反射棱镜

将一个或多个反射面磨制在同一块玻璃上的光学元件

作用：折转光路、转像、倒像等

棱镜的光轴：
光学系统的光轴在棱镜中的部分称为，一般为折线，如图中的 AO1​、O1​O2​和O2​B。每经过一次反射，光轴就折转一次。

反射棱镜的工作面：
为两个折射面和若干个反射面，光线从一个折射面入射，从另一个折射面出射。因此，两个折射面分别称为入射面(PA)和出射面(QR)。
大部分反射棱镜的入射面和出射面都与光轴垂直。

棱镜的棱：
工作面之间的交线，如Q,

主截面：
垂直于棱的平面。在光路中，所取主截面与光学系统的光轴重合，因此，又称为光轴截面。

反射棱镜的类型

简单棱镜

只有一个主截面，且所有工作面都与主截面垂直。

根据反射面数目不同，又分为一次反射棱镜、二次反射棱镜和三次反射棱镜。

一次反射棱镜

一次反射棱镜具有一个反射面，光线在棱镜内发生一次反射。

成像时，物体成镜像，坐标系中，垂直于主截面的坐标方向不变，位于主截面内的坐标方向改变。

直角棱镜

等腰直角棱镜的主截面为等腰直角三角形，光线从一直角面垂直入射，经斜边全反射后从另一直角面垂直出射，使光轴方向折转90∘。

光路转折公式为：

其中：

• Δθ：光轴转折角度

• 入射面与出射面均为直角边所在平面

• 反射面为斜边所在平面

• 光线传播遵循反射定律i=i′（i为入射角，i′为反射角）

已知等腰直角棱镜直角边长a=5cm，光线沿法线方向入射。计算：

1. 光程长度L

2. 转折后像坐标偏移量

解：

光程L=√2a=√2×5≈7.07cm

设入射点坐标(0,0)，出射点坐标(a,a)，偏移量Δx=a=5cm

等腰棱镜

等腰棱镜的主截面为等腰三角形，其光轴转折特性如下：

1. 入射光轴垂直于入射面，出射光轴垂直于出射面

2. 光轴转折角 θ 与棱镜顶角 α 的关系为：

3. 反射面法线位于入射光轴与出射光轴夹角的平分线上

4. 全反射条件：反射面入射角 i 满足 i>ic​（ic​ 为临界角）

其中：

• α：棱镜顶角（等腰三角形顶点角度）

• θ：出射光轴相对入射光轴的偏转角

• i：光线在反射面的入射角

• ic​=arcsin(1/n)：临界角，n 为棱镜材料折射率

等腰直角棱镜（α=90∘）：

• 光轴转折角 θ=180∘−90∘=90∘

• 反射面入射角 i=45∘

• 若材料 n=1.5，临界角 ic​≈41.8∘，满足 45∘>41.8∘，发生全反射

顶角 α=60∘ 的等腰棱镜：

• 光轴转折角 θ=180∘−60∘=120∘

• 反射面入射角 i=(180∘−α)/2=60∘

• 材料 n=1.6 时，ic​≈38.7∘，满足 60∘>38.7∘，发生全反射

等腰棱镜顶角 α=70∘，材料为 BK7 玻璃（n=1.5168）。
(1) 计算光轴转折角 θ
(2) 验证是否满足全反射条件

设计等腰棱镜实现光轴转折 100∘，材料折射率 n=1.7。
(1) 求顶角 α
(2) 计算最小折射率要求

等腰棱镜顶角 α=80∘，材料 n=1.6。
求光线在入射面的最大允许入射角，确保反射面发生全反射。

需实现光轴转折 130∘，材料为熔石英（n=1.458）。
(1) 计算顶角 α
(2) 验证全反射可行性
(3) 若不可行，提出改进方案

道威棱镜

道威棱镜是一种由直角棱镜修改而成的光学元件，其入射面和出射面均不与光轴垂直。

因此，它只能应用于平行光路中，以避免像差。

出射光轴方向与入射光轴方向相同，保持光线传播方向不变。

当棱镜绕光轴旋转角度α时，反射像同方向旋转2α角。

在坐标系变换中，右手坐标系xyz经道威棱镜后，x坐标反转（例如从向上变为向下），y坐标不变，形成左手坐标系x′y′z′。

重要公式：

其中：α 是棱镜旋转角度（顺时针为正），θimage​ 是像旋转角度，光轴方向以顺光线传播方向为正。

初始右手坐标系xyz：x轴向上，y轴垂直纸面向外，z轴沿光轴方向。

经道威棱镜后，x轴变为向下，y轴方向不变，z轴不变，形成左手坐标系x′y′z′。

例如，点P(1,0,0)变为P′(−1,0,0)。

当道威棱镜绕光轴旋转90∘时，初始像位置旋转180∘。

例如，初始像点Q(0,1,0)，旋转后变为Q′(0,−1,0)，相对位置反转。

如果道威棱镜绕光轴旋转30∘，反射像旋转多少度？

初始右手坐标系中点A(2,3,0)经道威棱镜后，坐标变为多少？

为什么道威棱镜只能用于平行光路？解释其物理原理。

图3 - 11所示的周视瞄准仪就应用了直角棱镜和道威棱镜的旋转特性。目镜前的直角棱镜为直角屋脊棱镜。

当直角棱镜在水平面内以角速度ω旋转时，道威棱镜绕其光轴以ω/2的角速度同向转动，可使在目镜中观察到的像的坐标方向不变

这样，直角棱镜旋转扫描时，观察者可以不必改变位置，就能周视全景。

在周视瞄准仪中，道威棱镜旋转45∘以跟踪目标。
计算目标像的相对旋转角度，并说明坐标系变化。

二次反射棱镜

二次反射棱镜具有两个反射面。入射光轴垂直于入射面。由于是偶次反射，像与物一致，不存在镜像反转。

经两个反射面依次反射后，反射光轴相对于入射光轴的偏转角θ等于两个反射面间夹角α的2倍。即

其中：θ为偏转角，α为夹角。

常见二次反射棱镜类型包括：

• 半五角棱镜：α=22.5°，θ=45°

• 30°直角棱镜：α=30°，θ=60°

  半五角棱镜和30∘直角棱镜多用于显微镜观察系统，使垂直向上的光轴折转为便于观察的方向。

• 五角棱镜：α=45°，θ=90°

  • 五角棱镜取代一次反射的直角棱镜或平面镜，使光轴折转90∘，而不产生镜像，且装调方便。

  • 用五角棱镜将铅垂激光束折转成水平方向，当五角棱镜绕竖轴旋转时，形成一水平扫描的激光平面，确定一水平基准。
    以这一原理为基础的激光扫平仪广泛运用于建筑工程施工、装饰装璜及土地平整。

• 二次反射直角棱镜：α=90°，θ=180°

  • 二次反射直角棱镜多用于转像系统中，或构成复合棱镜。

• 斜方棱镜：α=180°，θ=360°

  • 斜方棱镜可以使光轴平移，多用于双目观察的仪器（如双筒望远镜）中，以调节两目镜的中心距离，满足不同眼基距（双眼中心距离）人眼的观察需要。

五角棱镜的两反射面夹角α=45°。
根据公式θ=2α，偏转角θ=90°。
入射光轴经反射后折转90°。
像与物一致。应用于激光扫平仪，提供水平基准。

斜方棱镜的两反射面夹角α=180°。
偏转角θ=360°，光轴平移而不改变方向。
用于双目仪器调节眼基距。
实现光轴平移，适应不同观察者。

若一个二次反射棱镜的两反射面夹角为50°，求反射光轴相对于入射光轴的偏转角。

解释二次反射棱镜为何像与物一致。

描述30°直角棱镜在显微镜系统中的应用。

如果反射光轴偏转角度为80°，求两反射面夹角。

三次反射棱镜

斯密特棱镜是一种三次反射棱镜，出射光线与入射光线的夹角恒为45∘，由于奇次反射，成像为镜像。

该棱镜通过延长光路实现光路折叠，显著减小仪器尺寸。

反射过程遵循反射定律，入射角等于反射角。

其中：入射光线方向记为正向，出射光线夹角θ=45∘，反射次数n=3（奇数），光路长度L取决于棱镜尺寸。

屋脊棱镜

屋脊棱镜由两个相互垂直的反射面（称为屋脊面）取代一个反射面构成，屋脊面的交线位于棱镜的光轴面内。

其主要作用是使垂直于主截面的坐标分量被这两个反射面依次反射而改变方向，从而使总反射次数由奇数次变为偶数次，得一致像。

在数学上，一个反射面对垂直于主截面的分量y的变换为y′=−y。
屋脊面由两个相互垂直的反射面组成，对y分量的变换相当于两次反射：

因此y分量不变，总反射次数增加一次，由奇变偶。
其中：

• y：垂直于主截面的坐标分量。

• y′：第一次反射后的y分量。

• y′′：第二次反射后的y分量。

• 反射次数：奇数次导致镜像（y反向），偶数次导致一致像（y不变）。

直角屋脊棱镜常用于光学仪器如周视瞄准仪中，位于目镜前。
它保持光轴方向不变，同时使像与物一致，避免镜像，便于目标观察。

斯密特屋脊棱镜通过将斯密特棱镜的底面替换为屋脊面而形成。
它用于倒像系统，保持光轴方向并使总反射次数为偶数，确保像物一致。

一个棱镜原有3次反射（奇数次），添加屋脊面后，总反射次数变为多少？

斯密特棱镜原有3次反射，添加屋脊面后，反射矩阵如何变化？

立方角锥棱镜

立方角锥棱镜由正立方体切下一个角而形成，其三个反射工作面相互垂直，底面为一个等边三角形（入射面和出射面）。

光线以任意方向从底面入射，经过三个直角面的依次反射后，出射光线始终平行于入射光线。

当棱镜绕其顶点旋转时，出射光线方向不变，仅产生一个平行位移。

复合棱镜

分光棱镜

分光棱镜由两个直角棱镜胶合而成，其中一个表面镀有半透半反膜（分光膜），能将入射光束分成反射光束和透射光束。

两束光的强度比例由膜的反射率 R 和透射率 T 决定，且光程相等。

设入射光强为 I0​，则反射光强 Ir​=RI0​，透射光强 It​=TI0​。

若 R=T=0.5，则强度相等；否则强度比为 R:T。

光程相等通过棱镜几何设计实现，确保两束光在棱镜材料中的路径长度相同。

其中：I0​ 为入射光强（单位：W/m²），R 为反射率（无量纲），T 为透射率（无量纲），满足

光程 L 定义为路径长度与折射率的乘积，即 L=n⋅d，n 为棱镜材料折射率，d 为光束在棱镜内的路径长度。

在迈克尔逊干涉仪中，分光棱镜用于将单色光源光束分成两束。

一束射向参考镜，另一束射向测试镜，反射后重新组合形成干涉条纹。

由于分光棱镜的光程相等特性，两束光路径长度差仅取决于外部光路，确保干涉条纹稳定且易于观测。

在激光加工系统中，分光棱镜用于将高功率激光束分成两束强度相等的输出光束。

一束用于主加工，另一束用于实时监控或备份。

棱镜设计确保光程相等，避免光束相位差影响加工精度。

一个分光棱镜的反射率 R=0.3，透射率 T=0.7。
入射光强 I0​=200 mW。
求反射光束强度 Ir​ 和透射光束强度 It​。

描述分光棱镜在共焦显微镜中的应用，并说明光程相等特性的重要性。

设计一个分光棱镜，使反射光束强度是透射光束的两倍。
求所需的反射率 R 和透射率 T。

分色棱镜

分色棱镜是一种光学元件，用于将入射白光分解为红、绿、蓝三束单色光。

其核心原理基于薄膜干涉和选择性反射，通过两个镀膜面实现颜色分离：

a面镀有反蓝透红绿介质膜（反射蓝光，透射红绿光），b面镀有反红透绿介质膜（反射红光，透射绿光）。

白光入射后，a面反射蓝光，透射的红绿光到达b面，b面反射红光并透射绿光，从而输出分离的红、绿、蓝光。

该元件广泛应用于彩色电视摄像机和3-CCD数码相机中，实现颜色分光。

关键公式涉及反射和透射：

反射定律描述角度关系：

其中 θi​ 为入射角，θr​ 为反射角。

透射系数定义光强度变化：

其中 T 为透射率，It​ 为透射光强度，Ii​ 为入射光强度。

其中：θi​ 表示入射角（顺时针为正方向），θr​ 表示反射角，Ii​ 表示入射光强度，It​ 表示透射光强度，T 表示透射率（无量纲）。角度约定以顺时针为正，逆时针为负；光线传播方向自左至右为正。

假设白光以入射角 θi​=30∘ 射向a面。

a面介质膜反射蓝光（波长约450nm），反射角 θr​=30∘；透射红绿光（波长约550-650nm）。

透射光以相同角度入射b面，b面反射红光（波长约650nm），反射角 θr​=30∘；透射绿光（波长约550nm）。

最终输出分离的红、绿、蓝光束。

考虑a面介质膜对蓝光的反射率 RB​=0.9，对红绿光的透射率 TRG​=0.85。

入射白光强度 Ii​=100W/m2，蓝光被反射后强度 IB​=RB​×Ii​=90W/m2。透射红绿光强度 IRG​=TRG​×Ii​=85W/m2。

该红绿光入射b面，b面反射红光强度 IR​=0.8×IRG​=68W/m2（假设红光反射率0.8）,
透射绿光强度 IG​=0.85×IRG​=72.25W/m2（假设绿光透射率0.85）。

入射白光强度 Ii​=200W/m2，a面对红绿光的透射率 TRG​=0.75。计算透射到b面的红绿光强度 IRG​。

a面介质膜对蓝光反射率 RB​=0.85，入射角 θi​=45∘。若希望反射蓝光强度 IB​=170W/m2，求所需入射光强度 Ii​。

转像棱镜

转像棱镜是一种反射棱镜，其设计确保出射光轴与入射光轴平行，实现图像的完全倒像，并通过内部反射折叠光路以延长光程。

在望远镜系统中，它用于校正倒像问题，提供正立图像。

关键特性包括：

• 光轴平行性：出射方向向量与入射方向向量平行，即d⃗out​=d⃗in​。

• 图像倒置：通过多次反射使物像坐标系反转，例如x-y平面倒置。

• 光路折叠：在棱镜内部反射延长光程，减少系统尺寸。

普罗Ⅰ型棱镜由两个直角棱镜组成，光线经历两次全反射。

出射光轴平行于入射光轴，图像完全倒置。

光程长度增加，例如棱镜边长a时，光路长度约为2a。

应用于双筒望远镜，实现紧凑设计和正立观察。

解释转像棱镜如何实现图像的完全倒置。

描述转像棱镜在双筒望远镜中的作用及其优势。

棱镜系统的成像方向判断

在工程光学中，棱镜系统的成像方向判断基于光轴方向、主截面和反射特性。

设物坐标系为右手坐标系，光轴传播方向自左至右为正。

定义如下：

• O′z′ 表示沿光轴方向的坐标轴。

• O′y′ 表示垂直于主截面的坐标轴。

• O′x′ 表示平行于主截面垂直于光轴向上的坐标轴。

• m 表示屋脊面个数。

• n 表示反射面总个数（每个屋脊面计为两个反射面）。

判断原则为：

1. O′z′ 坐标轴方向与光轴出射方向一致。

2. O′y′ 坐标轴方向取决于 m：
   若 m 为奇数，则 O′y′ 方向与物坐标轴方向相反；
   若 m 为偶数或零，则 O′y′ 方向与物坐标轴方向一致。

3. O′x′ 坐标轴方向取决于 n：
   若 n 为偶数，则 O′x′ 按右手坐标系确定；
   若 n 为奇数，则 O′x′ 按左手坐标系确定。

4. 对于光轴不在同一平面内的复合棱镜，上述原则在各光轴面内分别适用。

5. 整个光学系统成像方向由透镜和棱镜共同决定：物镜通常成倒像，目镜成正像。

其中：

• 主截面指包含光轴和反射面的平面。

• 屋脊面指棱镜中用于改变垂直方向的双反射面。

• 反射面个数 n 包括所有反射面，屋脊面按两个计算。

• 透镜成像特性：物镜使像倒置，目镜使像正立。

直角棱镜无屋脊面（m=0），反射面个数 n=1（奇数）。物坐标系右手。

• O′z′ 方向与光轴出射方向一致。

• O′y′ 方向：m=0（偶数），与物坐标轴方向一致。

• O′x′ 方向：n=1（奇数），按左手坐标系确定，成像为镜像。
  例如，物点坐标 (x,y,z) 成像后为 (−x,y,z)。

屋脊棱镜有一个屋脊面（m=1），反射面个数 n=2（偶数）。物坐标系右手。

• O′z′ 方向与光轴出射方向一致。

• O′y′ 方向：m=1（奇数），与物坐标轴方向相反。

• O′x′ 方向：n=2（偶数），按右手坐标系确定，成像一致。
  例如，物点坐标 (x,y,z) 成像后为 (x,−y,z)。

一个棱镜有 3 个反射面，无屋脊面。物坐标系右手。判断成像方向中 O′y′ 和 O′x′ 的坐标轴方向。

复合棱镜由两个光轴面组成：第一面有 2 个反射面（无屋脊），第二面有 1 个屋脊面。物坐标系右手。分别判断各面 O′x′ 方向。

光学系统包括物镜（成倒像）、棱镜（有 1 个屋脊面，反射面总个数 n=3），和目镜（成正像）。物坐标系右手。判断整体成像方向。

一个棱镜有 2 个屋脊面和 1 个普通反射面。计算反射面总个数 n 和屋脊面个数 m，并判断 O′y′ 方向。

棱镜的等效作用与展开方法

反射棱镜由两个折射面和若干个反射面组成，主要功能是折转光路和实现转像，其光学作用等效于平面反射镜与附加平行玻璃平板的组合。因此，用棱镜代替平面镜，就相当于在光路中增加了一块平行玻璃平板。

在光路计算中，通过棱镜展开方法，将光线在入射面和出射面间的光路等效为一个平行玻璃平板。

展开过程为：

在棱镜主截面内，按反射面顺序，以反射面与主截面的交线为轴，依次使主截面翻转180∘，便可得到棱镜等效的平行玻璃平板。

需要说明的是，若棱镜位于非平行光路中，则要求光轴与两折射面垂直，否则，展开的平行玻璃平板不垂直于光轴，引起侧向位移，影响光学系统的成像质量

棱镜光轴长度L与口径D的关系为：

其中：L是棱镜光轴长度（等效平行玻璃平板厚度），D是棱镜口径，K是结构常数（可在光学仪器设计手册中查得）。

已知直角棱镜口径D=30mm，光轴长度L=30mm。求结构常数K，并解释其物理意义。

推导棱镜展开后等效平板厚度L的通用表达式，以一次反射棱镜为例，假设反射面与光轴夹角α=45∘。

比较直角棱镜（K1​=1）和五角棱镜（K2​=3.414）在相同口径D=40mm下的光轴长度L，并分析对系统尺寸的影响。