6.3轴上点的球差
轴上点的球差
球差
轴向球差
球差是一种单色像差，仅与光学系统的孔径相关，导致轴上物点发出的宽光束经系统后不再会聚于一点。
对于轴上物点，近轴光线的理想像距l′和像方孔径角u′与入射高度h或物方孔径角U无关，而远轴光线的实际像距L′和实际像方孔径角U′随h或U变化。
轴向球差：定义为实际像点与理想像点的轴向偏差
其中：L′为实际像距，l′为理想像距（近轴像距），h为入射高度，U为物方孔径角。由于光学系统的旋转对称性，球差计算只需考虑子午面内光轴一侧的不同入射高度光线。
推导过程：
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基于光路追迹方程，实际像距L′依赖于入射高度h。设物距l，透镜焦距f′，近轴像距由高斯公式给出：
实际L′可通过光线追迹计算：对于入射高度h，光线在透镜表面的入射角i满足sini=rh（r为曲率半径），折射后角度i′由斯涅尔定律nsini=n′sini′确定。最终L′随h变化，导致δL′=L′−l′。在二级近似下，δL′∝h2。
考虑凸透镜，焦距f′=100 mm，物距l=−200 mm。
近轴像距l′=−200+100100×(−200)=200 mm。
实际光线追迹得：当h=10 mm时L′=60 mm；h=20 mm时L′=40 mm。
轴向球差：δL10′=60−200=−140 mm；δL20′=40−200=−160 mm。
球差随h增大而增大。
在摄影镜头中，球差导致点光源成像模糊。
例如，一个轴上点光源经系统后，不同h的光线聚焦于不同L′位置，形成弥散斑而非点像。
最小弥散斑位于δL′平均位置，可通过透镜设计优化减小。
已知光学系统近轴像距l′=50 mm，实际像距L′=48 mm。求轴向球差δL′。
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δL′=L′−l′=48−50=−2 mm
透镜球差近似为δL′=kh2，系数k=−0.05 mm/mm²。入射高度h=15 mm，近轴像距l′=60 mm。求实际像距L′。
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δL′=kh2=−0.05×152=−11.25 mm
L′=l′+δL′=60−11.25=48.75 mm
为什么计算球差时只需考虑子午面内光轴一侧光线？
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系统具有旋转对称性，含轴截面光束结构相同。入射高度h和−h的光线相对光轴对称。计算一侧即可代表整体行为。
垂轴球差
垂轴球差：由于球差的存在，在高斯像面上的像点不是一个点，而是一个圆形的弥散斑，弥散斑的半径用δT′表示，称为垂轴球差。它与轴向球差δL′的关系为：
其中：
δL′ 是轴向球差，定义为实际像点位置L′与高斯像点位置l′之差，即δL′=L′−l′。
U′ 是光线在像空间的孔径角（以弧度为单位），约定角度顺时针为正。
δT′ 是垂轴球差，表示在高斯像面上的弥散斑半径（单位与长度一致）。
高斯像面是理想成像平面，球差导致实际光线偏离此平面。
推导过程：
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考虑一条光线通过光学系统，实际像点位置为L′，高斯像点位置为l′。轴向球差定义为δL′=L′−l′。在像空间中，光线与光轴的夹角为U′。从几何关系看，垂轴偏差δT′与轴向偏差δL′和孔径角U′相关：
这是因为在直角三角形中，tanU′=δL′δT′，整理即得公式。此推导基于傍轴近似和光线追迹原理。
假设一个凸透镜的焦距f′=100 mm，像方孔径角U′=0.1 rad。已知轴向球差δL′=0.5 mm。计算垂轴球差δT′。
解：直接应用公式：
弥散斑半径约为0.050 mm。
固定轴向球差δL′=1 mm，比较不同孔径角U′下的垂轴球差：
当U′=0.05 rad时：δT′=1×tan(0.05)≈0.0500 mm
当U′=0.2 rad时：δT′=1×tan(0.2)≈0.2027 mm
结论：孔径角增大，垂轴球差显著增加，弥散斑变大。
一个光学系统中，轴向球差δL′=0.8 mm，孔径角U′=0.15 rad。求垂轴球差δT′。
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使用公式：
代入值：
计算tan(0.15)≈0.1511：
垂轴球差约为0.121 mm。
已知垂轴球差δT′=0.06 mm，轴向球差δL′=0.4 mm。求孔径角U′。
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从公式出发：
整理得：
因此：
孔径角约为0.149 rad。
一个望远镜物镜的焦距f′=200 mm，高斯像点位置l′=200 mm。实际像点位置L′=198 mm，孔径角U′=0.12 rad。计算垂轴球差δT′。
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先求轴向球差：
负号表示实际像点在高斯像点左侧。
再求垂轴球差：
负值表示弥散斑在光轴下方，半径0.241 mm。
透镜A：δL′=1.2 mm，U′=0.1 rad
透镜B：δL′=0.9 mm，U′=0.15 rad
哪个透镜的垂轴球差更大？计算具体值。
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计算透镜A的δT′：
计算透镜B的δT′：
比较：δTB′>δTA′，因此透镜B的垂轴球差更大（0.136 mm vs 0.120 mm）。
球差是轴上点像差，与视场无关，仅依赖于入射高度h1或孔径角U1。
球差δL′表示实际像点与理想像点的轴向偏差，定义为δL′=L′−l′，其中L′为实际像方截距，l′为理想像方截距。
球差具有轴对称性，当h1或U1变号时，δL′不变；当h1或U1为零时，像方截距 L′等于l′，δL′=0。
因此，球差可表示为h1或U1的偶次幂级数：
或
其中：
A1, A2, A3 为球差系数（A1为初级球差系数，A2为二级球差系数，A3为三级球差系数）。
a1, a2, a3 为基于孔径角的等效系数。
初级球差（第一项）与孔径平方成正比，二级球差（第二项）与孔径四次方成正比，三级及以上称为高级球差。
孔径较小时，初级球差主导；孔径较大时，高级球差显著增大。
考虑一个凸透镜，焦距f′=100mm，孔径h1=5mm，物距l=−∞。已知初级球差系数A1=−0.001mm−1。计算初级球差δL′。
根据级数δL′=A1h12，代入A1=−0.001, h1=5：
负值表示像点向透镜方向偏移。
在摄影镜头中，孔径较大时球差导致像点弥散。设透镜f′=50mm，h1=10mm，A1=−0.0005mm−1, A2=−0.00001mm−3。计算总球差：
δL′=A1h12+A2h14=(−0.0005)×100+(−0.00001)×10000=−0.05−0.1=−0.15mm。
弥散斑直径正比于δL′，导致图像模糊，中心光能集中，边缘分散。
一个透镜A1=−0.0002mm−1, A2=−0.000005mm−3。当h1=3mm和h1=8mm时，分别计算初级球差和总球差，并分析比例。
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对于h1=3mm：
初级球差δL初′=A1h12=(−0.0002)×9=−0.0018mm
总球差δL′=A1h12+A2h14=−0.0018+(−0.000005)×81=−0.0018−0.000405=−0.002205mm
高级球差占比∣δL′A2h14∣=0.0022050.000405≈18.4%
对于h1=8mm：
δL初′=(−0.0002)×64=−0.0128mm
δL′=−0.0128+(−0.000005)×4096=−0.0128−0.02048=−0.03328mm
高级球差占比0.033280.02048≈61.5%孔径增大时，高级球差占比显著增加。
球差分布式：光学系统的球差由各折射面贡献之和构成。对于k个面组成的系统，球差分布式为：
其中：
nk′ 为像方折射率。
uk′ 为像方孔径角。
Uk′ 为实际像方孔径角。
∑S− 为系统球差系数，S− 为单面球差分布系数：
其中ni为入射折射率，L为物方截距，U为物方孔径角，I为入射角，I′为折射角。
初级球差分布式：在近轴区域（角度小），初级球差可近似为：
其中SI为单面初级球差分布系数：
其中l为物距，u为物方孔径角，n为折射率，i为近轴入射角，i′为近轴折射角。初级球差与高级球差分量可通过实际球差和初级球差计算得出。
推导过程：
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球差分布式推导基于光线追迹和塞德尔像差理论。从单个折射面的球差贡献出发，考虑斯涅尔定律nsinI=n′sinI′，在近轴近似下，sinθ≈θ，cosθ≈1。初级球差系数SI由近轴光路计算导出：
近轴入射角i=(l−r)u/r，折射角i′=ni/n′。
代入SI=luni(i−i′)(i′−u)，简化后得分布系数。
系统球差为各面SI之和，加权像方参数，得δL′(初)。
实际球差分布式S−由精确角度计算，适用于大孔径。
一个光学系统由两个面组成，第一面SI(1)=0.02mm2，第二面SI(2)=0.03mm2，像方折射率nk′=1.0，像方孔径角uk′=0.1。求系统初级球差δL′(初)。
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根据初级球差分布式：
代入∑SI=SI(1)+SI(2)=0.02+0.03=0.05mm2, nk′=1.0, uk′=0.1：
负值表示像点前移。
求单面初级球差系数SI=luni(i−i′)(i′−u)，假设物距l=−200mm，u=−0.05，n=1.0，n′=1.5，曲率半径r=50mm。计算SI。
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先求近轴入射角i和折射角i′：
i=rl−ru=50−200−50×(−0.05)=50−250×(−0.05)=−5×(−0.05)=0.25
i′=n′ni=1.51.0×0.25=32×0.25≈0.1667代入SI=luni(i−i′)(i′−u)：
l=−200, u=−0.05, n=1.0, i=0.25, i−i′=0.25−0.1667=0.0833, i′−u=0.1667−(−0.05)=0.2167
SI=(−200)×(−0.05)×1.0×0.25×0.0833×0.2167≈(10)×0.25×0.0833×0.2167
计算：10×0.25=2.5, 2.5×0.0833≈0.20825, 0.20825×0.2167≈0.0451mm2
一个三面系统，各面SI值：面1 SI(1)=0.015mm2，面2 SI(2)=0.025mm2，面3 SI(3)=0.01mm2。nk′=1.0, uk′=0.08。计算初级球差。若实际球差δL′=−1.2mm，求高级球差分量。
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初级球差：
高级球差分量由δL′=δL′(初)+δL′(高)：
δL′(高)=δL′−δL′(初)=−1.2−(−3.90625)=2.70625mm正值表示高级球差导致像点后移。
球差的性质
球差是入射高度 h 或孔径角 U 的函数，且是偶函数，具有轴对称性。
球差与视场 ω 无关，因为它只影响轴上点。
单正透镜（凸透镜）产生负球差，单负透镜（凹透镜）产生正球差。
存在特殊共轴位置（如齐明点）无球差。
其中：δL′ 表示球差，h 是入射高度，U 是孔径角，ω 是视场角。
推导过程：
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球差可通过光路追迹推导。对于球面折射，光线追迹公式为：
其中 I 和 I′ 是入射角和折射角。球差定义为：
L′ 是实际像距，l′ 是近轴像距。通过泰勒展开，球差近似为：
k 是透镜形状因子，f′ 是像方焦距。
证明球差 δL′ 是入射高度 h 的偶函数。
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球差公式展开为 δL′=a1h2+a2h4+…（ai 是常数）。
代入 −h：
因此 δL′ 是偶函数。
校正和消除
球差是轴上点发出的不同孔径光线经光学系统后，在像方交于不同位置而产生的像差。单正透镜边缘光线的偏向角大于近轴光线，产生负球差（δL′<0）；单负透镜边缘光线偏向角更大但方向相反，产生正球差（δL′>0）。
正负透镜组合可补偿球差。
球差是孔径 h 的偶次方函数，只能使特定孔径带（如 h=hm）的球差为零。
通过调整透镜参数使初级球差系数 A1 与高级球差系数 A2 符号相反，可实现边缘带（h=hm）球差校正：
解得 A1=−A2hm2。代入球差公式：
其中hm 是光线在透镜上投射的最大高度
最大剩余球差：
由 δL′=A2h2(h2−hm2)，
求极值点：dhd(δL′)=A2[2h(h2−hm2)+h2⋅2h]=A2(4h3−2hhm2)
令导数为零：4h3−2hhm2=0⟹2h(2h2−hm2)=0
解得 h=0（无效解）或 h=√2hm≈0.707hm（球差极大值对应的入射高度）。
代入原式得球差极大值：
δL0.707=A2(√2hm)2[(√2hm)2−hm2]=A2(2hm2)(2hm2−hm2)=A2(2hm2)(−2hm2)=−4A2hm4
上式表明，对于仅含初级和二级球差的光学系统，当边缘带的球差为零时，在0.707带有最大的剩余球差，其值是边缘带高级球差的−1/4，如图 a 所示。
正透镜（f1′=50 mm）与负透镜（f2′=−100 mm）组合，间距 d=10 mm。
调整曲率使 A1=−0.002 mm−1, A2=0.00001 mm−3。
当 hm=15 mm 时：
优化后 A1=−0.00225 mm−1，则 δLm′=(−0.00225)(225)+(0.00001)(50625)=−0.50625+0.50625=0，实现边缘带校正。
以 (h/hm)2 为纵坐标，球差 δL′=A1hm2y+A2hm4y2（y=(h/hm)2）。说明初级球差为直线且与球差曲线相切于原点。
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初级球差部分：δLprimary′=A1hm2y，是斜率为 A1hm2 的直线。
总球差：δL′=A1hm2y+A2hm4y2。
在原点 y=0：
δL′=0
导数 dyd(δL′)=A1hm2+2A2hm4y，在 y=0 时为 A1hm2初级球差导数 dyd(δLprimary′)=A1hm2，相同。故两曲线在原点相切。
系统参数：A1=−0.002 mm−1, A2=0.000005 mm−3, hm=20 mm。边缘带球差已校正为零。求 h=0.707hm≈14.14 mm 处的剩余球差。
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由 δL0.707=−4A2hm4：
验证：A1=−A2hm2=−(0.000005)(400)=−0.002 mm−1（与给定一致）。代入公式：
在 h=14.14 mm：
推导当边缘带球差 δLm′=0 时，A1 与 A2 的关系及剩余球差表达式。
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由 δLm′=A1hm2+A2hm4=0：
代入一般公式：
求 δL′ 最大值：
令导数为零：
解得 h=√2hm（舍去 h=0）。代入：
单正透镜 f′=80 mm, n=1.7，仅含初级和二级球差（A1=−0.0015 mm−1, A2=0.000002 mm−3）。若对 hm=15 mm 校正球差，求 h=10 mm 处的剩余球差。
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校正要求 δLm′=0，但给定系数不满足 A1=−A2hm2：
需调整系数。设校正后 A1=−A2hm2=−(0.000002)(225)=−0.00045 mm−1。则：
在 h=10 mm：
齐明点
齐明点：在单个折射球面中，存在特殊的共轭点对，无论孔径角大小或光线高度如何，均不产生球差。
主要有三对：
物点和像点位于球面顶点时，L=0，L′=0，不产生球差垂轴放大倍率 β=1。
物点和像点均位于球面曲率中心时，L=r，L′=r，入射角 I=0，折射角 I′=0，垂轴放大倍率 β=n′n。
sinI′=sinU，即入射孔径角等于出射角时，可得nL=n′L′
物点满足
L=n(n+n′)r像点满足
L′=n′(n+n′)r由上式所确定的共轭点，不管孔径角U多大，均不产生球差
垂轴放大倍率
β=(n′n)2
其中：L 为物距（物方空间距离），L′ 为像距（像方空间距离），r 为球面曲率半径（凸面为正，凹面为负），n 为物方折射率，n′ 为像方折射率，U 为孔径角（光线与光轴夹角，顺时针为正），I 为入射角，I′ 为折射角，β 为垂轴放大倍率。
推导过程：
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由 sinI′−sinU=0 出发：
根据折射定律 sinI′=n′nsinI，及几何关系 sinI=r(L−r)sinU：
假设 sinU=0，两边除以 sinU：
L′：L′=r(1+sinU′sinI′)
考虑折射球面：物方空气 n=1.0，像方玻璃 n′=1.5，r=100 mm（凸面）。计算第3对齐明点物距和像距。
物距 L=1.0(1.0+1.5)×100=250 mm。
像距 L′=1.5(1.0+1.5)×100=1.5250≈166.67 mm。
放大倍率 β=(1.51.0)2=2.251≈0.444。
考虑折射球面：物方水 n=1.33，像方空气 n′=1.0，r=−50 mm（凹面）。计算第3对齐明点物距。
物距 L=1.33(1.33+1.0)×(−50)=1.332.33×(−50)≈−87.59 mm。
负号表示物点位于球面左侧（逆光线方向）。
已知折射球面：n=1.0，n′=1.6，r=80 mm。求第三对齐明点的物距 L。
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答案：
使用公式 L=n(n+n′)r。
代入值：L=1.0(1.0+1.6)×80=12.6×80=208 mm。
物距为 208 mm。
设计一个齐明透镜的前表面，要求物方为空气（n=1.0），像方为玻璃（n′=1.5），曲率半径 r=20,mm。计算当物点位于第三种齐明点时，像距 L′ 和孔径角 U 的关系（假设 U=10∘）。
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首先，计算物距：
像距：
由条件 I′=U，给定 U=10∘，则 I′=10∘。
验证无球差：入射角 I 可由几何关系计算，但在此点下，任何 U 均不产生球差。
答案：L′≈33.333,mm，I′=U=10∘。
解释为什么在齐明点处不产生球差，基于球差分布式和光线追迹原理。
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球差分布式表明，球差源于入射角 I 和折射角 I′ 的差异导致光线不交于同一点。在齐明点：
顶点点（L=0,L′=0）：光线垂直入射，I=I′=0，无偏差。
曲率中心点（L=r,L′=r）：法线通过中心，I=I′=0，光线沿法线无折射。
第三种点（I′=U）：由推导，sinI′−sinU=0，确保所有孔径光线均精确会聚，消除球差。
因此，这些点满足无球差条件。
齐明透镜
齐明透镜：由两个齐明折射面组成的透镜，用于消除球差和彗差。
当物点位于第一个折射面的曲率中心时，满足特定几何和光学条件。
第一个折射面：物距L1等于曲率半径r1，即L1=r1，像距L1′=r1，横向放大率β1=n2n1=n1。
透镜厚度d，第二个折射面的物距L2=L1−d=r1−d。
第二个折射面为齐明面：
曲率半径r2=n+1nL2像距
L2′=nL2放大率
β2=n2总放大率β=β1β2=n。
光束孔径角关系：出射角U3与入射角U1满足
sinU3=βsinU1=nsinU1若系统包含k个齐明透镜，则出射角
sinU2k+1=nksinU1
其中：n为透镜材料折射率（假设透镜在空气中，n1=1，n2=n，n3=1），r1为第一个面曲率半径，d为透镜厚度，U1为入射光束孔径角，U3为出射光束孔径角。角度约定：顺时针为正，逆时针为负。
推导过程：
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齐明透镜基于折射面的齐明点条件。
对于第一个折射面，物点位于曲率中心，无球差，放大率β1=n2n1=n1。
透镜厚度d导致第二个面物距L2=L1−d=r1−d。
第二个面设为齐明面，其齐明点公式为L=n(n+n′)r和L′=n′(n+n′)r，其中n=n2，n′=n3=1。
代入得曲率半径r2=n+1nL2，像距L2′=nL2。
放大率β2=(n3n2)2=n2（基于正弦条件）。
总放大率β=β1β2=n1×n2=n。
光束角度：由β=sinU3sinU1（近轴近似），得sinU3=βsinU1=nsinU1。
三个齐明镜（k=3），n=1.5，则sinU7=1.53sinU1=3.375sinU1。
当U1=30∘，sinU1=0.5，sinU7≈0.148，U7≈8.53∘，孔径角显著减小。
一个齐明透镜由两个球面组成：第一球面 r1=100 mm，n1=1.0（空气），n1′=1.5（玻璃），物点位于无穷远。设计第二球面曲率半径 r2，使第二球面的物点位于其齐明点，且整个系统无球差。
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答案：
第一球面物在无穷远，L1=∞，像距 L1′ 由近轴公式计算：
此像点作为第二球面的物点，故 L2=L1′=300 mm。
第二球面：物方 n2=n1′=1.5（玻璃），像方 n2′=1.0（空气），需使 L2 为齐明物点：
代入 L2=300，n2=1.5，n2′=1.0：
解得：
因此，第二球面曲率半径为 180 mm（凸面）。
给定一个齐明透镜，第一个面曲率半径r1=100 mm，透镜厚度d=10 mm，折射率n=1.6，计算该齐明透镜的总放大率β和出射孔径角U3（假设入射孔径角U1=20∘）。
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总放大率β=n=1.6。
sinU1=sin20∘≈0.3420。
sinU3=βsinU1=1.60.3420≈0.21375。
U3≈sin−1(0.21375)≈12.34∘。
若r1=80 mm，n=1.5，U1=25∘，比较d=5 mm和d=15 mm时第二个面曲率半径r2和像距L2′。
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先计算L2=r1−d。
d=5 mm：L2=80−5=75 mm，r2=n+1nL2=1.5+11.5×75=2.5112.5=45 mm，L2′=nL2=1.5×75=112.5 mm。
d=15 mm：L2=80−15=65 mm，r2=2.51.5×65=2.597.5=39 mm，L2′=1.5×65=97.5 mm。
厚度增加，r2和L2′减小。
假设r1=120 mm，d=8 mm，U1=15∘，计算当n=1.4和n=1.8时的sinU3，并分析折射率对孔径角的影响。
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sinU1=sin15∘≈0.2588。
n=1.4：sinU3=1.40.2588≈0.1849。
n=1.8：sinU3=1.80.2588≈0.1438。
折射率增大，sinU3减小，孔径角绝对值减小（光束更会聚）。
系统有两个齐明透镜，每个n=1.5，U1=30∘，计算最终出射角sinU5。
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第一个透镜：sinU3=nsinU1=1.5sin30∘=1.50.5≈0.3333。
第二个透镜入射角U3对应sinU3≈0.3333，放大率β=n=1.5，故sinU5=nsinU3=1.50.3333≈0.2222。
或直接sinU5=n2sinU1=2.250.5≈0.2222。
U5≈sin−1(0.2222)≈12.84∘。
物点同第一个折射面的顶点重合，即L=L′=0，β1=+1。第一个表面的曲率半径可以是任意的，通常为平面，第二个表面满足齐明条件，当透镜厚度为d时，有下列关系
像距
L2′=n3n2L2=−nd(假设 n3=1)第二面曲率半径
r2=n2+n3n2L2=−n+1nd放大率
β2=(n3n2)2=n2总放大率
β=β1β2=n2出射角
sinU3=βsinU1=n2sinU1
其中：L2第二个折射面的物距（负值表示物在表面左侧）。L2′第二个折射面的像距。r2第二个折射面的曲率半径。n2透镜材料折射率。n3像空间介质折射率（通常为1，空气）。n相对折射率，n=n2/n3。β1第一个折射面放大率，此处为+1。β2第二个折射面放大率。β系统总放大率。U1入射光线与光轴夹角。U3出射光线与光轴夹角。d透镜厚度。
推导过程：
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齐明条件基于阿贝正弦条件（β=sinU3sinU1）和球差消除。
第一个折射面物点位于顶点：L=0，L′=0，β1=+1（无放大）。
物距L2=−d（物在第一个表面顶点，距离第二个表面d，方向为负）。
应用折射定律：齐明点满足L2′=n3n2L2和r2=n2+n3n2L2。
放大率β2=(n3n2)2来自正弦条件。
总放大率β=β1β2=n2。
角度关系sinU3=βsinU1。
给定：透镜厚度d=10 mm，折射率n=1.5，入射角U1=30∘。
计算：
L2=−d=−10 mm
L2′=−nd=−1.5×10=−15 mm
r2=−n+1nd=−1.5+11.5×10=−6 mm
β2=n2=(1.5)2=2.25
β=n2=2.25
sinU3=n2sinU1=(1.5)2sin30∘=2.250.5≈0.2222，U3≈arcsin(0.2222)≈12.84∘。
给定：d=5 mm，n=1.6，U1=45∘。
计算：
L2=−d=−5 mm
L2′=−nd=−1.6×5=−8 mm
r2=−n+1nd=−1.6+11.6×5≈−3.077 mm
β2=n2=(1.6)2=2.56
β=2.56
sinU3=n2sin45∘=2.56√2/2≈2.560.7071≈0.2762，U3≈arcsin(0.2762)≈16.02∘。
问题：透镜厚度d=8 mm，折射率n=1.7，求r2。
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r2=−n+1nd=−1.7+11.7×8=−2.713.6≈−5.037 mm。
问题：折射率n=1.8，求β。
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β=n2=(1.8)2=3.24。
问题：U1=60∘，n=1.5，求U3。
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sinU3=n2sinU1=(1.5)2sin60∘=2.25√3/2≈2.250.8660≈0.3849。
U3=arcsin(0.3849)≈22.62∘。
问题：设计透镜，d=6 mm，n=1.6，U1=30∘，求r2，L2′，β，U3。
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L2=−d=−6 mm。
L2′=−nd=−1.6×6=−9.6 mm。
r2=−n+1nd=−1.6+11.6×6=−2.69.6≈−3.692 mm。
β=n2=(1.6)2=2.56。
sinU3=βsinU1=2.56sin30∘=2.560.5≈0.1953。
U3=arcsin(0.1953)≈11.26∘。