6.4正弦差和彗差
正弦差和彗差
正弦差
正弦条件和不晕成像
不晕成像：当光学系统同时满足以下两个条件时，实现不晕成像：
无球差（轴上点理想成像）
无正弦差（满足正弦条件）
此时，轴上点和近轴物点均成理想像。
正弦条件：当光学系统满足正弦条件时，若轴上点理想成像，则近轴物点也理想成像。
垂直于光轴平面内两个相邻点，一个是轴上点，一个是靠近光轴的轴外点，其理想成像的条件是：
物体位于有限距离时：
nysinU=n′y′sinU′物体位于无限远时sinU1=0：
f′=sinU′h
其中：n 为物方折射率；n′ 为像方折射率；U 为物方孔径角（单位：弧度）；U′ 为像方孔径角（单位：弧度）；y 为物高；y′ 为像高；f′ 为像方焦距；h 为入射高度。
正弦条件是等晕条件的特殊情况
推导过程：
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正弦条件可从光学不变量或费马原理推导。以有限距离物体为例：
考虑轴上点A和近轴点B，其理想像为A'和B'
光线从B到B'的光程应相等，即n⋅AB⋅sinU=n′⋅A′B′⋅sinU′
由于AB≈y（小角度近似），A′B′≈y′
得：nysinU=n′y′sinU′无限远时，U→0，sinU≈0
结合焦距定义f′=h/tanU′，修正为sinU′形式。
物距 l=−150mm，像距 l′=75mm，物高 y=20mm，像高 y′=−10mm（负号表示倒像），物方孔径角 U=30∘，像方孔径角 U′=60∘。假设 n=n′=1。验证正弦条件：
左边：nysinU=1×20×sin30∘=10
右边：n′y′sinU′=1×(−10)×sin60∘≈−8.6610=−8.66，故不满足正弦条件。
望远镜物镜，入射高度 h=40mm，像方孔径角 U′=8∘。求焦距 f′。
使用无限远正弦条件：f′=sinU′h=sin8∘40≈0.139240≈287.36mm
给定 n=1.5, n′=1.0, y=15mm, y′=−7.5mm, U=45∘, U′=30∘。验证是否满足正弦条件。
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左边：nysinU=1.5×15×sin45∘=22.5×0.7071≈15.91右边：n′y′sinU′=1.0×(−7.5)×sin30∘=−7.5×0.5=−3.7515.91=−3.75，不满足正弦条件。
物体在无限远，h=30mm，U′=6∘。若 f′=250mm，验证是否满足正弦条件。
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正弦条件要求：f′=sinU′h计算右边：sin6∘30≈0.104530≈287.08mm给定 f′=250mm，287.08=250，故不满足。
解释球差如何破坏正弦条件，导致成像不对称。
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球差使不同孔径光线交于不同点
轴外点主光线失去对称性
对称光束经系统后不再相交于一点
导致 nysinU=n′y′sinU′
正弦差增大，破坏不晕成像
设计参数使单透镜近似满足正弦条件：f′=100mm，l=−300mm，y=20mm。求 l′、y′ 及 U′（设 U=20∘，n=n′=1）。
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求像距：l′1−l1=f′1⇒l′1−−3001=1001⇒l′=75mm
求像高：y′=−ll′y=−−20075×20=7.5mm
正弦条件：ysinU=y′sinU′⇒20×sin20∘=7.5×sinU′
计算：20×0.3420=7.5×sinU′，7.5×sinU′=6.84⇒sinU′≈0.912
等晕成像
等晕成像：
实际光学系统对轴上点只能使某一带的球差为零，即轴上点不能成完善像，物点的像是一个弥散斑。只要弥散斑很小，则认为像质是好的。同理，对于近轴物点，用宽光束成像时也不能成完善像，故只能要求其成像光束结构与轴上点成像光束结构相同，也就是说，轴上点和近轴点有相同的成像缺陷，称为等晕成像，确保弥散斑小且像质良好。
当系统满足等晕条件时，轴上点球差为零或很小，近轴点无正弦差（彗差），实现等晕成像。
等晕条件：
物体位于有限距离：
物体位于无限远：
其中：β近轴区垂轴放大倍率；n物方折射率；n′像方折射率；U物方孔径角；U′像方孔径角；δL′球差；L′像距；lz′第二近轴光线计算的出瞳距；h1入射高度；f′像方焦距。
推导过程：
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等晕条件基于轴上点与近轴点光束结构一致性推导。设轴上点球差δL′，近轴点正弦差（OSC）为零。由正弦条件β=n′sinU′nsinU，结合光线追迹公式：
当轴上点δL′=0时，近轴点光束对称。代入球差定义δL′=L′−l′，其中l′为理想像距，得：
无限远时，物体高度h1=f′tanU′≈f′sinU′，代入上式简化得：
一个双凸透镜系统，物距l=−200mm，f′=100mm，n=1.0，n′=1.5，U=30∘，U′=20∘，β=−0.5，δL′=0.02mm，L′=150mm，lz′=50mm。
计算等晕条件左侧：
右侧：
因−3.0001=0.0002，系统不满足等晕条件，近轴点将出现彗差。
望远镜物镜f′=500mm，h1=10mm，U′=0.1rad，δL′=0.05mm，L′=505mm，lz′=5mm。
等晕条件左侧：
右侧：
因−0.8=0.0001，系统不等晕，需优化球差。
一个透镜系统参数：β=−0.4，n=1.0，n′=1.6，U=25∘，U′=15∘，δL′=0.01mm，L′=120mm，lz′=30mm。验证是否满足等晕条件，并计算左侧与右侧值差。
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左侧计算：
右侧计算：
差值：−3.35775−0.0001111≈−3.3578611
因差值远不为零，系统不满足等晕条件。
给定f′=300mm，h1=15mm，U′=0.05rad，L′=302mm，lz′=2mm，若要求等晕成像，求允许的最大球差δL′。
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等晕条件：
左侧：
右侧：
设等式成立：
最大允许球差为0mm，即要求无球差。
推导无限远物体等晕条件公式，从有限距离公式出发，假设物距l→−∞。
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有限距离公式：
当l→−∞，物在无限远，β→0，但h1=f′tanU′≈f′sinU′（小角度）。
由光学不变量，β=yy′=n′f′sinU′nh1，代入：
简化：
无限远时U≈0，sinU≈f′h1，代入：
但实际需考虑球差项，标准形式为：
推导完成。
一个相机镜头f′=50mm，用于无限远物体，实测h1=5mm，U′=0.2rad，δL′=0.03mm，L′=50.5mm，lz′=0.5mm。若要求等晕成像，需将球差δL′减小至何值？并计算当前等晕条件值。
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当前左侧：
右侧：
设目标δLnew′，要求：
但球差通常为小正值，负值不实际。
优化：调整U′或h1，或减小δL′至接近零。
若设δLnew′=0，则右侧为0，左侧需为0，即要求f′sinU′h1=1。
当前不等晕，建议减小δL′至0.001mm以下。
正弦差：正弦差（OSC′）是衡量光学系统偏离等晕成像条件的量化指标，定义为实际成像位置与理想等晕成像位置的偏差。
当系统不满足等晕条件时，即等晕条件两端不相等，其差值即为正弦差。
物体在有限远时：
OSC′=βn′nsinU′sinU−L′−lz′δL′−1物体在无限远时：
OSC′=f′sinU′h1−L′−lz′δL′−1
其中：n,n′物方/像方折射率；β横向放大率；U,U′物方/像方孔径角（顺光轴方向为正）；δL′球差（边缘光线与近轴光线像方截距差）；L′边缘光线像方截距；lz′出瞳距（像方主面到出瞳距离）；h1第一近轴光线在物方主面高度；f′像方焦距；
物理意义：
OSC′=0 且 δL′=0：满足等晕成像条件
OSC′=0 且 δL′=0：满足正弦条件 nysinU=n′y′sinU′
正弦条件是等晕条件的特殊情况
计算特性：对于近轴物点，仅需计算一条第二近轴光线（确定lz′），结合轴上物点球差计算结果即可求得正弦差。
某光学系统参数：n=1.0,n′=1.5,β=−0.6,U=8∘,U′=−4∘,δL′=0.12mm,L′=120mm,lz′=−15mm。
求正弦差OSC′。
解：
代入有限远公式：OSC′=(−0.6)×1.51.0sin(−4∘)sin8∘−120−(−15)0.12−1计算分量：
sin8∘≈0.1392,sin(−4∘)≈−0.0698
−0.91.0×−0.06980.1392≈(−1.111)×(−1.994)=2.216
1350.12≈0.000889
OSC′≈2.216−0.000889−1=1.215
望远镜物镜参数：h1=12mm,f′=200mm,U′=−2∘,δL′=0.08mm,L′=199.2mm,lz′=−18mm。
求正弦差OSC′。
解：
代入无限远公式：OSC′=200×sin(−2∘)12−199.2−(−18)0.08−1计算分量：
sin(−2∘)≈−0.0349
200×(−0.0349)12=−6.9812≈−1.719
217.20.08≈0.000368
OSC′≈−1.719−0.000368−1=−2.719
透镜参数：n=1.0,n′=1.7,β=−0.5,U=10∘,U′=−5∘,δL′=0.15mm,L′=80mm,lz′=−10mm。
计算OSC′并判断是否满足等晕条件。
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解：OSC′=(−0.5)×1.71.0sin(−5∘)sin10∘−80−(−10)0.15−1计算过程：
sin10∘≈0.1736,sin(−5∘)≈−0.0872
−0.851.0×−0.08720.1736≈(−1.176)×(−1.991)=2.342
900.15=0.001667
OSC′≈2.342−0.001667−1=1.340因OSC′=0，不满足等晕条件。
物镜参数：h1=3mm,f′=15mm,U′=−8∘,δL′=0.02mm,L′=14.95mm,lz′=−5mm。
求OSC′并说明成像特性。
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解：OSC′=15×sin(−8∘)3−14.95−(−5)0.02−1计算过程：
sin(−8∘)≈−0.1392
15×(−0.1392)3=−2.0883≈−1.437
19.950.02≈0.001003
OSC′≈−1.437−0.001003−1=−2.438负值表明系统存在明显像散和彗差。
某系统测得OSC′=−0.03,δL′=0.25mm。
分析是否满足等晕条件，若满足则给出正弦条件表达式。
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解：
根据定义：
OSC′≈0但δL′=0 → 满足等晕条件
正弦条件表达式：nysinU=n′y′sinU′
此时系统对轴外点成像质量接近轴上点
三片式镜头参数：n′=1.0,h1=25mm,f′=100mm,U′=−3∘,δL′=0.1mm,L′=99.7mm,lz′=−22mm。
求OSC′并优化建议。
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解：OSC′=100×sin(−3∘)25−99.7−(−22)0.1−1计算过程：
sin(−3∘)≈−0.0523
100×(−0.0523)25=−5.2325≈−4.780
121.70.1≈0.000822
OSC′≈−4.780−0.000822−1=−5.782优化建议：
增大出瞳距lz′减小分母值
采用非球面修正球差δL′
调整透镜曲率平衡孔径角U′
正弦差：正弦差是光学系统中描述彗差的一种量，与孔径相关而与视场无关。
其级数展开式为：
其中A1,A2,A3为系数，h1为孔径高度。
初级正弦差的分布式为：
其中SII为初级彗差分布系数，表达式为：
其中：l为物距（顺光线方向为正），u为物方孔径角（顺时针为正），n为折射率，i为入射角，i′为折射角，iz为与光阑位置相关的量，SI为初级球差分布系数，J为拉格朗日不变量。
正弦差随孔径变化，与球差类似，且可通过改变光阑位置进行校正。
推导过程：
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推导基于光线追迹和正弦条件。从SII的定义出发：
利用SI=luni(i−i′)，可得：
代入OSC'的表达式：
其中J=nuy，y为物高，求和是对所有光学表面k。
考虑单透镜系统，物距l=−100 mm，孔径角u=0.1 rad，折射率n=1.5，入射角i=0.2 rad，折射角i′=0.15 rad，iz=0.05，SI=0.01。计算SII和OSC'。
解：使用SII=SIiiz=0.01×0.20.05=0.0025。假设单表面k=1，J=nuy，取物高y=10 mm，则J=1.5×0.1×10=1.5。OSC' = −2×1.51×0.0025=−0.000833。
原系统参数同上，iz=0.05，SII=0.0025。移动光阑后iz=0.03，其他不变。新SII=SIiiz=0.01×0.20.03=0.0015。OSC' = −2×1.51×0.0015=−0.0005。正弦差绝对值减小，表明校正效果。
对于光学系统，物距l=−200 mm，孔径角u=0.05 rad，折射率n=1.6，入射角i=0.1 rad，折射角i′=0.08 rad，iz=0.04。求SII。
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解：
使用SII=luniz(i−i′)(i′−u)。
计算i−i′=0.1−0.08=0.02。i′−u=0.08−0.05=0.03。
代入：SII=(−200)×0.05×1.6×0.04×0.02×0.03。
先计算：(−200)×0.05=−10。−10×1.6=−16。−16×0.04=−0.64。−0.64×0.02=−0.0128。−0.0128×0.03=−0.000384。
故SII=−0.000384。
基于SII=SIiiz，推导OSC'的分布式OSC′=−2J1∑SII。
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解：
从光学设计原理，正弦差OSC'表示对正弦条件的偏离。SII是彗差分布系数，与光阑位置相关。
OSC'定义为孔径函数的平均值。
积分形式：OSC′=J1∫SIIdh。
在近轴近似下，离散化为OSC′=−2J11∑kSII。
其中系数−21源于孔径对称性。
系统有3个表面，每个表面SII=0.002，J=2.0。求OSC'。
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解：1∑kSII=3×0.002=0.006。OSC′=−2×2.01×0.006。
计算：2×2.0=4.0。−4.01=−0.25。−0.25×0.006=−0.0015。
故OSC' = −0.0015。
解释如何通过改变光阑位置校正正弦差，并给出数学依据。
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解：
正弦差OSC'与SII相关，而SII=SIiiz。iz是光阑位置的函数，移动光阑改变iz。
例如，增大光阑与透镜距离，iz减小。
则SII减小，OSC'绝对值减小。
数学上，优化光阑位置使∑SII=0。
设目标OSC' = 0，则需∑SII=0。
调整iz使各表面SII代数和为零。
不晕点
不晕点：在光学系统中，校正了球差并满足正弦条件的一对共轭点称为不晕点或齐明点。
当满足特定条件时，初级彗差分布系数SII=luniz(i−i′)(i′−u)=SIiiz为零，从而不产生正弦差。
其中SI是初级球差分布系数。
不产生正弦差的条件包括：
iz=0（光阑位于球面曲率中心）；
l=0（物点在球面顶点）；
i=i′（物点在球面曲率中心）；
i′=u（物点在L=nn′+nr处）。
这些条件对应无球差的物像点位置，均满足正弦条件nysinU=n′y′sinU′，其中U和U′是物方和像方孔径角，y和y′是物高和像高。不晕点确保成像无彗差和球差，适用于高分辨率光学设计。
其中：
SII：初级彗差分布系数；
l：物距（物点到球面顶点的距离，约定顺光线方向为正）；
u：孔径角（光线与光轴的夹角，顺时针为正）；
iz：光阑位置相关量（光阑到球面曲率中心的距离）；
i：入射角（光线与法线的夹角）；
i′：折射角（折射光线与法线的夹角）；
SI：初级球差分布系数；
n：物方折射率；
n′：像方折射率；
r：球面曲率半径（圆心在右侧时r>0）；
L：物点位置（从球面顶点起算）。
推导过程：
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基于球面折射的初级像差理论，彗差分布系数SII由光线追迹公式导出。从球面折射公式n′sini′=nsini和近轴近似出发，考虑光阑位置影响。设A=luniz，则：
利用SI=21ni(i−i′)lu（球差系数），代入得：
当iz=0、l=0、i=i′或i′=u时，SII=0，表明无正弦差。结合正弦条件nysinU≈nyu=n′y′u′（小角度近似），验证这些点满足齐明成像。
考虑一个球面镜（n=n′=1，r=100 mm）。当物点在曲率中心时（l=r=100 mm），满足条件i=i′。计算孔径角u=0.1 rad，验证SII=0。成像无彗差，适用于望远镜物镜。
一个薄透镜（n′=1.5，n=1，r1=50 mm，r2=−50 mm）。当物点在L=nn′+nr1=12.5×50=125 mm处时，满足i′=u。设u=0.05 rad，光阑在镜面，iz=0，则SII=0，成像清晰。
一个球面折射面（n=1，n′=1.6，r=80 mm）。物点位于l=0（顶点），孔径角u=0.2 rad，光阑在曲率中心（iz=0）。计算SII并说明是否为零。
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由条件l=0和iz=0，直接代入公式：
因此SII=0，不产生正弦差，该点为不晕点。
给定球面（n=1，n′=1.8，r=60 mm），要求物点满足i′=u。若孔径角u=0.15 rad，求物距l。
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从条件i′=u出发，利用折射定律nsini=n′sini′。小角度下sini≈i，sini′≈i′：
由i′=u，得i=nn′u=1.8×0.15=0.27 rad。
物距l与i相关：i=rl−ru（近轴近似）。解：
整理得：
验证L=nn′+nr=12.8×60=168 mm，符合条件。
一个光学系统（n=1，n′=1.5，r=100 mm），物点在曲率中心（l=r=100 mm，u=0.1 rad）。若光阑不在曲率中心（iz=5 mm），计算SII。设SI=0.02，i=0.12 rad。
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物点在曲率中心时i=i′，但iz=0。公式：
SII=0，表明有正弦差，不满足不晕点条件。
一个透镜系统校正了球差（SI=0），物高y=10 mm，像高y′=15 mm，物方孔径角U=0.3 rad，像方孔径角U′=0.2 rad。折射率n=1，n′=1.6。验证是否满足正弦条件。
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正弦条件为nysinU=n′y′sinU′。计算左右两侧：
左侧：nysinU=1×10×sin(0.3)≈10×0.2955=2.955右侧：n′y′sinU′=1.6×15×sin(0.2)≈1.6×15×0.1987≈4.7682.955=4.768，不满足正弦条件，因此不是不晕点。
需调整参数使两侧相等。
彗差
彗差：轴外物点宽光束经光学系统成像后产生的失对称像差，表现为像点呈彗星状弥散斑。
其大小由孔径角U和视场角ω共同决定
特性：
彗差与正弦差本质相同，均表征轴外点成像失对称性
正弦差适用于小视场系统，彗差适用于任意视场系统
彗差计算需追迹对称于主光线的上、下两光线
彗星状光斑中，近主光线形成亮点，远主光线形成扩散环
危害：破坏轴外视场成像清晰度
成因推导：
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当轴外点宽光束入射时，透镜不同环带区具有不同放大率：β=hh′=常数
离轴距离h不同的光线在像面形成：Δy′=(∂h∂β)hΔh导致成像点沿径向拉伸成彗星状
光阑位置 | 彗差变化 |
|---|---|
靠近透镜 | 彗差增大 |
远离透镜 | 彗差减小 |
透镜组合：双胶合透镜中：K总=K1+K2f2′f1′，通过调整透镜曲率半径使K总≈0
某望远镜物镜f′=500mm，当ω=1∘时KT′=0.02mm，若视场扩大至ω=2∘，估算彗差值（保持孔径不变）
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由彗差与视场关系：K′∝ω故：K1′K2′=ω1ω2=2K2′=2×0.02=0.04mm
子午彗差和弧矢彗差
子午彗差：子午彗差是轴外点子午光束的上、下光线在高斯像面的交点高度平均值与主光线交点高度之差，表示为：
其中：ya′ 和 yb′ 是子午光束上、下光线在高斯像面的高度，yz′ 是主光线在高斯像面的高度。
子午彗差反映了子午面内光束的不对称性，正值表示彗星状拖尾朝向光轴上方。
推导过程：
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子午彗差公式基于轴外点成像的光路计算。在子午面内，上光线和下光线分别对应最大孔径角的光线。
通过轴外点远轴光线追迹公式⎩⎪⎨⎪⎧ya′=(La′−l′)tanUa′yz′=(Lz′−l′)tanUz′yb′=(Lb′−l′)tanUb′，计算它们在理想像面的交点高度 ya′ 和 yb′。
主光线 yz′ 是理想成像参考线。
彗差定义为光束中心（平均值）偏离主光线的距离：光束中心高度=2ya′+yb′，KT′=光束中心高度−yz′=2ya′+yb′−yz′
此式量化了子午面内像差的不对称程度。
假设一个单透镜系统，轴外点物高 h=5 mm，孔径角 u=30∘。计算得 ya′=3 mm（上光线），yb′=1 mm（下光线），yz′=2 mm（主光线）。
则子午彗差：KT′=23+1−2=2−2=0 mm
结果为零表示该点无彗差，成像对称。
现象：当物点偏离光轴时，通过凸透镜观察其像点：
中心明亮光斑（近轴光线聚焦）
外围拖尾光晕（边缘光线偏移）
量化：设透镜焦距f′=100mm，孔径D=20mm，视场角ω=5∘时，测得：ya′=0.25mm,yb′=−0.15mm,yz′=0.08mm
彗差值：KT′=21(0.25−0.15)−0.08=−0.03mm
给定光学系统，ya′=4 mm，yb′=0 mm，yz′=2 mm。求子午彗差 KT′。
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应用公式：KT′=2ya′+yb′−yz′代入值：KT′=24+0−2=24−2=2−2=0 mm结果为零，表示无彗差。
某相机镜头，子午彗差 KT′=−0.3 mm。若主光线高度 yz′=1.5 mm，求光束中心高度，并说明负值的含义。
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由公式：KT′=2ya′+yb′−yz′设光束中心高度为 C，则：−0.3=C−1.5C=1.5−0.3=1.2 mm负值表示彗星拖尾向下，导致像模糊。
证明彗差与视场角ω满足：K′∝ω⋅D2其中D为孔径直径
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由彗差定义式：KT′=21(ya′+yb′)−yz′对于小角度：y≈f′⋅tanω≈f′ω孔径相关项：Δy∝f′D2综合得：K′∝ω⋅D2
弧矢彗差：弧矢彗差是弧矢光线对在高斯像面的交点高度与主光线交点高度之差，表示为：
其中：ys′ 是弧矢光线在高斯像面的高度，由于弧矢光束对称于子午面，两条弧矢光线高度相同。
弧矢彗差总小于子午彗差，手工计算时可忽略。
同系统，弧矢光线高度 ys′=2.2 mm，主光线 yz′=2 mm。
弧矢彗差：KS′=2.2−2=0.2 mm而子午彗差 KT′=0.5 mm（假设值），验证 ∣0.2∣<∣0.5∣，弧矢彗差较小。
系统参数：ys′=3.5 mm，yz′=3 mm。求弧矢彗差 KS′，并解释其意义。
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公式：KS′=ys′−yz′
计算：KS′=3.5−3=0.5 mm
正值表示彗星状拖尾向上，影响成像质量，需优化透镜设计。
系统数据：ya′=5 mm，yb′=3 mm，ys′=4.2 mm，yz′=4 mm。计算 KT′ 和 KS′，并比较大小。
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子午彗差：KT′=25+3−4=28−4=4−4=0 mm
弧矢彗差：KS′=4.2−4=0.2 mm
比较：∣KS′∣=0.2<∣KT′∣=0，但 KT′=0 表示无子午彗差，弧矢彗差较小。
彗差的级数展开式：
其中：Ks′彗差值；y物高（视场量）；h入射高度（孔径量）；A1,A2,A3彗差系数
特性：
孔径U(h)变号时彗差符号不变 → 仅含h偶次项
视场y变号时彗差反号 → 仅含y奇次项
y=0或h=0时彗差为零 → 无常数项
主导项规律：
大孔径小视场：彗差主要由一、二项A1yh2+A2yh4主导
大视场小孔径：彗差主要由一、二项A1yh2+A3y3h2主导
边缘校正特性：
当边缘孔径(hm)彗差归零时，0.707hm处出现最大剩余彗差：
初级彗差分布式：
子午彗差：
弧矢彗差：
其中SⅡ为彗差系数，nk′为像方折射率，uk′为像方孔径角。
与正弦差关系：
其中OSC′为初级正弦差，y′为理想像高。
像斑特征：
彗差弥散斑头部（主光线交点）最亮，斑形指示像点位置：
头部朝向光轴 → 负彗差
头部背离光轴 → 正彗差
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推导过程：
彗差级数形式推导：
由对称性约束，设Ks′=m,n∑Cmnymhn
y→−y时Ks′→−Ks′ ⇒ m为奇数
h→−h时Ks′不变 ⇒ n为偶数
y=0或h=0时Ks′=0 ⇒ m≥1,n≥2故最低阶项C12y1h2
0.707带最大剩余彗差推导：
设Ks′=A2y(h4−hm4)（边缘归零条件）
求导dhdKs′=4A2yh3=0 ⇒ h=0（极小值）
二阶导dh2d2Ks′=12A2yh2，在h=0.707hm处：Ks,max′=A2y[(0.707)4−1]hm4=−0.25A2yhm4
现象：双凸透镜成像时，轴外点产生彗星状光斑
计算：已知f′=100mm, y=5mm, h=10mm, A1=3×10−5mm−2
初级彗差：Ks′=3×10−5×5×102=0.15mm
影响：导致像点横向偏移0.15mm，降低边缘视场分辨率
方法：在双高斯镜头中加入弯月形校正镜
效果：
视场角 | 未校正彗差(μm) | 校正后彗差(μm) |
|---|---|---|
10° | 25.3 | 3.2 |
20° | 98.7 | 8.5 |
原理：校正镜引入负彗差抵消系统正彗差 |
某光学系统彗差展开式：Ks′=2.5×10−6yh2−4.1×10−9yh4
当y=8mm，h=15mm时：
计算总彗差值
分析孔径二级彗差占比
若边缘孔径hm=20mm校正归零，求最大剩余彗差
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解答：
Ks′=2.5×10−6×8×152−4.1×10−9×8×154
=2.5×10−6×8×225−4.1×10−9×8×50625
=4.5×10−3−1.66×10−3=2.84×10−3mm孔径二级彗差占比：2.84×10−3∣−1.66×10−3∣×100%=58.5%
边缘归零时：Ks′=A2y(h4−hm4)
由−4.1×10−9=A2
h=0.707×20=14.14mm
Ks′=−4.1×10−9×8×(14.144−204)
=−3.28×10−8×(40000−160000)
=−3.28×10−8×(−120000)=3.94×10−3mm
已知某系统最后一镜参数：nk′=1.5163, uk′=0.25，总彗差系数∑SⅡ=0.18
计算初级子午彗差KT′和弧矢彗差KS′
验证二者比例关系
若视场角w=5°，求正弦差OSC′
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解答：
KT′=−2×1.5163×0.253×0.18=−0.758153×0.18=−0.712mm
KS′=−2×1.5163×0.251×0.18=−0.758151×0.18=−0.237mmKS′KT′=−0.237−0.712=3.004≈3，符合3倍关系
由OSC′=Ks′/y′，取Ks′=KS′（弧矢彗差）
理想像高y′=f′tanw≈f′w（小角度）
需焦距数据，假设f′=50mm：
y′=50×tan(5∘)≈50×0.0875=4.375mm
OSC′=4.375−0.237=−0.054
实验测得某透镜轴外点成像数据：
孔径比 | 光斑头部偏移(μm) | 尾部偏移(μm) |
|---|---|---|
1.0 | +120 | -80 |
0.8 | +76 | -52 |
0.6 | +42 | -30 |
计算各孔径彗差值（取Ks′=2头部偏移+尾部偏移）
确定彗差符号类型
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解答：
彗差计算：
h=1.0：Ks′=2120+(−80)=20μm
h=0.8：Ks′=276+(−52)=12μm
h=0.6：Ks′=242+(−30)=6μm
光斑头部朝向光轴中心（+偏移量小于尾部负偏移量绝对值）→ 负彗差