光学系统的景深

空间像

许多光学系统能够将三维空间中的物体成像在一个二维平面上，称为平面上的空间像。

当光瞳大小一定时，对准平面外的空间物点以充满入瞳的光束进入光学系统成像，在景像平面上形成弥散斑。

B1​，B2​，B3​，B4​为空间的任意点，入瞳于光轴交点入射光瞳中心为P，出瞳与光轴交点为出射光瞳中心P′

景像平面：A′B′。

对准平面：在物空间与景像平面相共轭的平面AB。

按理想光学系统的特性，物空间一个平面，在像空间只有一个平面与之相共轭。上述景像平面上的空间像，严格来讲除对准平面上的点能成点像外，其他空间点在景像平面上只能为一个弥散斑。

但当其弥散斑小于一定限度时，仍可认为是一个点。

现在我们讨论当入射光瞳一定时，在物空间多大的深度范围内的物体在景像平面上能成清晰像。

空间点B1​和B2​位于景像平面的共轭面（对准平面）以外，它们的像点B1′′​和B2′′​也不在景像平面上，在该平面上得到的是光束P1′​B1′′​P2′​和P1′​B2′′​P2′​在景像平面上所截的弥散斑，它们是像点B1′′​和B2′′​在景像平面上的投影像。

这些投影像分别与物空间相应光束P1​B1​P2​和P1​B2​P2​在对准平面上的截面相共轭。

显然景像平面上的弥散斑的大小与光学系统入射光瞳的大小、空间点距对准平面的距离有关，如果弥散斑足够小，例如它对人眼的张角小于人眼的极限分辨角（约为1′），则人眼对图像将无不清晰的感觉，即在一定空间范围内的空间点在景像平面上可成清晰像。

景象畸变：

光瞳位置的影响会导致空间物点成像的透视失真，而视场的变化会引起景像畸变。

望远镜系统用于观测远距离空间物体。当物体不在对准平面时，在像平面上形成弥散斑。

例如，观测恒星时，如果恒星离对准平面有偏差，成像为小圆斑。

描述景像畸变在光学系统中的表现。并解释光瞳位置如何导致透视失真。

景深

景深：
能在景像平面上获得清晰像的物方空间深度范围，记为Δ。为远景深度与近景深度之和：Δ=Δ1​+Δ2​

景深由接收器（如眼睛或感光乳剂）的分辨率限制决定，允许弥散斑在一定范围内。

远景平面：能成清晰像的最远的物平面。

近景平面：能成清晰像的最近的物平面。

远景深度：远景平面到对准平面的距离，记为Δ1​。

近景深度：近景平面到对准平面的距离，记为Δ2​。

景像平面弥散斑：z1′​=∣β∣z1​, z2′​=∣β∣z2​。

远景平面和近景平面在对准平面上弥散斑直径分别为z1​，z2​；景象平面上弥散斑直径分别为z1′​，z2′​

确定对准平面上弥散斑允许直径以后，远景和近景到入射光瞳的距离p1​和p2​。

设对准平面和景像平面上弥散斑的直径分别为z=z1​=z2​、z′，由于两个面共轭，有z′=βz=(−xf​)z。当z或z′的限度已知时，可求得远景景深Δ1​和近景景深Δ2​为：

或用z′表示：

其中：
p入射光瞳中心到对准平面的距离（物方距离），约定顺光线方向为正，故为负值；计算中常取绝对值。
p1​：远景平面到入射光瞳中心的距离，负值。
p2​：近景平面到入射光瞳中心的距离，负值。
2a：入射光瞳直径。
z：对准平面上允许的弥散斑直径。
z′：景像平面上允许的弥散斑直径，z′=βz。
β：景像平面与对准平面间的垂轴放大率，β<0（倒像），计算大小常用∣β∣。
ε：人眼极限分辨角（约0.0003 rad）。
f′：系统焦距（像方焦距）。

景深影响因素：

• Δ 随 p 增大而增大（距离越远，景深越大）。

• Δ 随 2a 增大而减小（孔径越大，景深越小）。

• Δ 随 ε 增大而增大（分辨角越大，允许模糊越大）。

• Δ 随 f′ 增大而减小（焦距越长，景深越小）。

推导过程：

给定：入射光瞳直径2a=4mm，对准平面距离p=2m（取绝对值），远景平面距离p1​=3m（取绝对值），求远景平面弥散斑直径z1​。

解：
Δ1​=∣p−p1​∣=∣2−3∣=1m=1000mm

从公式z1​=2ap1​Δ1​​：
z1​=4×30001000​=4×31​≈1.333mm

给定：p=1.5m, z=0.05mm（允许弥散斑），2a=5mm，求Δ1​, Δ2​, Δ。

解：

Δ1​=2a−zpz​=5−0.051500×0.05​=4.9575​≈15.152mm,

Δ2​=2a+zpz​=5+0.051500×0.05​=5.0575​≈14.851mm,

Δ=Δ1​+Δ2​≈30.003mm

给定：p=3m, z=0.1mm, 2a=6mm，求Δ1​, Δ2​, Δ。

给定：p=2m, z′=0.02mm, 2a=4mm, β=−pf′​（薄透镜模型），当f′从50 mm增至100 mm，求景深Δ变化（用Δ=Δ1​+Δ2​，Δ1​=2a∣β∣−z′pz′​）。

基于弥散斑允许值的景深

正确透视距离：观察平面像时获得正确空间感的距离D，满足像点对眼睛张角ω′等于物点对入射光瞳中心张角ω：

则

其中：

• y为物高，y′为像高

• p为物距（入射光瞳中心到物平面距离）

• β=y′/y为垂轴放大率

推导过程：

人眼观察时弥散斑的极限尺寸，满足：

1. 像空间允许值，即景象平面或照片上弥散斑允许值：

2. 物空间允许值，即对应于对准平面上弥散斑允许值：

其中：

• ε为人眼极限分辨角（单位：弧度）

• D为正确透视距离

景深公式：基于弥散斑允许值z=pε的成像深度计算：

1. 远景深度和近景深度：

3. 总景深：

其中：

• 2a为入射光瞳直径

• p为对准平面物距

特性：

• Δ1​>Δ2​（远景深度恒大于近景深度）

• 景深Δ与孔径角U的关系（由pa​=tanU）：

由上式可知，入射光瞳的直径越小，即孔径角越小，景深越大。在拍照片时，把光圈缩小可以获得大的空间深度的清晰像，其原因就在于此。

已知照片中人物身高像高y′=15mm，实际身高y=1.5m，拍摄物距p=3m。求正确透视距离D。
解：
垂轴放大率：

正确透视距离：

比较光圈数f/2.8（2a=8.93mm）与f/11（2a=2.27mm）在p=2m、ε=3′=8.73×10−4rad时的景深。（光圈数F=f′/D）

计算过程：
统一单位为米：p=2m，ε=8.73×10−4rad。

1. f/2.8 计算（2a=8.93mm→a=4.465×10−3m）：
   分子：4×(4.465×10−3)×22×(8.73×10−4)=6.234×10−5
   分母：4×(4.465×10−3)2−22×(8.73×10−4)2=7.667×10−5
   Δf/2.8​=7.667×10−56.234×10−5​≈0.813m

2. f/11 计算（2a=2.27mm→a=1.135×10−3m）：
   分子：4×(1.135×10−3)×22×(8.73×10−4)=1.585×10−5
   分母：4×(1.135×10−3)2−22×(8.73×10−4)2=2.104×10−6
   Δf/11​=2.104×10−61.585×10−5​≈7.534m

结论：
Δf/11​=7.534m>Δf/2.8​=0.813m，故 f/11 景深更大。

某显微镜物镜垂轴放大率β=−40×，观察切片物距p=0.2mm。若目镜出瞳距眼瞳15mm，求正确透视距离D。

望远镜入射光瞳直径2a=50mm，观察p=1km处物体。若人眼极限分辨角ε=2′，求物空间允许弥散斑直径z。

某相机对准平面物距p=5m，光圈f/8（对应2a=25mm），人眼ε=4′。求远景深度Δ1​。

某镜头在对准平面p=10m处孔径角U=15∘，ε=3′。用孔径角公式求总景深Δ。

给定：ε=0.0003rad, p=2m, 2a=5mm，用式Δ=4a2−p2ε24ap2ε​求景深Δ。

远景深度无限远条件

当远景深度Δ1​=∞时，满足以下关系：

对准平面位置：

其中：
p：对准平面到入射光瞳的距离
a：入射光瞳直径
ε：人眼极限分辨角（约1′）

近景位置：

此时景深范围为[εa​,∞)

因此，把照相物镜调焦于p=ε2a​处，在景像平面上可以得到自入射光瞳前距离为εa​处的平面起至无限远的整个空间内物体的清晰像。

推导过程：