2.5理想光学系统的组合
理想光学系统的组合
两个光组组合分析
光学间隔 Δ 定义为第一个光学系统的像方焦点 F1′ 到第二个光学系统的物方焦点 F2 的距离。
Δ=d−f1′+f2像方焦点 F′和物方焦点 F
xF′=−Δf2f2′xF=Δf1f1′像方焦距和物方焦距
f′=−Δf1′f2′f=Δf1f2光焦度 φ ：
φ=f′1组合光焦度：
φ=φ1+φ2−dφ1φ2密接（d=0）组合光焦度：
φ=φ1+φ2组合系统的焦点位置：
lF=−f′(1+f2d)lF′=f′(1−f1′d)组合系统的主点位置：
lH=ff2d=−f′f2dlH′=−f′f1′d
其中：
xF – 从第一个系统的物方焦点 F1 到组合系统物方焦点 F 的距离（顺光线方向为正），
xF′从第二个系统的像方焦点 F2′ 到组合系统像方焦点 F′ 的距离（顺光线方向为正）
f′组合像方焦距
f1 第一个光组的物方焦距
f1′第一个系统的像方焦距。
f2第二个系统的物方焦距，
f2′第二个系统的像方焦距，
d主平面间距离
lH从第一系统主点 H1 到物方主点 H 的距离（顺光线方向为正）
lH′从第二系统主点 H2 到像方主点 H′ 的距离
lF – 从第一系统主点 H1 到物方焦点 F 的距离（顺光线方向为正）
lF′ – 从第二系统主点 H2 到像方焦点 F′ 的距离
φ – 组合光焦度
φ1 – 第一个系统的光焦度
φ2 – 第二个系统的光焦度
Δ – 光学间隔，
已知两个透镜系统，第一个系统像方焦点 F1′ 位于坐标 x=5 cm 处，第二个系统物方焦点 F2 位于 x=12 cm 处（光轴自左向右）。求光学间隔 Δ。
解：以 F1′ 为原点，F2 坐标为 12−5=7 cm，方向向右，故 Δ=7 cm。
第一个透镜光焦度 φ1=0.02 D（屈光度），第二个透镜 φ2=0.03 D，主平面间距离 d=10 cm。求组合光焦度 φ。
解：代入公式 φ=φ1+φ2−dφ1φ2=0.02+0.03−(0.1)×(0.02)×(0.03)=0.05−0.00006=0.04994 D。
已知两个薄凸透镜组成的光学系统。透镜1的焦距f1′=100mm, f1=−100mm。透镜2的焦距f2′=50mm, f2=−50mm。两透镜间距d=80mm。
求组合系统的光学间隔Δ和像方焦距f′。
解：
光学间隔公式：Δ=d−f1′+f2
代入数值：Δ=80−100+(−50)=−70mm
组合像方焦距公式：f′=−Δf1′f2′
代入数值：f′=−−70100×50=705000≈71.43mm
两个薄透镜密接(d=0)，透镜1光焦度φ1=5D, 透镜2光焦度φ2=−2D。求组合系统总光焦度φ和等效焦距f′。
解：
密接组合公式：φ=φ1+φ2
代入数值：φ=5+(−2)=3D
焦距与光焦度关系：f′=φ1
计算结果：f′=31≈0.333m
已知空气中两薄透镜系统：f1′=200mm, f2′=150mm, d=100mm。求组合系统像方焦点F′的位置xF′（从F2′起算）。
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使用牛顿公式：xF′=−Δf2f2′
先计算光学间隔：Δ=d−f1′+f2
在空气中f2=−f2′=−150mm
Δ=100−200+(−150)=−250mm
代入公式：xF′=−−250(−150)×150=−−250−22500=−90mm
负号表示F′在F2′左侧90mm处
两薄透镜系统参数：f1′=120mm, f2′=80mm, d=60mm。求组合系统像方主点H′的位置lH′（从H2起算）。
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公式：lH′=−f′f1′d
先求组合焦距f′：
Δ=d−f1′+f2=60−120+(−80)=−140mm
f′=−Δf1′f2′=−−140120×80=1409600≈68.57mm
代入：lH′=−68.57×12060=−68.57×0.5=−34.29mm
负号表示H′在H2左侧34.29mm处
两光组参数：f1=−180mm, f1′=180mm, f2=−90mm, f2′=90mm, d=120mm。求组合系统物方焦点F的位置xF（从F1起算）。
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牛顿公式：xF=Δf1f1′
计算光学间隔：Δ=d−f1′+f2=120−180+(−90)=−150mm
代入：xF=−150(−180)×180=−150−32400=216mm
正值表示F在F1右侧216mm处
两薄透镜光焦度φ1=4D, φ2=6D, 间距d=0.1m。求组合光焦度φ并验证组合焦距。
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通用公式：φ=φ1+φ2−dφ1φ2
代入：φ=4+6−0.1×4×6=10−2.4=7.6D
组合焦距：f′=φ1=7.61≈0.1316m
验证：
透镜1焦距f1′=41=0.25m
透镜2焦距f2′=61≈0.1667m
Δ=d−f1′+f2=0.1−0.25+(−0.1667)=−0.3167m
f′=−Δf1′f2′=−−0.31670.25×0.1667≈0.31670.0417≈0.1316m
结果一致
两个系统焦距 f2=−10 cm，f2′=15 cm，光学间隔 Δ=5 cm。
计算 xF′（从 F2′ 到 F′ 的距离）。
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使用公式 xF′=−Δf2f2′。
代入值：xF′=−5(−10)×15=−5−150=−(−30)=30 cm。
答案：xF′=30 cm（正号表示 F′ 在 F2′ 右侧）。
第一个系统焦距 f1=20 cm，f1′=25 cm，光学间隔 Δ=−8 cm（负号表示 F2 在 F1′ 左侧）。
计算 xF（从 F1 到 F 的距离）。
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使用公式 xF=Δf1f1′。
代入值：xF=−820×25=−8500=−62.5 cm。
答案：xF=−62.5 cm（负号表示 F 在 F1 左侧）。
两个薄透镜光焦度 φ1=0.04 D，φ2=0.06 D，主平面间距离 d=0.05 m。
求组合像方焦距 f′。
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先求组合光焦度 φ=φ1+φ2−dφ1φ2=0.04+0.06−(0.05)×(0.04)×(0.06)=0.10−0.00012=0.09988 D。
则 f′=φ1=0.099881≈10.012 m。
答案：f′≈10.012 m。
两个密接薄透镜，光焦度 φ1=5 D，φ2=−3 D。
求组合光焦度 φ 和像方焦距 f′。
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密接时 d=0，故 φ=φ1+φ2=5+(−3)=2 D。
则 f′=φ1=21=0.5 m。
答案：φ=2 D，f′=0.5 m。
组合系统 f′=20 cm，d=5 cm，f2=−15 cm（空气中 f2′=−f2=15 cm），f1′=25 cm。
求 lF 和 lF′。
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使用公式 lF=−f′(1+f2d) 和 lF′=f′(1−f1′d)。
先计算 lF=−20(1+−155)=−20(1−31)=−20×32≈−13.333 cm。
再计算 lF′=20(1−255)=20(1−0.2)=20×0.8=16 cm。
答案：lF≈−13.333 cm（负号表示 F 在 H1 左侧），lF′=16 cm（正号表示 F′ 在 H2 右侧）。
同上系统：f′=20 cm，d=5 cm，f2=−15 cm，f1′=25 cm。
求 lH 和 lH′。
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使用公式 lH=−f′f2d 和 lH′=−f′f1′d。
计算 lH=−20×−155=−20×(−31)≈6.667 cm。
计算 lH′=−20×255=−20×0.2=−4 cm。
答案：lH≈6.667 cm（正号表示 H 在 H1 右侧），lH′=−4 cm（负号表示 H′ 在 H2 左侧）。
多光组组合计算
为求出组合系统的焦距，可追迹一条平行于光轴的光线，其初始投射高度为h1。
计算该光线在最后一个光组出射时的孔径角Uk′，则焦距f′由下式给出：
其中：k表示光组总数，h1是光线在第一个光组主面上的投射高度，Uk′是出射光线与光轴的夹角（孔径角）。
基于光线追迹原理
对任意单个光组，高斯公式为l′1−l1=f′1。
两边乘以投射高度h得：l′h−lh=f′h
由几何关系，l′h=tanU′和lh=tanU，
代入后：
利用过渡公式li=li−1′−di−1和tanUi−1′=tanUi
相邻光组投射高度关系：
其中：i为光组序号（i≥2），di−1是第i−1与第i光组间的距离，Ui−1′是第i−1光组的出射孔径角。
光线传播方向自左至右为正，角度顺时针为正，光轴以上高度为正。
考虑一个两光组系统（k=2），参数：f1′=100mm，f2′=50mm，d1=30mm。入射光线平行于光轴，h1=10mm。
第一步：计算第一光组出射孔径角U1′。
由tanU1′=tanU1+f1′h1，入射光线平行故U1=0，代入：tanU1′=0+10010=0.1⇒U1′≈5.71∘
第二步：计算第二光组投射高度h2。
由h2=h1−d1tanU1′，代入：h2=10−30×0.1=7mm
第三步：计算第二光组出射孔径角U2′。
入射到第二光组时U2=U1′≈5.71∘，故tanU2≈0.1。
由tanU2′=tanU2+f2′h2，代入：tanU2′=0.1+507=0.1+0.14=0.24⇒U2′≈13.5∘
第四步：计算系统焦距f′。
由f′=tanU2′h1，代入：f′=0.2410≈41.67mm
设一个凸透镜f′=200mm，物距l=−400mm（负号表示物在左），投射高度h=20mm。计算出射孔径角U′。
由高斯公式求像距l′：l′1−l1=f′1⇒l′1−−4001=2001解得l′=400mm。
入射孔径角tanU=lh=−40020=−0.05（负号表示逆时针）。
由tanU′=tanU+f′h，代入：tanU′=−0.05+20020=−0.05+0.1=0.05⇒U′≈2.86∘结果为正，表示出射光线顺时针倾斜。
已知一个三光组系统，追迹平行入射光线得h1=15mm，U3′=10∘。计算系统焦距f′。
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由f′=tanUk′h1，k=3。
代入h1=15，U3′=10∘故tan10∘≈0.1763。
f′=0.176315≈85.08mm
系统有两个光组，d1=40mm，h1=12mm，U1′=8∘。计算h2。
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由hi=hi−1−di−1tanUi−1′，i=2。
代入h1=12，d1=40，U1′=8∘故tan8∘≈0.1405。
h2=12−40×0.1405=12−5.62=6.38mm
一个光组f′=150mm，物距l=−300mm，投射高度h=25mm。求tanU′。
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先求像距l′。
由高斯公式l′1−l1=f′1，代入l=−300，f′=150：
l′1−−3001=1501⇒l′1+3001=1501
解得l′1=1501−3001=3002−3001=3001，故l′=300mm。
入射孔径角tanU=lh=−30025≈−0.0833。
由tanU′=tanU+f′h，代入：
tanU′=−0.0833+15025=−0.0833+0.1667=0.0834
系统有两个光组：f1′=120mm，f2′=80mm，d1=50mm。平行光线入射，h1=18mm。计算U1′、h2、U2′和f′。
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第一步：计算U1′。
入射平行故U1=0，由tanU1′=tanU1+f1′h1=0+12018=0.15，故U1′≈8.53∘。
第二步：计算h2。
由h2=h1−d1tanU1′=18−50×0.15=18−7.5=10.5mm。
第三步：计算U2′。
U2=U1′≈8.53∘，故tanU2≈0.15。
由tanU2′=tanU2+f2′h2=0.15+8010.5=0.15+0.13125=0.28125，故U2′≈15.64∘。
第四步：计算f′。
由f′=tanU2′h1=0.2812518≈64mm。
远摄型光组
远摄型光组由两个光组组成：一个正光组在前，一个负光组在后。
组合焦距 f′ 大于机械筒长 L，即 f′>L。
这种设计用于长焦镜头，以减小机械尺寸。
机械筒长定义为系统第一面到像平面的距离，计算公式为 L=d+lF′。
工作距 lF′ 是系统最后一面到像平面的距离。
组合焦距公式为：f′1=f1′1+f2′1−f1′f2′d
其中：
f′：组合系统的像方焦距（正值表示凸透镜主导）。
f1′：前光组（正光组）的像方焦距（正值）。
f2′：后光组（负光组）的像方焦距（负值）。
d：两光组之间的距离（正值）。
L：机械筒长（系统第一面到像平面的距离）。
lF′：工作距（系统最后一面到像平面的距离）。
推导基于正切计算公式：
光线高度 h1 在第一光组入射，出射角 u2′ 满足 f′=tanu2′h1。
结合 tanu2′=lF′h2 和 h2=h1−dtanu1′（u1′ 为第一光组出射角）。
工作距公式为 lF′=f′(1−f1′d)。
当 f′>L 时，系统为远摄型光组。
给定前光组 f1′=100,mm（正透镜），后光组f2′=−80,mm（负透镜），间距 d=40,mm。
求组合焦距 f′ 和机械筒长 L。
f′1=1001+−801−100×(−80)40=0.01−0.0125+0.005=0.0025，
f′=0.00251=400,mm。
工作距 lF′=400(1−10040)=400×0.6=240,mm。
机械筒长 L=d+lF′=40+240=280,mm。
验证 f′=400>L=280，满足远摄型条件。
已知组合焦距 f′=300,mm，前光组 f1′=120,mm，间距 d=50,mm。
求工作距 lF′ 和后光组焦距 f2′。
使用工作距公式：
lF′=f′(1−f1′d)=300(1−12050)=300×12070=175,mm
从组合焦距公式反推 f2′：
3001=1201+f2′1−120f2′50
令 x=f2′，则：
3001=1201+x1−120x50
化简：
3001−1201=x1(1−12050)
−2001=x1×12070
−2001=12x7
解得 x=−127×200=−116.67,mm（负值，符合负光组要求）。
给定前光组 f1′=80,mm，后光组 f2′=−60,mm，间距 d=30,mm。
计算组合焦距 f′ 和机械筒长 L，并判断是否为远摄型光组。
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首先计算组合焦距：
f′1=801+−601−80×(−60)30=4801
f′=480,mm。
工作距 lF′=f′(1−f1′d)=300mm。
机械筒长 L=d+lF′=330。
比较 f′=480mm>L=300mm，成立。
因此系统是远摄型光组。
已知前光组 f1′=150,mm，后光组 f2′=−100,mm，间距 d=60,mm。
计算组合焦距 f′ 和工作距 lF′。
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使用组合焦距公式：
f′1=1501+−1001−150×(−100)60=0.006667−0.01+0.004=0.000667
f′=0.0006671≈1500,mm。
工作距 lF′=f′(1−f1′d)=1500(1−15060)=1500×0.6=900,mm。
光线以高度 h1=10,mm 入射第一光组，出射角 u2′=0.02,rad。
工作距 lF′=200,mm，间距 d=50,mm。
求组合焦距 f′ 和前光组焦距 f1′。
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从正切计算公式：
f′=tanu2′h1=0.0210=500,mm。
由 tanu2′=lF′h2，得 h2=tanu2′×lF′=0.02×200=4,mm。
假设近轴光学， h2=h1−dtanu1′（u1′ 为第一光组出射角）。
但 u1′ 未知，从 f1′=tanu1′h1 和 tanu1′=dh1−h2=5010−4=0.12,rad。
因此 f1′=0.1210≈83.33,mm。
反远距型光组
反远距型光组是一种光学系统结构，其工作距 lF′ 大于焦距 f′，即 lF′>f′。
这种系统由负光组在前和正光组在后组成，负光组的焦距 f1′<0，正光组的焦距 f2′>0，两光组之间的距离为 d。
组合系统的焦距 f′ 可通过透镜组合公式计算：
f′1=f1′1+f2′1−f1′f2′d
工作距 lF′ 定义为像方焦点到系统最后表面的距离，对于薄透镜组合，可表示为：
lF′=f′(1−f1′d)
由于 f1′<0，项 −f1′d>0，因此 1−f1′d>1，导致 lF′>f′。
这种结构适用于短焦距系统，提供大工作距空间，便于安放其他光学元件。
其中：
f′：组合系统的焦距
f1′：前光组（负光组）的焦距
f2′：后光组（正光组）的焦距
d：两光组之间的距离
lF′：工作距，像方焦点到系统最后表面的距离
显微物镜常采用反远距型设计，以实现短焦距（如 f′=5mm）和大工作距（如 lF′=10mm）。
例如，设前光组 f1′=−20mm，后光组 f2′=15mm，距离 d=10mm。
计算组合焦距：f′1=−201+151−(−20)×1510=−0.05+0.0667−−30010=0.0167+0.0333=0.05
因此 f′=20mm。
工作距：lF′=20(1−−2010)=20×(1+0.5)=30mm
满足 lF′>f′，允许在物镜后放置滤光片或传感器。
广角镜头使用反远距型结构，提供短焦距（如 f′=10mm）和大视场。
例如，设 f1′=−30mm， f2′=25mm， d=15mm。
组合焦距：f′1=−301+251−(−30)×2515=−0.0333+0.04−−75015=0.0067+0.02=0.0267
因此 f′≈37.45mm。
工作距：lF′=37.45(1−−3015)=37.45×(1+0.5)≈56.18mm
确保 lF′>f′，便于集成在相机系统中。
给定反远距型光组：前光组焦距 f1′=−40mm，后光组焦距 f2′=30mm，距离 d=20mm。
计算组合系统的焦距 f′。
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使用透镜组合公式：
f′1=f1′1+f2′1−f1′f2′d
代入值：
f′1=−401+301−(−40)×3020
计算各项：
−401=−0.025
301≈0.0333
−120020=−601≈−0.0167
因此：
f′1=−0.025+0.0333−(−0.0167)=−0.025+0.0333+0.0167=0.025
所以 f′=0.0251=40mm。
推导反远距型光组中 lF′>f′ 的数学条件，假设 f1′<0 且 d>0。
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从工作距公式出发：
lF′=f′(1−f1′d)
由于 f1′<0，令 f1′=−∣f1′∣（其中 ∣f1′∣>0）。
代入：
lF′=f′(1−−∣f1′∣d)=f′(1+∣f1′∣d)
项 ∣f1′∣d>0，因此 1+∣f1′∣d>1。
从而：
lF′=f′×(值大于1)>f′
故 lF′>f′ 恒成立，当 f1′<0 且 d>0 时。