2.6 透镜
透镜
透镜是光学系统的基本元件，由两个折射面和一个透明介质（如玻璃）组成。
光线在折射面上发生折射，折射面形状通常为球面（包括平面，视为半径无限大的球面）或非球面。
球面透镜因加工和检验简单而常用。
透镜的焦距f由透镜公式给出：
其中：
f为焦距，凸透镜时为正，凹透镜时为负。
n为透镜材料的折射率。
R1为第一折射面的曲率半径，R2为第二折射面的曲率半径。
约定：曲率半径以顶点为参考，凸向光线方向为正，凹向为负；光线传播方向自左至右为正方向；角度顺时针为正；光轴以上为正。
推导：基于折射定律和薄透镜近似（忽略厚度），假设光线近轴入射，应用斯涅尔定律在两面折射，积分或几何光学推导得出此公式。
透镜按其对平行光线的会聚或发散作用可分为两类。
对光线有会聚作用的称为会聚透镜，其光焦度 Φ 为正值，又称为正透镜。
对光线有发散作用的称为发散透镜，其光焦度 Φ 为负值，亦称为负透镜。
光焦度定义为
其中 f′ 是像方焦距。
约定凸透镜 f′>0，凹透镜 f′<0。
当 Φ>0 时，透镜使平行光线会聚于像方焦点 F′；
当 Φ<0 时，透镜使光线发散。
单个折射球面光焦度
定义为像方焦距的倒数乘以像方介质折射率
适用于任何介质
根据折射定律推导，光焦度可直接由球面曲率半径和介质折射率表示为：
当物像空间折射率相等（n=n′）且为空气介质（n′=1）时，简化为：
ϕ：光焦度（单位：屈光度 D）
n：物方介质折射率
n′：像方介质折射率
r：球面曲率半径（顺光线方向为正）
f′：像方焦距
物方光焦度定义为：
其中 f 为物方焦距，满足关系：
已知：r=0.2m, n=1.0, n′=1.5
计算：
ϕ=0.21.5−1.0=0.20.5=2.5D
该正光焦度表示会聚作用
已知：r=−0.1m（气泡曲率中心在顶点左侧），n=1.33, n′=1.0
计算：
ϕ=−0.11.0−1.33=−0.1−0.33=3.3D
负半径使光焦度为正
透镜焦距公式
透镜的焦距公式描述了透镜的像方焦距f′和物方焦距f与透镜参数的关系。
透镜的焦距公式：
光焦度形式：
薄透镜焦距公式：
当透镜厚度d忽略不计时（即d=0），称为薄透镜，其焦距公式简化为：
其中：
f′为像方焦距。
f为物方焦距。
n为透镜材料的折射率。
r1和r2分别为第一和第二球面的曲率半径。
d为透镜的厚度。
Δ为光学间隔，定义为Δ=d−f1′+f2。
f1′和f2分别为第一球面的像方焦距和第二球面的物方焦距。
ρ1=1/r1和ρ2=1/r2为球面曲率半径的倒数。
推导过程：
基于将透镜视为两个折射球面的组合光组。
对于单个折射球面：
焦距公式由成像公式l′n′−ln=rn′−n导出。
当物在无穷远时（l→∞），像方焦距f′=n′−nn′r。
当像在无穷远时（l′→∞），物方焦距f=−n′−nnr。主点与球面顶点重合。
对于透镜：
在空气中，n1=n2′=1，n1′=n2=n。
第一球面焦距：f1=−n−1r1，f1′=n−1nr1。
第二球面焦距：f2=n−1nr2，f2′=−n−1r2。
光学间隔Δ=d−f1′+f2。
代入光组组合公式f′=−Δf1′f2′得透镜焦距公式f′=−f=−Δf1′f2′=(n−1)[n(r2−r1)+(n−1)d]nr1r2。
一个薄透镜由折射率n=1.6的塑料制成，r1=200 mm，r2=−200 mm。
求像方焦距fthin′。
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使用薄透镜焦距公式：
Φthin=(n−1)(ρ1−ρ2)
其中ρ1=1/r1=1/200=0.005 mm−1。
ρ2=1/r2=1/(−200)=−0.005 mm−1。
代入：
Φthin=(1.6−1)(0.005−(−0.005))=0.6×0.01=0.006 mm−1
fthin′=1/Φthin≈166.67 mm
从公式f′=−f=−Δf1′f2′=(n−1)[n(r2−r1)+(n−1)d]nr1r2
推导光焦度形式。
提示：使用ρ1=1/r1和ρ2=1/r2。
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起始于厚透镜焦距公式：
f′=(n−1)[n(r2−r1)+(n−1)d]nr1r2
光焦度Φ=1/f′，因此：
Φ=nr1r2(n−1)[n(r2−r1)+(n−1)d]
代入ρ1=1/r1和ρ2=1/r2：
Φ=nρ11ρ21(n−1)[n(ρ21−ρ11)+(n−1)d]=(n−1)[n(ρ1ρ2ρ1−ρ2)+(n−1)d]⋅nρ1ρ2
简化：
Φ=(n−1)[n(ρ1−ρ2)ρ1ρ2ρ1ρ2+(n−1)dρ1ρ2]⋅n1=(n−1)(ρ1−ρ2)+n(n−1)2dρ1ρ2
得证公式
介质中透镜焦距公式
透镜焦距公式描述了透镜的像方焦距与透镜几何参数和材料属性的关系。
对于薄透镜，焦距公式为：
对于厚透镜，需考虑透镜中心厚度 d，焦距公式为：
其中：
d 是透镜中心厚度。
f′ 是像方焦距，
n 是透镜材料的折射率，
n0 是周围介质的折射率，
r1 和 r2 是透镜两个表面的曲率半径。
约定：光线传播方向自左至右为正；角度顺时针为正；光轴以上为正；焦距凸透镜为正，凹透镜为负；物方焦点记为 F，像方焦点记为 F′。
薄透镜公式忽略了厚度影响，适用于 d 远小于曲率半径的情况；厚透镜公式更精确，适用于一般透镜设计。
假设一个薄透镜置于空气中，介质折射率 n0=1，透镜材料折射率 n=1.5，r1=200 mm（凸面，正），r2=−150 mm（凹面，负）。
计算像方焦距 f′。
解：使用薄透镜公式：
所以 f′=0.005833...1≈171.43 mm。
焦距为正，表明这是一个会聚透镜。
假设一个厚透镜置于水中，介质折射率 n0=1.33，透镜材料折射率 n=1.7，r1=100 mm（凸面，正），r2=−100 mm（凹面，负），中心厚度 d=15 mm。
计算像方焦距 f′。
解：使用厚透镜公式：
第一部分：(0.37)(0.01+0.01)=0.37×0.02=0.0074。
第二部分：1.7×1.33×100×(−100)(0.37)2×15=−226100.1369×15=−226102.0535≈−9.08×10−5。
所以 f′1=0.0074−0.0000908=0.0073092。
f′=0.00730921≈136.82 mm。
焦距为正，透镜为会聚型。
一个薄透镜在空气中（n0=1），材料折射率 n=1.8，r1=∞（平面），r2=−200 mm（凹面，负）。
求像方焦距 f′。
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使用薄透镜公式：
所以 f′=0.0041=250 mm。
焦距为正，但凹透镜通常发散，这里因平面和凹面组合导致会聚；实际中需检查曲率约定。
求双凸薄透镜表面的曲率半径。已知透镜对称，折射率 n=1.5，空气中焦距 f=120mm。
求透镜置于折射率 n0=1.62 的液体中时系统的焦距，并说明为什么不能将厚透镜焦距公式中的空气折射率 1 替换为液体折射率 1.62。
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(1) 曲率半径计算：
薄透镜焦距公式为：
f1=(n−1)(r11−r21)。
由于透镜对称，r1=r，r2=−r（从透镜左侧看，第一面凸向入射光，r1>0；第二面凹向入射光，r2<0）。
代入公式：
f1=(n−1)(r1−−r1)=(n−1)(r2)。
解得：
r=2(n−1)f。
代入 n=1.5，f=120mm：
n−1=0.5，
r=2×0.5×120=120mm。
故曲率半径 r=120mm。
(2) 液体中焦距计算：
当透镜置于液体中时，焦距公式为：
f′1=(n0n−1)(r11−r21)。
已知 r1=120mm，r2=−120mm，n=1.5，n0=1.62。
计算：
r11−r21=1201−−1201=1201+1201=1202=601。
n0n−1=1.621.5−1=1.621.5−1.62=1.62−0.12=−272。
f′1=(−272)×601=−16202=−8101。
故 f′=−810mm。
解释不能替换的原因：
厚透镜焦距公式：f′=(n−1)[n(r2−r1)+(n−1)d]nr1r2
此公式基于透镜在空气中（介质折射率 nair=1）。当透镜浸入液体（介质折射率 n0=1.62）时：
公式中的 (n−1) 实际为 (nlens−nair)，当 nair=1 时，应替换为 (n−n0)。
分母中的常数 1 隐含 nair=1，需系统改为 n0，且公式结构需重新推导（涉及光线在介质界面的折射）。
正确厚透镜焦距公式在液体中应为：f′1=(n−n0)(r11−r21)+nn0r1r2(n−n0)2d
简单替换 "1→n0" 会忽略 n0 在分母和结构中的影响，导致错误结果。应重新根据单个折射球面的光焦度公式进行推导
例如，若错误替换：f错误′=(n−n0)[n(r2−r1)+(n−n0)d]nr1r2
此式未调整分母的 n0，且未修正光焦度公式，计算结果不准确。
薄透镜焦距公式：f1=(n−nm)(r11−r21)，其中 nm 为介质折射率。空气中 nm=1，液体中 nm=n0。
符号约定：曲率半径 r 凸向入射光为正，凹为负；焦距正负由透镜类型决定（凸透镜 f>0，凹透镜 f<0）。
厚透镜公式依赖介质折射率，不能简单替换常数，需使用介质适配公式。
当 d=0 时，厚透镜公式退化为薄透镜公式。
一个厚透镜在空气中（n0=1），材料折射率 n=1.5，r1=150 mm（凸面，正），r2=−150 mm（凹面，负）。
当中心厚度 d=5 mm 时，求像方焦距 f′；并比较 d=0 时的结果。
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先计算 d=5 mm 时，使用厚透镜公式：
第一部分：(0.5)(1501+1501)=0.5×1502=0.5×751=750.5=1501。
第二部分：1.5×150×(−150)(0.5)2×5=−337500.25×5=−337501.25≈−3.7037×10−5。
所以 f′1=1501−0.000037037≈0.0066667−0.000037037=0.006629663。
f′≈150.83 mm。
当 d=0（薄透镜近似）：
f′=150 mm。
厚度增加使焦距略增大，影响较小但不可忽略。
一个厚透镜，材料折射率 n=1.6，r1=100 mm（凸面，正），r2=−200 mm（凹面，负），d=8 mm。
当介质从空气（n0=1）变为油（n0=1.5）时，求像方焦距 f′ 的变化。
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先计算在空气中（n0=1）：
第一部分：(0.6)(0.01+0.005)=0.6×0.015=0.009。
第二部分：1.6×(−20000)(0.6)2×8=−320000.36×8=−320002.88=−9×10−5。
所以 f′1=0.009−0.00009=0.00891，f′≈112.23 mm。
在油中（n0=1.5）：
第一部分：(0.1)(0.01+0.005)=0.1×0.015=0.0015。
第二部分：1.6×1.5×(−20000)(0.1)2×8=−480000.01×8=−480000.08≈−1.6667×10−6。
所以 f′1=0.0015−0.0000016667≈0.001498333，f′≈667.44 mm。
介质折射率增加使焦距显著增大，透镜从会聚变弱。
透镜主点与焦点
透镜的主点（主平面与光轴交点）和焦点位置由透镜的几何参数和材料折射率决定。
设透镜厚度为d，折射率为n，第一面曲率半径为r1，第二面曲率半径为r2，则：
主点位置公式：
焦点位置公式：
其中：
lH：物方主点到第一面顶点的距离（物方为负）
lH′：像方主点到第二面顶点的距离（像方为正）
lF：物方焦点到第一面顶点的距离
lF′：像方焦点到第二面顶点的距离
f′：透镜像方焦距 f′=(n−1)[n(r2−r1)+(n−1)d]nr1r2
ρ1=1/r1：第一面曲率
ρ2=1/r2：第二面曲率
符号约定：光线自左向右传播为正，曲率中心在顶点右侧时r>0
设双凸透镜r1=100mm，r2=−100mm，d=10mm，n=1.5
计算像方主点位置：
lH′=1.5(−100−100)+(1.5−1)×10−10×(−100)=−300+51000=−3.39mm
负值表示主点在第二面顶点左侧3.39mm处
设平凸透镜r1=∞，r2=−200mm，d=8mm，n=1.6
求像方焦点位置
先求焦距：
将已知参数代入f′≈333.3mm
像方焦点位置：lF′=333.3(1−1.60.6×8×0)=333.3mm
双凹透镜r1=−80mm，r2=120mm，d=5mm，n=1.7
求物方主点lH和像方主点lH′
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计算过程：
分母通项：n(r2−r1)+(n−1)d=1.7(120−(−80))+(0.7)×5=1.7×200+3.5=343.5
物方主点：lH=343.5−5×(−80)=343.5400=1.16mm
像方主点：lH′=343.5−5×120=343.5−600=−1.75mm
结论：
物方主点在第一面顶点右侧1.16mm
像方主点在第二面顶点左侧1.75mm
弯月透镜r1=150mm，r2=100mm，d=12mm，n=1.8
计算像方焦点lF′（已知f′=128.6mm）
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计算步骤：
计算ρ1=1/150=0.0067mm−1
代入焦点公式：
lF′=128.6(1−1.81.8−1×12×0.0067)计算系数：1.80.8×12×0.0067=0.0357
结果：lF′=128.6×(1−0.0357)=123.9mm
结论：像方焦点在第二面顶点右侧123.9mm处
证明：当d→0时，lH→0且lH′→0（薄透镜主点与顶点重合）
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证明过程：
薄透镜极限条件：d≪∣r1∣,∣r2∣
主点公式分母：n(r2−r1)+(n−1)d≈n(r2−r1)
分子量级：dri→0
故：
d→0limlH=d→0limn(r2−r1)−dr1=0
d→0limlH′=d→0limn(r2−r1)−dr2=0
证毕
已知某透镜lH′=−2.5mm，f′=50mm，求第二面顶点到像方焦点的距离
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求解：
由定义：像方焦点到像方主点距离为焦距f′
空间关系：lF′=lH′+f′
代入：lF′=−2.5+50=47.5mm
结论：第二面顶点到像方焦点距离为47.5mm
不同形状透镜焦点和主点位置
双凸/双凹透镜（∣r1∣=∣r2∣）
主点位于透镜内部，间距≈d，对称分布lH≈−2d,lH′≈2d两个半径值相等的双凸或双凹透镜，其主点位于透镜内，两个主点大致均分了透镜厚度；
平凸/平凹透镜（r1=∞或r2=∞）
平面侧主点与顶点重合，曲面侧主点位于透镜内ΔHH′≈3d在平凸或平凹透镜中，一个主点总是与凸面或凹面的球面顶点重合，另一个主点在透镜内，与前一个主点的距离大致为透镜厚度的三分之一；
弯月形透镜（r1,r2同号）
主点可能位于透镜外，当∣r1∣≪∣r2∣时：lH<0,lH′<0（均在物方侧）
极端弯曲时H′可能在H左侧对于弯月形透镜来讲，一个主点完全在透镜外，对于极度弯曲的弯月形透镜，甚至两个主点都在透镜外，而且两个主点的相对位置可能会与图示的相反，即像方主点在物方主点的左面。
已知双凸透镜r1=100mm，r2=−100mm，d=10mm，n=1.5
焦距f′=[(n−1)(r11−r21)]−1=100mm
物方主点位置：lH=−1.5×(−100)100×10×0.5=3.33mm
像方主点位置：lH′=−1.5×100100×10×0.5=−3.33mm
主点间距HH′=d−lH+lH′=10−3.33−(−3.33)=10mm
平凸透镜r1=∞，r2=−200mm，d=8mm，n=1.6
焦距f′=1−nr2=333.3mm
物方主点位置：lH=−1.6×(−200)333.3×8×0.6=5.0mm
像方主点位置：lH′=−1.6×∞333.3×8×0.6=0mm
主点间距HH′=d−lH=8−5=3mm ≈3d
双凹透镜r1=−80mm，r2=80mm，d=6mm，n=1.7
计算像方焦距f′
确定物方主点H位置
确定像方主点H′位置
验证主点间距是否≈d
详情
f′=[(1.7−1)(−801−801)]−1=−57.14mm
lH=−1.7×80(−57.14)×6×0.7=1.76mm
lH′=−1.7×(−80)(−57.14)×6×0.7=−1.76mm
HH′=d−lH+lH′=6−1.76+(−1.76)=2.48mm ≠ d
注：因负焦距导致符号变化，实际间距∣H′H∣=∣lH′∣+∣lH∣=3.52mm
与d/2=3mm基本吻合
正弯月透镜r1=50mm，r2=150mm，d=5mm，n=1.8
计算像方焦距f′
求物方主点H位置
求像方主点H′位置
判断主点是否在透镜外
详情
f′=[(1.8−1)(501−1501)]−1=93.75mm
lH=−1.8×15093.75×5×0.8=−1.39mm（在顶点左侧）
lH′=−1.8×5093.75×5×0.8=−4.17mm（在顶点左侧）
H位于第一面顶点左侧1.39mm（透镜外）
H′位于第二面顶点左侧4.17mm（透镜外）
且H′在H左侧∣−4.17−(−1.39)∣=2.78mm
负弯月透镜r1=−120mm，r2=−60mm，d=4mm，n=1.6
推导主点位置公式
计算lH和lH′
分析主点相对位置
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通用公式：
lH=−nr2f′d(n−1)
lH′=−nr1f′d(n−1)f′=[(1.6−1)(−1201−−601)]−1=−240mm
lH=−1.6×(−60)(−240)×4×0.6=−6.0mm
lH′=−1.6×(−120)(−240)×4×0.6=−3.0mmH在第一面顶点左侧6mm（透镜外）
H′在第二面顶点左侧3mm（透镜外）
物方主点H在像方主点H′左侧3mm
弯月透镜r1=30mm，r2=35mm，d=15mm，n=1.9
计算焦距f′
确定主点位置
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f′=[(1.9−1)(301−351)]−1=367.5mm
lH=−1.9×35367.5×15×0.9=−67.0mm
lH′=−1.9×30367.5×15×0.9=−78.2mm