视网膜像高，l′为人眼后节点到视网膜距离，ω′为仪器观察时像对人眼张角，ω为人眼直接观察时物体张角。
进一步推导可得：
推导过程
视网膜像高与视角关系为y′=l′tanω（l′恒定）。
仪器观察时：yi′=l′tanω′。
人眼直接观察时：ye′=l′tanω。
代入定义式：
假设望远镜观察时ω′=0.1rad，人眼直接观察同一物体ω=0.02rad。求Γ。
解：Γ=tanωtanω′≈ωω′（小角度近似），得Γ=0.020.1=5。
显微镜观察某细胞时yi′=0.3mm，人眼直接观察标准刻度ye′=0.05mm。求Γ。
解：Γ=ye′yi′=0.050.3=6。
人眼直接观察物体ω=0.015rad，用仪器后ω′=0.06rad。求Γ。
答案
Γ=tanωtanω′≈ωω′=0.0150.06=4。
已知yi′=0.4mm，ye′=0.1mm，l′=17mm。验证Γ是否满足视角公式。
答案
先求Γ=ye′yi′=0.10.4=4。
由ye′=l′tanω得tanω=170.1≈0.00588。
假设ω′对应yi′=l′tanω′，则tanω′=170.4≈0.0235。tanωtanω′=0.005880.0235≈4，与Γ一致。
望远镜物镜焦距fo′=150mm，目镜焦距fe′=30mm。求Γ（提示：望远镜Γ=−fe′fo′）。
答案
Γ=−fe′fo′=−30150=−5。
负号表示倒像，绝对值5为放大率。
人眼观察月亮ω=0.009rad，用仪器后ω′=0.045rad。若l′=16.7mm，求yi′和ye′比。
答案
先求Γ=tanωtanω′≈0.0090.045=5。
由定义Γ=ye′yi′，故比值为5。
计算ye′=l′tanω≈16.7×0.009=0.1503mm。yi′=Γ⋅ye′=5×0.1503=0.7515mm。
放大镜
放大镜的放大率
放大镜视觉放大率：描述人眼通过放大镜观察物体时，虚像张角与人眼直接观察物体张角之比。
其中：D 为明视距离（250mm），f′ 为放大镜像方焦距（单位mm），l′ 为像距（虚像到放大镜距离），P′ 为眼睛到放大镜距离，y 为物高，y′ 为像高。放大率非恒定，取决于P′和l′。
推导过程
视觉放大率Γ=tanωtanω′。
直接观察时，物体置于明视距离D=250mm处，tanω=Dy。
通过放大镜观察，虚像位置由高斯公式l′1−l1=f′1决定，垂轴放大倍率β=yy′=−ll′。结合物像关系，得y′=f′f′−l′y。
虚像对人眼的张角tanω′=P′−l′y′，
代入Γ定义式：Γ=DyP′−l′y′=y(P′−l′)y′D=y(P′−l′)f′f′−l′y⋅D=P′−l′f′−l′×f′D
特殊情况：
眼睛调焦无限远：
l′=∞，物体置于前焦点，则：Γ0=f′D=f′250此值标注为放大镜光学常数。
物像调焦明视距离：
正常视力的眼睛一般把物像调焦在明视距离D，即P′−l′=D，则：Γ=1−f′P′−D=f′250+1−f′P′眼睛紧贴放大镜（P′≈0）：
Γ=f′250+1
常用的放大镜，其倍率在2.5×~25×之间。
若用单透镜（平凸或双凸）作放大镜，由于不能校正像差，通常不超过3×。
倍率较大的放大镜由组合透镜组成。
若放大镜的物是前面光学系统所成的像，则把这样的放大镜称作目镜。
一放大镜焦距f′=50mm，眼睛调焦无限远。计算视觉放大率Γ0：
Γ0=f′250=50250=5×。表示虚像张角为直接观察的5倍。
放大镜f′=100mm，眼睛距离P′=50mm，物像调焦明视距离。计算Γ：
Γ=100250+1−10050=2.5+1−0.5=3×。
若P′≈0，则Γ=100250+1=3.5×。
一放大镜标注10×，求其焦距f′。
答案
Γ0=f′250=10
解得f′=10250=25mm
焦距为25mm。
放大镜f′=40mm，P′=30mm，l′=−100mm（虚像在镜左）。计算Γ。
答案
Γ=P′−l′f′−l′×f′D
代入f′=40，l′=−100，P′=30，D=250
Γ=30−(−100)40−(−100)×40250=130140×6.25≈1.0769×6.25≈6.73×
视觉放大率约为6.73倍。
放大镜f′=80mm，眼睛紧贴（P′≈0），物像调焦明视距离。求Γ。
答案
Γ=f′250+1=80250+1=3.125+1=4.125×
视觉放大率为4.125倍。
单透镜放大镜最大倍率3×，验证其最小焦距。
答案
Γ0=3。
解得f′=3250≈83.33mm
焦距不小于83.33mm时，倍率不超过3倍。
光束限制和线视场
放大镜与眼睛组合构成目视光学系统。
眼瞳：是孔径光阑和出瞳。
放大镜框：是视场光阑、出射窗、入射窗。
放大镜本身：是渐晕光阑。
渐晕系数K=100%
渐晕系数K=50%
渐晕系数K=0%
其中：h为放大镜半口径，a′为出瞳大小，P′为像距，ω1′、ω′、ω2′分别对应渐晕系数K=100%、50%、0%时的像方视场角。
物方线视场：因放大镜用于观察近距离小物体，故放大镜的视场通常用物方线视场 2y 表示
当物面位于放大镜前焦平面上时，像平面在无限远
50%渐晕时线视场：
其中：f′为放大镜像方焦距，Γ0为放大镜倍率，y为物方半视场。
放大镜倍率越大，线视场越小。
推导过程
从2y=2f′tanω′和tanω′=P′h代入。
放大镜倍率Γ0=f′250（明视距离250mm）。
则f′=Γ0250。
代入得2y=2×Γ0250×P′h=Γ0P′500h mm。
给定Γ0=4，h=12 mm，P′=80 mm。计算50%渐晕线视场
计算2y=4×80500×12=3206000=18.75 mm。
结果表示物方线视场为18.75毫米。
比较Γ0=5和Γ0=1050%渐晕时线视场。
假设h=15 mm，P′=100 mm。
当Γ0=5，2y=5×100500×15=15 mm。
当Γ0=10，2y=10×100500×15=7.5 mm。
倍率增加一倍，线视场减半。
已知放大镜f′=60 mm，h=10 mm，P′=120 mm，Γ0=5。
求50%渐晕时的线视场2y。
答案
使用公式2y=Γ0P′500h。
计算：6005000=325≈8.333 mm。
线视场约为8.333毫米。
若渐晕系数K=100%，给定h=18 mm，a′=5 mm，P′=90 mm。
求tanω1′。
答案
使用公式tanω1′=P′h−a′。
代入参数：tanω1′=9018−5≈0.1444。
像方视场角正切值约为0.1444。
分析倍率Γ0从3增至6时，对线视场的影响。
给定h=20 mm，P′=150 mm。
计算变化比例。
答案
初始Γ0=3，2y1=3×150500×20=45010000≈22.222 mm。
倍率Γ0=6，2y2=6×150500×20=90010000≈11.111 mm。
变化比例：2y12y2=22.22211.111=0.5。
倍率加倍，线视场减半。
符合公式结论。放大镜光束限制和线视