2.2理想光学系统的基点与基面
理想光学系统的基点与基面
无限远的轴上物点对应的像点F'
当物点位于无限远轴上时，发出的光线由于光学系统口径有限，孔径角U趋近于零，因此所有入射光线均平行于光轴。
当L→∞时，U→0。
tanU=Lh
其中：U是孔径角，L是物方截距，h是投射高度。\
平行于光轴的入射光线通过理想光学系统后，出射光线交光轴于像方焦点F′。
过F′的垂直平面是像方焦平面。
入射光线和出射光线的反向延长线交于Q′，过Q′的垂直平面交光轴于像方主点H′。
Q′H′平面称为像方主平面
像方焦距f′=tanU′h。
其中：F′是像方焦点，H′是像方主点，f′是像方焦距，h是投射高度，U′是像方孔径角。
已知投射高度h=8 mm，像方孔径角U′=0.1弧度。
计算像方焦距f′。
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使用公式f′=tanU′h。
代入h=8 mm，U′=0.1弧度。
tan(0.1)≈0.1003。
所以f′=0.10038≈79.76 mm。
给定f′=50 mm，h=5 mm。
计算U′，并解释H′到F′的距离。
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使用f′=tanU′h。
代入f′=50 mm，h=5 mm。
50=tanU′5。
解得tanU′=505=0.1，U′≈0.1弧度。
H′到F′的距离即为f′=50 mm。
一束平行光线以角度ω=0入射，h=12 mm，f′=60 mm。
确定像点位置。
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由于ω=0，是轴上物点。
像点位于F′。
距离H′为f′=60 mm。
在焦平面上坐标为(0,0)。
若f′=100 mm不变，当h从10 mm减到5 mm时。
计算U′的变化。
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初始h1=10 mm，f′=100 mm。
U1′满足100=tanU1′10，tanU1′=0.1，U1′≈0.1弧度。
最终h2=5 mm，100=tanU2′5，tanU2′=0.05，U2′≈0.05弧度。
变化量ΔU′=U2′−U1′=−0.05弧度。
无限远轴外物点发出的光线相互平行，且与光轴夹角ω=0。
通过理想光学系统后，会聚于像方焦平面上的点。
\
y=f′tanω
其中：f′ 是透镜的像方焦距。ω 是光线在物空间与光轴的夹角。
推导：
当ω→0时，轴外物点重合于轴上物点。
像点高度y满足几何关系。tanω=f′y
已知ω=0.15弧度，f′=50 mm。
计算像点在焦平面上的y坐标。
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使用y=f′tanω。
代入f′=50 mm，ω=0.15弧度。
tan(0.15)≈0.1511。
y=50×0.1511=7.555 mm。
当ω从0.1弧度增加到0.3弧度时，f′=80 mm固定。
计算y的变化量。
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初始ω1=0.1，tanω1≈0.1003，y1=80×0.1003=8.024 mm。
最终ω2=0.3，tanω2≈0.3093，y2=80×0.3093=24.744 mm。
变化量Δy=y2−y1=24.744−8.024=16.72 mm。
给定两个物点：一个轴上（ω=0），一个轴外（ω=0.25弧度）。
f′=60 mm。
比较像点位置。
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轴上物点：像点位于F′，坐标(0,0)。
轴外物点：y=f′tanω=60×tan(0.25)≈60×0.2553=15.318 mm。
所以轴上像点在原点，轴外在(0,15.318) mm。
无限远轴上像点对应的物点F
物方焦点F是轴上物点，其共轭像点位于无限远轴上。
物方焦平面是通过F且垂直于光轴的平面，与无限远垂直于光轴的像平面共轭。
物方主点H是焦点F发出的入射光线延长线与相应平行于光轴的出射光线延长线交点Q在光轴上的投影点。
物方主平面是通过Q且垂直于光轴的平面。
物方焦距f是从物方主点H到物方焦点F的距离，由符号规则确定正负。
f=tanUh
其中：F是物方焦点，H是物方主点，f是物方焦距，h是出射光线在物方主平面上的投射高度，U是入射光线的孔径角。
物方焦平面上任意点发出的光线通过系统后成为一组平行光线，其与光轴夹角反映该点离F的距离。
假设入射光线孔径角U=30∘，出射光线在物方主平面上的投射高度h=10 mm。
计算物方焦距f。
使用公式f=tanUh。
代入值：f=tan30∘10。
tan30∘=√31≈0.577。
因此f≈0.57710≈17.32 mm。
已知入射光线孔径角U=45∘，出射光线在物方主平面上的投射高度h=15 mm。
求物方焦距f。
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使用公式f=tanUh。
代入U=45∘，tan45∘=1。
代入h=15 mm。
计算f=115=15 mm。
因此物方焦距为15 mm。
描述物方焦平面上一点C发出的光线通过理想光学系统后的行为。
如果C距离物方焦点F为8 mm，且物方焦距f=25 mm，求出射平行光线与光轴的夹角θ。
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物方焦平面上任意点发出的光线通过系统后成为一组平行光线。
夹角θ满足tanθ=f距离 F。
给定距离F为8 mm，f=25 mm。
计算tanθ=258=0.32。
因此θ=arctan(0.32)≈17.74∘。
理想光学系统中，物方焦距f=20 mm，像方焦距f′=25 mm。
入射光线孔径角U=60∘，求像方出射光线孔径角U′，假设系统对称且h=h′。
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物方焦距公式f=tanUh。
像方焦距公式f′=tanU′h′。
给定h=h′，系统对称。
先求h：从f=tanUh，U=60∘，tan60∘=√3≈1.732。
f=20 mm，故h=f⋅tanU=20×1.732≈34.64 mm。
由于h′=h≈34.64 mm，f′=25 mm。
则tanU′=f′h′=2534.64≈1.3856。
因此U′=arctan(1.3856)≈54.0∘。
在理想光学系统中，物方主平面H和像方主平面H′是一对共轭面，且垂轴放大率β=+1。
这意味着，入射光线在物方主平面上的投射高度h等于出射光线在像方主平面上的投射高度h′，即h=h′。
其中：H为物方主平面，H′为像方主平面，h为投射高度，β为垂轴放大率。
一对主点和主平面，一对焦点和焦平面，通常称为共轴理想光学系统的基点和基面。
构成了一个光学系统的基本模型，是可以与具体的光学系统相对应的。
不同的光学系统，只表现为这些基点和基面的相对位置不同，焦距不等而已。
因此，通常总是利用共轴系统的基点和基面的位置来代表一个光学系统，如图2 - 11所示
