6.7色差
色差
光学材料对不同波长的色光有不同的折射率，因此同一孔径不同色光的光线经光学系统后与光轴有不同的交点。
不同孔径不同色光的光线与光轴的交点也不相同。
在任何像面位置，物点的像是一个彩色的弥散斑，如图所示。
各种色光之间成像位置和成像大小的差异称为色差。
位置色差
位置色差（轴向色差）：
轴上点两种色光成像位置的差异，主要由于光学材料对不同波长光线的折射率不同（色散）导致。
对目视光学系统，常用 F 光（波长约 486.1 nm）和 C 光（波长约 656.3 nm）表示。
实际位置色差：
近轴位置色差：
位置色差在近轴区就已产生，因为色散是材料的固有属性。
其中：LF′ 和 LC′ 分别为 F 光和 C 光的实际像距（顺光线方向为正），lF′ 和 lC′ 分别为 F 光和 C 光的近轴像距，ΔLFC′ 是实际位置色差，ΔlFC′ 是近轴位置色差。
计算时只需对 F 光和 C 光进行近轴光路追迹。不同孔径光线的色差值不同，通常对 0.707 带（孔径高度）校正色差后，其他带仍存在剩余色差。
推导过程
位置色差公式推导基于透镜成像公式和色散原理。透镜公式为：
其中 l 为物距（逆光线方向为负），l′ 为像距，f′ 为焦距。由于色散，不同波长对应不同焦距：fF′ 和 fC′。对 F 光：
对 C 光：
近轴位置色差 ΔlFC′=lF′−lC′ 可直接由上述公式解出。实际位置色差 ΔLFC′ 需通过实际光路追迹计算 F 光和 C 光的像距差。剩余色差 δLFC′ 反映孔径依赖的色散效应。
考虑一个凸透镜，焦距 f′=100 mm，物距 l=−200 mm。透镜材料对 F 光和 C 光的焦距分别为 fF′=98 mm 和 fC′=102 mm。计算近轴位置色差 ΔlFC′。
使用透镜公式：
对 F 光：
对 C 光：
近轴位置色差：
负值表示 F 光像点比 C 光更靠近透镜。
一个消色差双合透镜由冕牌玻璃（K9，nF=1.521, nC=1.514）和火石玻璃（ZF2，nF=1.632, nC=1.615）组成。系统焦距 f′=100 mm。设计目标：校正位置色差 ΔlFC′=0。
双合透镜的色差校正条件为：
其中 ω 为色散系数，ω=nd−1nF−nC，nd 为 d 光折射率。计算冕牌玻璃 ω1≈0.008，火石玻璃 ω2≈0.017。设 f1′=50 mm，则：
负焦距表示凹透镜。系统总焦距：
假设透镜间距 d=2 mm，验证 f′≈100 mm 且 ΔlFC′≈0。
一个凸透镜焦距 f′=80 mm，物距 l=−160 mm。材料对 F 光和 C 光的焦距分别为 fF′=78 mm 和 fC′=82 mm。计算近轴位置色差 ΔlFC′。
答案
使用透镜公式计算像距。
对 F 光：
对 C 光：
近轴位置色差：
负值表示 F 光像点更靠近透镜。
色球差
色球差：
在光学系统中，当在0.707带高度处校正色差后，边缘带色差ΔLFC′与近轴色差ΔlFC′不相等，其差值称为色球差δLFC′。
它等于F光的球差δLF′与C光的球差δLC′之差。
其中：
δLFC′：色球差，单位为长度（如mm）。
ΔLFC′：边缘带色差，指在最大孔径高度处的色差。
ΔlFC′：近轴色差，指在近轴区域（小孔径）的色差。
δLF′：F光（氢蓝线，波长486.1nm）的球差。
δLC′：C光（氢红线，波长656.3nm）的球差。
色球差属于高级像差，源于球差和色差的耦合效应。在光学设计中，校正色球差可提升成像质量，尤其在宽光谱应用中。
推导过程
色球差的推导基于球差和色差的叠加。假设在孔径高度h处，F光和C光的球差分别为δLF′(h)和δLC′(h)。在0.707带高度h=0.707hmax处校正色差，意味着ΔLFC′=δLF′(h)−δLC′(h)在hmax处不为零。近轴色差ΔlFC′是h→0时的极限值。因此，色球差定义为：
代入球差表达式：
由于在近轴区域球差可忽略，δLF′(0)≈0和δLC′(0)≈0，简化得：
这等价于δLF′−δLC′。推导基于郁道银《工程光学》中球差和色差的线性叠加模型。
考虑一个焦距f′=100mm的透镜，在边缘带高度处测得F光球差δLF′=0.2mm，C光球差δLC′=0.1mm。近轴色差ΔlFC′=0.05mm。计算色球差δLFC′。
使用公式：
或：
其中ΔLFC′=δLF′−δLC′=0.1mm，故δLFC′=0.1−0.05=0.05mm。结果差异源于测量误差，实际中以球差差值为准。
一个双胶合透镜在边缘带高度处，F光球差为−0.15mm，C光球差为−0.05mm。近轴色差为0.03mm。求色球差δLFC′。
答案
首先，计算边缘带色差ΔLFC′：
然后，使用色球差公式：
或直接：
优先采用球差差值法，结果为−0.10mm。负值表示色球差方向与光线传播相反。
解释为什么色球差δLFC′可以表示为δLF′−δLC′，并讨论在何种情况下ΔLFC′=ΔlFC′。
答案
色球差定义为δLFC′=ΔLFC′−ΔlFC′。
ΔLFC′是边缘带色差，等于δLF′−δLC′，因为色差是不同波长球差的差。
在近轴区域，球差较小，ΔlFC′近似为常数。
当孔径增大时，球差非线性增加，导致ΔLFC′=ΔlFC′。
例如，在0.707带校正色差后，边缘带色差未完全消除，产生色球差。
这在高数值孔径系统中更显著。
二级光谱
二级光谱：在0.707带高度处，F光和C光的交点与D光（钠黄线，波长589.3nm）球差曲线的轴向距离，称为二级光谱ΔLFCD′。
其中：
LF0.707h′：F光在0.707带高度处的像距。
LD0.707h′：D光在0.707带高度处的像距。
二级光谱的近似值为：
其中f′是系统焦距（单位为mm）。二级光谱源于材料色散，校正困难，常用于高精度光学系统如天文望远镜。近似公式基于典型光学玻璃的色散特性。
在一个f′=200mm的望远镜物镜中，使用近似公式计算二级光谱ΔLFCD′。
计算：
这表示在成像面上，F光和D光的焦点轴向偏移约0.104mm，导致彩色模糊。在高倍率下，需使用特殊材料（如萤石）校正。
一个显微物镜焦距f′=50mm，使用近似公式求二级光谱ΔLFCD′。若实际测量得LF0.707h′=100.5mm，LD0.707h′=100.2mm，验证近似值。
答案
使用近似公式：
实际值：
近似值0.026mm小于实际0.3mm，表明近似公式在短焦距系统误差较大。
实际中需基于材料色散精确计算。
讨论为什么二级光谱ΔLFCD′校正困难，并提出一种减少其影响的光学设计方法。
答案
二级光谱校正困难的原因：
它主要取决于材料色散，与透镜形状关系小。
近似公式ΔLFCD′=0.00052f′显示其正比于焦距，难以通过曲率调整消除。
普通光学玻璃的色散特性相似，导致补偿有限。
减少方法：
使用异常色散材料如萤石或ED玻璃，组合正负透镜。
例如，在双胶合物镜中，萤石透镜可抵消色散。或采用三合透镜，平衡F、C、D光的焦点位置。
在高精度系统中，需优化材料配对。
位置色差的级数展开
位置色差仅与孔径相关，其符号不随入射高度符号改变而改变，因此级数展开式仅含孔径的偶次方项。
当孔径h1（或孔径角U）为零时，色差不为零，故展开式包含常数项。
位置色差级数展开式：
其中：A0是初级位置色差（近轴光位置色差ΔlFC′），A1h12是二级位置色差（即色球差），h1是入射高度，Ai是展开系数。
色球差：
初级位置色差的分布式公式：
初级位置色差分布系数CI：
其中：Δn′=nF′−nC′（像空间折射率差），Δn=nF−nC（物空间折射率差），l是物距，u是孔径角，n是折射率，i是入射角，k是光学表面序号。
推导过程
初级位置色差分布式基于赛德尔像差理论推导。
考虑光线追迹方程：
对波长微分，得色差贡献：
在近轴区简化，并求和所有表面：
整理得分布式：
考虑一个凸透镜，焦距f′=100mm，材料为BK7玻璃。
物距l=−200mm，孔径角u=−0.1，入射高度h1=5mm。
折射率数据：nF=1.5224，nC=1.5132（F光和C光）。
计算初级位置色差ΔlFC′。
先求分布系数CI：
假设单表面透镜，n′=1（空气），Δn′=0。
入射角i≈rh1，取r=50mm，i=0.1。
则：
负号表示F光像点比C光像点更靠近透镜。
色球差是位置色差的二级项，源于孔径变化对色差的影响。
在级数展开ΔLFC′=A0+A1h12+⋯中，A1h12对应色球差。
例如，当h1=0时，ΔLFC′=A0（纯位置色差）。
当h1=5mm时，增加A1×25。
若A1=0.002mm−1，则色球差贡献0.05mm。
这表明大孔径下色差随高度增大。
一个双胶合透镜，物距l=−300mm，像空间nk′=1，uk′=−0.05。
表面1：CI1=−0.012。表面2：CI2=0.008。
求初级位置色差ΔlFC′。
答案
使用分布式公式：
代入值：
计算：
正值表示F光像点位于C光像点右侧。
一个透镜表面，物距l=−150mm，孔径角u=−0.2，折射率n=1.5，入射角i=0.15。
材料色散Δn=nF−nC=0.008，Δn′=0.01。
求分布系数CI。
答案
公式：
需先求n′，假设n′=1.6。
计算括号内：
差值：
代入：
分步计算：
故CI≈0.00621。
已知级数ΔLFC′=0.5+0.002h12+0.0001h14mm。
当h1=0mm和h1=10mm时，计算位置色差和色球差分量。
答案
级数：ΔLFC′=A0+A1h12+A2h14，其中A0=0.5，A1=0.002，A2=0.0001。
当h1=0mm：
色球差分量A1h12=0。
当h1=10mm：
总色差：
色球差贡献为0.2mm。
一个系统含两个薄透镜，透镜1：f1′=200mm，CI1=−0.015。
透镜2：f2′=100mm，CI2=0.01。
物距l=−∞，像空间uk′=−0.02，nk′=1。
求总初级位置色差ΔlFC′。
答案
分布式公式求和所有表面：
∑CI=CI1+CI2=−0.015+0.01=−0.005。
nk′uk′2=1×(−0.02)2=0.0004。
计算：
总色差为12.5mm。
薄透镜初级位置色差分布系数
对于由N个薄透镜组成的系统，初级位置色差分布系数的总和为：
其中：CI为初级位置色差分布系数，ν为透镜玻璃的阿贝数，Φ为透镜的光焦度，N为透镜数，h为透镜的半通光口径。
单透镜无法校正色差，因为其色差恒不为零。
单正透镜（光焦度Φ>0)具有负色差（CI<0)，单负透镜（Φ<0)具有正色差（CI>0)。
色差的大小与光焦度成正比，与阿贝数成反比，与透镜的结构形状无关。因此，消色差的光学系统需由正负透镜组合而成，使总色差为零。
给定参数：光焦度Φ=5D（屈光度），阿贝数ν=60，半通光口径h=10mm=0.01m。
应用公式：
由于是正透镜，CI>0，但实际色差为负值。
例子：分析单负薄透镜的色差特性。
给定参数：光焦度Φ=−4D，阿贝数ν=50，半通光口径h=12mm=0.012m。
计算：
由于是负透镜，CI<0，但实际色差为正值。
色差与阿贝数成反比：若阿贝数减小至ν=30，则CI=(0.012)230−4≈−1.92×10−5，色差绝对值增大。
一个单薄透镜，光焦度Φ=3.5D，阿贝数ν=55，半通光口径h=8mm。计算初级位置色差分布系数CI。
答案
单位统一：h=8×10−3m=0.008m。
公式：CI=h2νΦ。
代入：CI=(0.008)2553.5=0.000064×553.5。
计算553.5=1107≈0.063636。CI=0.000064×0.063636≈4.0727×10−6。
因此，CI≈4.07×10−6。
解释为什么单正透镜具有负色差，而单负透镜具有正色差。结合公式CI=h2νΦ说明。
答案
公式中CI的符号由Φ决定。初级色差的分布式为ΔlFC′=−nk′uk′211∑kCI
正透镜Φ>0，故CI>0，ΔlFC′<0，实际色差为负（蓝光焦点比红光更靠近透镜）。
负透镜Φ<0，故CI<0，ΔlFC′>0，但实际色差为正（红光焦点比蓝光更靠近透镜）。
透镜1：正透镜，Φ1=6D，ν1=65。
透镜2：负透镜，Φ2=−4D，ν2=35。
半通光口径相同h=15mm。
计算总初级位置色差分布系数∑CI，并判断是否消色差。
答案
总色差公式：∑CI=h2(ν1Φ1+ν2Φ2)。
单位：h=0.015m。
计算：ν1Φ1=656≈0.092308。ν2Φ2=35−4≈−0.114286。
和：0.092308+(−0.114286)=−0.021978。∑CI=(0.015)2×(−0.021978)=0.000225×(−0.021978)≈−4.945×10−6。
∑CI=0，故系统未完全消色差。
需调整参数使ν1Φ1+ν2Φ2=0。
两个单透镜参数如下。透镜A：ΦA=5D，νA=70。透镜B：ΦB=5D，νB=30。
半通光口径相同h=10mm。
比较两者色差绝对值大小，并解释原因。
答案
计算CI：
透镜A：CI,A=h2νAΦA=(0.01)2705=0.0001×141≈7.143×10−6。
透镜B：CI,B=(0.01)2305=0.0001×61≈1.6667×10−5。
比较：∣CI,B∣=1.6667×10−5>∣CI,A∣=7.143×10−6。
透镜B色差绝对值更大。
原因：色差与阿贝数成反比，透镜B阿贝数νB=30<νA=70，故色差更大。
双胶合透镜组消色差条件
对于双胶合薄透镜组，消色差的条件是光线高度的平方乘以各透镜光焦度与阿贝数比值的和为零，即：
其中总光焦度 Φ=Φ1+Φ2。由此可推导出正负透镜的光焦度分配公式：
其中：Φ 是总光焦度，Φ1 和 Φ2 分别是正透镜和负透镜的光焦度，ν1 和 ν2 是它们的阿贝数（衡量色散性能），h 是光线高度。约定光线传播方向自左至右为正方向。
假设总光焦度 Φ=1，阿贝数 ν1=60（正透镜），ν2=36（负透镜），计算光焦度分配。
解：
使用公式：
验证总光焦度：2.5+(−1.5)=1，符合要求。
给定 Φ=2，ν1=50，ν2=30，求光焦度分配。
解：
计算：
验证消色差条件：505+30−3=0.1−0.1=0，满足条件。
计算当总光焦度 Φ=1.5，阿贝数 ν1=55，ν2=40 时，正负透镜的光焦度 Φ1 和 Φ2。
答案
使用分配公式：
验证总光焦度：5.5+(−4)=1.5。
验证消色差：555.5+40−4=0.1−0.1=0。
如果 ν1=65，ν2=35，Φ=2，求 Φ1 和 Φ2，并解释阿贝数差异的影响。
答案
计算光焦度：
阿贝数差异 ν1−ν2=30 较大，表明正透镜需承担更大光焦度以补偿色散。
验证：654.333+35−2.333≈0.0667−0.0667=0。
给定正透镜 Φ1=3，ν1=60，负透镜 ν2=40，求总光焦度 Φ 和 Φ2 以满足消色差。
详情
答案
从消色差条件：
解：
总光焦度：
验证：603+40−2=0.05−0.05=0。
推导当 ν1=ν2 时，消色差条件是否成立，并解释物理意义。
答案
若 ν1=ν2，则分母 ν1−ν2=0，公式 Φ1=0ν1Φ 无定义。
从消色差条件 ν1Φ1+ν2Φ2=0，若 ν1=ν2，则 Φ1+Φ2=0，但总光焦度 Φ=Φ1+Φ2=0，矛盾。
物理意义：阿贝数相同表示色散特性一致，无法通过光焦度分配消除色差。
倍率色差
由于不同色光在光学介质中折射率不同，导致轴外物点发出的不同色光在消单色像差的高斯像面上的垂轴放大率不相等，从而引起像高差异的现象。
倍率色差也称为垂轴色差，定义为两种色光（如F光和C光）的主光线在高斯像面上交点高度之差。
对于目视光学系统，倍率色差公式为：
其中，YF′ 和 YC′ 分别为F光和C光的远轴光像高。
初级倍率色差（近轴光倍率色差）：
其中，yF′ 和 yC′ 分别为F光和C光的近轴光像高。
远轴光像高计算公式为：
近轴光像高计算公式为：
其中：
ΔYFC′ 和 ΔyFC′ 分别为远轴光和近轴光的倍率色差。
YF′, YC′ 为F光和C光的远轴像高。
yF′, yC′ 为F光和C光的近轴像高。
LzF′, LzC′ 为F光和C光的远轴像距。
lzF′, lzC′ 为F光和C光的近轴像距。
l′ 为高斯像面位置（消单色像差后的像距）。
UzF′, UzC′ 为F光和C光的远轴孔径角。
uzF′, uzC′ 为F光和C光的近轴孔径角。
推导过程
倍率色差源于不同色光的折射率差异。对于轴外物点，垂轴放大率 β=l′/l=−f/x，其中 f 为焦距，x 为物点偏离光轴的距离。由于折射率 n 随波长变化，焦距 f 和像距 l′ 成为波长函数，导致 β 不同。在消单色像差的高斯像面上，计算F光和C光的像高：
远轴光像高 Y′ 由光线追迹公式 Y′=(L′−l′)tanU′ 得出，其中 L′ 为实际像距，U′ 为孔径角。
近轴光像高 y′ 由 y′=(l′−l′)u′ 简化，因近轴近似 u′≈tanU′。
差异 ΔYFC′=YF′−YC′ 直接量化倍率色差。初级倍率色差 ΔyFC′ 用于简化设计分析。
在望远镜目镜中，倍率色差表现为视场边缘的色散。
例如，物点偏离光轴 5∘，F光和C光像高差为 0.02 mm。
若系统焦距 f′=50 mm，则相对倍率色差 f′ΔYFC′=4×10−4。
这会导致图像模糊，需通过透镜组合（如双胶合透镜）校正。校正后，ΔYFC′≈0，提高成像清晰度。
一个薄透镜焦距 f′=80 mm，物距 l=−160 mm，物高 y=8 mm。F光折射率 nF=1.60，C光折射率 nC=1.55。计算倍率色差 ΔYFC′。
答案
计算各色光焦距：
垂轴放大率：
像高：
倍率色差：
给定近轴光线参数：F光像距 lzF′=120 mm，C光像距 lzC′=118 mm，高斯像面 l′=100 mm，F光孔径角 uzF′=0.1 rad，C光孔径角 uzC′=0.09 rad。计算初级倍率色差 ΔyFC′。
答案
计算近轴像高：
初级倍率色差：
一个光学系统，F光远轴像距 LzF′=150 mm，C光远轴像距 LzC′=145 mm，高斯像面 l′=140 mm，F光孔径角 UzF′=5∘，C光孔径角 UzC′=4.5∘。
求倍率色差 ΔYFC′（注：tan5∘≈0.0875, tan4.5∘≈0.0787）。
答案
计算远轴像高：
倍率色差：
一个双胶合透镜用于校正色差，F光焦距 fF′=100 mm，C光焦距 fC′=98 mm，物距 l=−200 mm，物高 y=10 mm。计算倍率色差 ΔYFC′。
若设计要求 ΔYFC′<0.05 mm，是否满足？如何优化？
答案
计算垂轴放大率：
像高：
倍率色差：
0.1 mm>0.05 mm，不满足要求。
优化方法：调整透镜曲率或间距以减小焦距差，例如使 fF′≈fC′。或使用三胶合透镜进一步校正。
倍率色差的级数展开
不同色光成像高度的差异，其级数展开形式与畸变相似，但因各色光理想像高不同而包含物高一次项。
其中：ΔyFC′为倍率色差值，y为物高，A1为初级倍率色差系数，A2为二级倍率色差系数。实际应用中通常取前两项近似计算。
某消色差双胶合透镜对F光(486.1nm)和C光(656.3nm)的初级倍率色差系数A1=0.002mm−1。当物高y=10mm时，仅考虑初级项：
此时F光和C光的像高差为20μm。
某长焦镜头在y=15mm处测得A1=−0.0015mm−1，A2=3×10−7mm−3。分别计算近似值：
仅初级项：Δy1′=−0.0015×15=−0.0225mm
含二级项：Δy2′=−0.0015×15+3×10−7×153=−0.0225+0.0010125=−0.0214875mm二级项贡献约4.5%修正量。
某天文望远镜物镜的倍率色差系数A1=8×10−4mm−1，A2=1.2×10−7mm−3。观测月球边缘时物高y=20mm，求：
仅考虑初级项时的倍率色差
包含二级项时的倍率色差
二级项修正量占比
答案
Δy1′=8×10−4×20=0.016mm
Δy2′=8×10−4×20+1.2×10−7×203=0.016+0.00096=0.01696mm
修正量占比：0.0160.00096×100%=6%
某显微镜在y=3mm处测得F/C光像高差9μm，在y=6mm处测得42μm。假设色差仅由A1和A2引起，建立方程组并求解系数。
答案
建立方程：
化简为：
解得：A1=0.002mm−1, A2=1.111×10−5mm−3
某50mm焦距镜头在像场边缘(y=21mm)出现0.15mm倍率色差。若初级项系数A1已优化至5×10−4mm−1，求需控制的二级项系数A2最大值。
答案
总色差方程：
计算：
解得：
解释倍率色差展开式中：
为何含物高一次项
A1和A2的物理意义差异
实际光学设计中的取舍原则
答案
因不同色光理想像高y′不同，导致ΔyFC′∝y
A1表征色散引起的线性偏移，A2表征像场弯曲的色差异
大视场系统需同时控制两项，小视场系统可忽略A2
初级倍率色差
初级倍率色差：指近轴区轴外物点两种色光（通常为F光和C光）的理想像高之差，表示为ΔyFC=yf′−yc′，其中yf′和yc′分别为F光和C光的像高。该色差描述光学系统对轴外物点的色散效应。分布式为：
其中CII是倍率色差系数，计算式为：
其中：ΔyFC为倍率色差，yf′为F光像高，yc′为C光像高，nk′为像方折射率，uk′为像方孔径角，k为光学表面数，CII为第i面的色差系数，l为物距，u为孔径角，n为物方折射率，iz为光阑位置相关量（光阑球心距），Δn′=nF′−nC′为像方折射率差，Δn=nF−nC为物方折射率差，CI为初级位置色差分布系数，i为入射角。
消差：
当光阑位于球面球心时（iz=0），该球面不产生倍率色差；
当物体位于球面顶点时（l=0），也不产生倍率色差；
对于全对称光学系统，当放大率β=−1时，倍率色差自动校正。
推导过程
倍率色差分布式基于近轴光线追迹和色差理论推导。从像高公式y′=−l′u′出发，考虑色光折射率变化。对第i面，像高变化δy′与折射率差相关：
积分所有表面，并利用近轴光学公式：
其中∂n∂i由Snell定律导出：
代入得：
最终求和得到分布式ΔyFC′=−nk′uk′1∑CII。
考虑单球面透镜，球面曲率半径r=100 mm，物距l=−200 mm，孔径角u=0.1，折射率n=1.5，Δn=0.01。
当光阑位于球心时iz=0，计算C∥：
倍率色差ΔyFC′=0，验证光阑在球心时不产生色差。
同上球面，但物体位于顶点l=0 mm，光阑iz=50 mm。计算C∥：
倍率色差为零，符合物体在顶点时不产生色差。
一球面r=50 mm，物距l=−100 mm，孔径角u=0.2，物方折射率n=1.6，像方折射率n′=1.8，Δn=0.02，Δn′=0.03，光阑iz=30 mm。
求倍率色差系数C∥和ΔyFC′（假设nk′uk′=0.5）。
答案
计算C∥：
先计算括号内：
代入：
倍率色差：
单位为长度（如mm）。
一全对称光学系统β=−1，物高y=10 mm，F光像高yf′=−10.1 mm，C光像高yc=−9.9 mm。
验证倍率色差是否自动校正，并解释原因。
答案
计算倍率色差：
但全对称系统β=−1时，理论应自动校正，即ΔyFC=0。实际值非零，可能因非理想对称或制造误差。原因：β=−1时，系统前后半部色差抵消，分布式求和为零。
一球面r=80 mm，l=−150 mm，u=0.15，n=1.7，Δn=0.015，Δn′=0.025。光阑从球心(iz=0)移至iz=40 mm。
计算C∥变化，并分析倍率色差。
答案
光阑在球心时iz=0：
光阑在iz=40 mm时：
简化：
倍率色差ΔyFC′∝−C∥，增大。表明光阑远离球心时色差增加。
一光学系统有3个面：面1CII=1.2，面2CII=−0.8，面3CII=0.5。像方nk′=1.5，uk′=0.3。
求总倍率色差ΔyFC′。
答案
分布式：
先计算求和：
分母：
代入：
单位为长度（如mm）。
高级倍率色差
高级倍率色差：
展开式中三次方及以上项（A2y3+A3y5+⋯）表征的色差分量，其表达式与畸变垂轴像差展开式相同，故本质是不同色光的畸变差异，称为色畸变。
其中：
δYzF′ 为 F 光畸变量
δYzC′ 为 C 光畸变量
推导过程
设畸变垂轴像差展开式为 δY′=B1y3+B2y5+⋯。
对 F 光和 C 光分别有：
δYzF′=B1Fy3+B2Fy5+⋯
δYzC′=B1Cy3+B2Cy5+⋯
色畸变 Δyfc′ 的高阶分量：δYzF′−δYzC′=(B1F−B1C)y3+(B2F−B2C)y5+⋯
对比倍率色差展开式 Δyfc′=A2y3+A3y5+⋯，得 A2=B1F−B1C。
剩余倍率色差：
当边缘视场 ym 处倍率色差为零时（Δyfc′(ym)=0），在 y=0.58ym 处出现最大剩余倍率色差：
其值为边缘视场高级倍率色差分量 −A2ym3 的 −0.38 倍。
某透镜设计使 ym=10mm 处倍率色差为零，A2=2×10−5mm−2。
计算 y=5.8mm 处的剩余倍率色差：
ΔYFC0.58′=−0.38×2×10−5×(10)3=−0.0076mm
实测某系统 F 光畸变 δYzF′=0.1y3，C 光畸变 δYzC′=0.08y3。
则色畸变分量：A2y3=(0.1−0.08)y3=0.02y3
与倍率色差展开式中 y3 项系数一致。
某物镜 ym=12mm，A2=3×10−5mm−2。
若边缘色差校正为零，求 y=7mm 处的倍率色差。
答案
倍率色差函数：Δyfc′=A1y+A2y3
边缘处 Δyfc′(12)=0：A1×12+3×10−5×123=0
解得 A1=−3×10−5×121728=−4.32×10−4mm−1。
在 y=7mm 处：Δyfc′=−4.32×10−4×7+3×10−5×343=−0.003024+0.01029=0.007266mm
证明当 Δyfc′(ym)=0 时，ΔYFC′ 在 y=√3ym 处取极值。
答案
设 Δyfc′=A1y+A2y3。
由 Δyfc′(ym)=0 得 A1=−A2ym2。
代入函数：Δyfc′=A2(y3−ym2y)
求导：dyd(y3−ym2y)=3y2−ym2=0
解得 y=√3ym≈0.577ym≈0.58ym。
某系统倍率色差实测数据：
y(mm) | 2 | 4 | 6 | 8 |
|---|---|---|---|---|
Δyfc′(μm) | 0.8 | 3.2 | 10.8 | 25.6 |
拟合确定 A1 和 A2 值。 |
答案
设 Δyfc′=A1y+A2y3。
代入数据：
y=2： 2A1+8A2=0.8
y=4： 4A1+64A2=3.2
解方程组：
① ×2： 4A1+16A2=1.6
②： 4A1+64A2=3.2
② - ①： 48A2=1.6⇒A2=481.6=0.0333
代入①： 2A1+8×0.0333=0.8⇒A1=20.8−0.2664=0.2668
∴A1≈0.267μm/mm,A2≈0.0333μm/mm3
薄透镜的倍率色差
对于薄透镜系统，倍率色差系数满足以下关系：
系统总和公式为：
其中 N 为单透镜个数。
如果光阑位于透镜上（hz=0），则 ∑CII=0，系统不产生倍率色差。
对于密接薄透镜组（透镜间无间隔），若系统已校正位置色差（∑CI=0），则倍率色差也同时得到校正（∑CII=0）。
对于具有间隔的两个或多个薄透镜组，只有对各个薄透镜组分别校正位置色差（每个 ∑CI,k=0），才能同时校正系统的倍率色差。
其中：CI 是位置色差系数，i 是入射角，iz 是光阑相关角度，hk 是第 k 个透镜的光线高度，hz,k 是第 k 个透镜的光阑高度，Φk 是第 k 个透镜的光焦度（Φk=1/fk′），νk 是第 k 个透镜的阿贝数。
推导过程
倍率色差 CII 源于色散导致的放大率差异。
从位置色差 CI 和光线角度关系出发：
倍率色差与光阑位置相关：
由光线追迹，入射角 i 和光阑角度 iz 满足 iz/i=hz/h。
结合位置色差定义：
当光阑在透镜上时 hz=0，直接得 CII=0。
对于密接透镜组，透镜间无间隔，hk 和 hz,k 比例恒定。
若 ∑CI=0，则 ∑hk2Φk/νk=0，由于 hz,k∝hk，有 ∑hkhz,kΦk/νk=0。
对于有间隔透镜组，间隔导致 hk 和 hz,k 独立变化。
仅当每个透镜组 ∑CI,k=0 时，∑CII,k=0 成立。
一个薄凸透镜，焦距 f′=50 mm，阿贝数 ν=55，光线高度 h=8 mm。
若光阑位于透镜上，hz=0，则倍率色差系数 CII=h⋅0⋅νΦ=0。
系统无倍率色差。
两个密接薄透镜：透镜1焦距 f1′=100 mm，ν1=60；透镜2焦距 f2′=−100 mm，ν2=40。
位置色差和 ∑CI=h2(ν1Φ1+ν2Φ2)=h2(601/0.1+40−1/0.1)=0（已校正）。
由于密接，hz,1=hz,2=hz，倍率色差和 ∑CII=hhz(ν1Φ1+ν2Φ2)=0。
系统倍率色差同时校正。
一个薄凸透镜，焦距 f′=80 mm，阿贝数 ν=50，光线高度 h=6 mm，光阑高度 hz=3 mm。
计算倍率色差系数 CII。
答案
光焦度 Φ=1/f′=1/0.08=12.5 D。
公式：CII=hhzνΦ。
代入值：CII=6×3×5012.5。
计算：6×3=18。
12.5/50=0.25。
CII=18×0.25=4.5。
倍率色差系数为 4.5。
同上一透镜，若光阑移至透镜上，hz=0。
求倍率色差系数 CII。
答案
公式：CII=hhzνΦ。
hz=0。
直接得 CII=h×0×νΦ=0。
系统无倍率色差。