3.4折射棱镜与光楔
折射棱镜
折射棱镜由两个光学折射面构成工作面。
折射棱：两折射面的交线
折射角：两折射面间的二面角，用 α 表示。
主截面：垂直于折射棱的平面。
折射棱镜通过折射作用改变光束传播方向并产生色散，在光学系统中用于光束转向和光谱分析。
其中：α 表示折射角，单位为弧度或度；折射棱为直线；主截面为平面。
考虑一个等边三角棱镜，折射角 α=60∘。
主截面垂直于折射棱，包含入射光线。
当光线在主截面内入射时，折射发生在该平面内，便于分析光束路径。
在光谱仪中，折射棱镜的作用是什么？
解释其如何利用主截面和折射角实现功能。
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光谱仪使用折射棱镜分离不同波长的光。
主截面垂直于折射棱，确保光线在平面内传播，便于控制。
折射角 α 固定，光束通过两折射面时发生色散。
短波长光偏折大，长波长光偏折小，输出端形成连续光谱。
折射棱镜的偏向角
折射棱镜偏向角：
光线通过折射棱镜时，入射光线与出射光线之间的夹角称为偏向角δ。其计算公式为：
产生的偏向角δ与α、n和I1有关。
其中：α为棱镜的折射角，n为玻璃材料的折射率，I1为第一折射面的入射角，I1′为第一折射面的折射角，I2为第二折射面的入射角，I2′为第二折射面的折射角。
偏向角δ随入射角I1变化，当光路对称时（即I1=−I2′且I1′=−I2），偏向角取得最小值δm
最小偏向角：
其中I为产生最小偏向角的入射角
最小偏向角常用于测量玻璃折射率。
推导基于折射定律和三角学：
在△BCD中，α=I1′−I2；在△BFD中，δ=I1−I2′−α，结合折射定律sinI1=nsinI1′和sinI2′=nsinI2，通过微分证明dI1dδ=0时δ取极小值。
已知棱镜折射角α=60∘，折射率n=1.5，入射角I1=30∘。求偏向角δ。
先求I1′：
由折射定律sinI1=nsinI1′，代入得sin30∘=1.5sinI1′，解得I1′≈19.47∘。
在△BCD中，α=I1′−I2，假设I2=I1′−α≈19.47∘−60∘=−40.53∘。
由折射定律sinI2′=nsinI2，代入得sinI2′=1.5sin(−40.53∘)≈−0.978，解得I2′≈−78.46∘。
代入偏向角公式：
计算得sin260∘+δ≈0.433，解得260∘+δ≈25.66∘，故δ≈−8.68∘。
偏向角为负表示逆时针偏转。
已知棱镜折射角α=45∘，折射率n=1.6。求最小偏向角δm。
由最小偏向角公式：
计算sin245∘=sin22.5∘≈0.3827，代入得sin245∘+δm≈1.6×0.3827=0.6123，解得245∘+δm≈37.76∘，故δm≈30.52∘。
此值可用于实验测量折射率：若测得δm=30.52∘和α=45∘，则n=sin245∘sin245∘+30.52∘≈1.6。
实验测得棱镜最小偏向角δm=50∘，折射角α=60∘。求玻璃折射率n。
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由最小偏向角公式sin2α+δm=nsin2α。
代入α=60∘，δm=50∘：
2α+δm=260∘+50∘=55∘，2α=30∘。
计算sin55∘≈0.8192，sin30∘=0.5。
解得n=sin30∘sin55∘≈0.50.8192=1.6384。
故折射率n≈1.64。
棱镜参数：α=50∘，n=1.7。当入射角I1从0∘增至40∘时，偏向角δ如何变化？计算I1=0∘和I1=40∘时的δ值。
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由偏向角公式sin2α+δ=nsin2αcos21(I1+I2′)cos21(I1′+I2)。
固定α=50∘，n=1.7。
当I1=0∘时：
sinI1=0，故I1′=0∘（折射定律）。
在△BCD中，α=I1′−I2，即50∘=0∘−I2，解得I2=−50∘。
由sinI2′=nsinI2=1.7sin(−50∘)≈−1.302，但sin值域为[−1,1]，故I2′无实数解，表示全反射，δ未定义。
当I1=40∘时：
sin40∘=1.7sinI1′，解得I1′≈22.48∘。
α=I1′−I2，即50∘=22.48∘−I2，解得I2≈−27.52∘。
sinI2′=1.7sin(−27.52∘)≈−0.786，解得I2′≈−51.87∘。
代入公式：
解得250∘+δ≈25.66∘，故δ≈1.32∘。
δ随I1增大从无效值变为正值。
证明当I1=−I2′且I1′=−I2时，偏向角δ取得最小值。
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由偏向角公式δ=I1−I2′−α。
对I1微分：dI1dδ=1−dI1dI2′。
由折射定律sinI1=nsinI1′和sinI2′=nsinI2，微分得：
cosI1dI1=ncosI1′dI1′。
cosI2′dI2′=ncosI2dI2。
在△BCD中，α=I1′−I2，微分得dI1′=dI2。
代入并相除：dI1dI2′=cosI1′cosI2′cosI1cosI2。
令dI1dδ=0，则1=dI1dI2′，即cosI1′cosI1=cosI2cosI2′。
由折射定律sinI1′sinI1=sinI2sinI2′=n。
联立两式，唯一解为I1=−I2′且I1′=−I2。
二阶导数dI12d2δ>0，故δ取极小值。
白光通过折射棱镜（α=60∘，n红=1.5，n蓝=1.52）时，计算红光和蓝光的最小偏向角差。
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由最小偏向角公式sin2α+δm=nsin2α。
α=60∘，2α=30∘，sin30∘=0.5。
对红光（n红=1.5）：
sin260∘+δm,红=1.5×0.5=0.75。
解得260∘+δm,红=arcsin(0.75)≈48.59∘。
故δm,红≈37.18∘。
对蓝光（n蓝=1.52）：
sin260∘+δm,蓝=1.52×0.5=0.76。
解得260∘+δm,蓝=arcsin(0.76)≈49.46∘。
故δm,蓝≈38.92∘。
偏向角差Δδm=δm,蓝−δm,红≈38.92∘−37.18∘=1.74∘。
此即色散角，导致白光分解。
光楔及其应用
光楔：折射角 α 很小的折射棱镜，通常 α<5∘。入射到光楔上的光线都会向着光楔底的方向偏折。当光线入射时，光楔近似为平行平板，其偏向角 δ 在特定条件下简化。
当 α 很小且 I1 有限时：
当 I1 很小（如 I1<10∘）时，cosI1≈1 且 cosI1′≈1，简化得：
其中：δ 为偏向角（弧度），α 为光楔折射角（弧度），n 为材料折射率，I1 为入射角，I1′ 为折射角（I1′=sin−1(nsinI1)）。
光楔常用于光学仪器中对光线微小偏转。
当光线垂直或近似垂直入射（I1≈0）时，δ 仅取决于 α 和 n。
适用条件：α 小且 I1 小，否则需用一般公式。
给定 α=0.1 rad，n=1.5，光线垂直入射（I1=0）。
解：I1′=sin−1(1.5sin0)=0，cos0=1，cos0=1。
用简化公式：δ=(1.5−1)×0.1=0.05 rad。
给定 I1=5∘，α=0.2 rad，n=1.6。
解：I1′=sin−1(1.6sin5∘)≈sin−1(0.0545)≈3.12∘。
cosI1=cos5∘≈0.9962，cosI1′=cos3.12∘≈0.9982。
δ=(1.6×0.99620.9982−1)×0.2≈(1.6×1.002−1)×0.2≈0.1206 rad。
给定 α=0.15 rad，n=1.52，光线垂直入射，求 δ。
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用简化公式 δ=(n−1)α。
δ=(1.52−1)×0.15=0.52×0.15=0.078 rad。
答案为 0.078 rad。
给定 I1=8∘，α=0.12 rad，n=1.55，求 δ。
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先求 I1′=sin−1(1.55sin8∘)≈sin−1(0.0892)≈5.11∘。
cosI1=cos8∘≈0.9903。
cosI1′=cos5.11∘≈0.9961。
δ=(1.55×0.99030.9961−1)×0.12≈(1.55×1.0059−1)×0.12≈0.117 rad。
答案为 0.117 rad。
给定 δ=0.04 rad，n=1.6，光线垂直入射，求 α。
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用简化公式 δ=(n−1)α。
0.04=(1.6−1)×α=0.6α。
α=0.60.04≈0.0667 rad。
答案为 0.0667 rad。
解释为何当 α 很小时，光楔可近似为平行平板，并说明对偏向角的影响。
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当 α 很小（如 <5∘），棱镜两折射面近似平行。
光线经第一面折射后，入射第二面时角度 I2≈I1′。
在平行平板中，I1′=I2 且 I1=I2′，偏向角 δ=0。
但光楔有微小楔角，导致 δ=(n−1)α=0。
近似后简化计算，忽略高阶项。
双光楔系统
双光楔系统旋转测微
双光楔系统由两个折射角均为 α 的光楔组成，相隔微小间隙。
当两光楔主截面平行且同向放置时，总偏向角最大；
当一个光楔绕光轴旋转 180∘ 时，总偏向角为零；
当两光楔相对旋转 φ 角（一个逆时针旋转 φ，另一个顺时针旋转 φ）时，总偏向角 δ 随 2φ 变化：
其中：
δ 为总偏向角（单位：弧度），
n 为光楔材料的折射率，
α 为单个光楔的折射角（单位：弧度），
φ 为相对旋转角（单位：弧度），φ∈[0,2π]。
该公式将微小偏向角 δ 转换为较大的旋转角 φ，便于微小角度测量。
分析当两光楔相对旋转 φ=3π 弧度时，总偏向角 δ。给定 α=0.05 弧度，n=1.6。
使用公式 δ=2(n−1)αcosφ：
结果表示总偏向角为 0.03 弧度。
计算双光楔系统在最大偏向角配置下的 δmax。给定 α=0.02 弧度，n=1.7。
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最大偏向角发生在两光楔主截面平行同向时，即 φ=0。
使用公式 δ=2(n−1)αcosφ：
答案：δmax=0.028 弧度。
验证当一个光楔旋转 180∘ 时，总偏向角 δ=0。给定 α=0.03 弧度，n=1.5。
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公式中 φ 定义相对旋转，旋转 180∘ 时，一个光楔不动φ1=0∘，另一光楔旋转φ2=180∘，相对旋转φ=2φ1+φ2=90∘
使用公式 δ=2(n−1)αcosφ：
答案：总偏向角 δ=0 弧度。
给定总偏向角 δ=0.04 弧度，α=0.025 弧度，n=1.8，求相对旋转角 φ。
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使用公式 δ=2(n−1)αcosφ：
代入值：
简化：
答案：φ=0 弧度。
推导双光楔系统总偏向角公式 δ=2(n−1)αcosφ，并解释其物理意义。
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设单个光楔偏向角为 δ1=(n−1)α。
当两光楔相对旋转 φ 时，第一个光楔偏向方向与光轴夹角为 θ1，第二个为 θ2。
相对旋转 φ 表示 θ2−θ1=2φ（因一个逆时针转 φ，另一个顺时针转 φ）。
总偏向角 δ 为矢量合成：
由于 δ1=δ2=(n−1)α，且 θ2=θ1+2φ。
取 θ1=0（参考方向），则：
使用三角恒等式 cos(2φ)=2cos2φ−1：
但此式错误，正确应为：
实际偏向是投影合成：δ=δ1cosϕ1+δ2cosϕ2，其中 ϕ1 和 ϕ2 为偏向方向角。
当相对旋转 φ 时，ϕ2−ϕ1=2φ。
设 ϕ1=0，则 ϕ2=2φ，总偏向角在参考方向分量：
cos(2φ)=2cos2φ−1，代入：
但标准公式为 δ=2(n−1)αcosφ，需修正。
正确推导：总偏向角是两偏向矢量的点积或投影。
设偏向矢量大小为 δsingle=(n−1)α，方向夹角差 2φ。
总偏向角 δ 为合矢量大小：
cos(2φ)=2cos2φ−1，代入：
对于 φ∈[0,π/2]，cosφ>0，故 δ=2(n−1)αcosφ。
物理意义：cosφ 表示偏向方向的投影因子，相对旋转 φ 放大微小偏向角 δ。
答案：公式推导为 δ=2(n−1)αcosφ，用于将微小 δ 转换为大 φ。
双光楔系统移动测微
双光楔系统由两个顶角为 α 的光楔组成，当它们沿轴向相对移动 Δz 时，出射光线相对于入射光线在垂轴方向产生平移位移 Δy
该位移公式为：
其中：
Δy：垂轴方向位移（单位：mm），正方向为光轴以上。
Δz：光楔相对移动量（单位：mm），顺光线方向为正。
n：光楔材料的折射率（无量纲）。
α：光楔顶角（单位：rad），角度顺时针为正。
系统将微小垂轴位移 Δy 转换为可测量的沿轴位移 Δz，实现高精度测微应用。
推导基于光线偏折原理：
单个光楔偏角 δ=(n−1)α，双光楔相对移动时，累积偏角导致垂轴位移 Δy=Δz⋅δ。
给定光楔材料折射率 n=1.5，顶角 α=0.01 rad，相对移动量 Δz=5 mm。
计算垂轴位移 Δy。
使用公式：
代入值：
结果表示垂轴位移为 0.025 mm。
已知垂轴位移 Δy=0.1 mm，折射率 n=1.6，顶角 α=0.02 rad。
求解所需相对移动量 Δz。
从公式 Δy=(n−1)αΔz 解出：
代入值：
结果表示相对移动量约为 8.333 mm。
光楔系统参数：n=1.52，α=0.015 rad，Δz=8 mm。
计算 Δy。
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使用公式：
代入值：
计算：
结果：Δy=0.0624 mm。
当 Δz=10 mm，α=0.01 rad，Δy=0.05 mm 时。
求光楔材料的折射率 n。
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从公式 Δy=(n−1)αΔz 解出 n：
代入值：
结果：n=1.5。
系统要求 Δy=0.08 mm 对应 Δz=12 mm，材料折射率 n=1.55。
求光楔顶角 α（单位 rad）。
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从公式 Δy=(n−1)αΔz 解出 α：
代入值：
结果：α≈0.01212 rad。
测量中，Δz 有误差 ±0.5 mm（即 Δz=15±0.5 mm），n=1.58，α=0.018 rad。
计算 Δy 的最大可能误差范围。
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公式 Δy=(n−1)αΔz，计算 Δy 名义值：
Δz 误差导致 Δy 误差：
最大 Δy 当 Δz=15.5 mm：
最小 Δy 当 Δz=14.5 mm：
误差范围：Δy=0.1566−0.00522+0.00522 mm，或 0.15138 mm≤Δy≤0.16182 mm。