7.1 眼睛及其光学系统
眼睛及其光学系统
结构
成像元：角膜和视网膜之间的生物构造均可看作成像元，物体经成像元成像在视网膜上。
角膜界面折射：空气与角膜界面折射率差为1.00/1.38，物体主要通过这个界面成像在视网膜上，是主要成像界面。
视网膜：物体通过角膜成像在视网膜上，形成倒像，但神经系统感知为正立像。
主平面位置：物方主平面H距角膜顶点后1.3mm，像方主平面H′距角膜顶点后1.6mm。
人眼焦距：未调节状态下，物方焦距约f=−17mm，像方焦距约f′=23mm。
水晶体：水晶体折射率从外层1.37到内层1.41逐渐增加，是由多层膜构成的双凸透镜；通过水晶体周围肌肉的调节，曲率半径可调范围40mm∼70mm，从而改变焦距。
瞳孔：为人眼的孔径光阑，根据物体的亮暗，瞳孔直径可自动调节2mm∼8mm，控制光能进入。
视轴定义：黄斑中心与像方节点连线称为视轴。
视场范围：总视场达150∘，能同时清晰观察范围在视轴周围6∘∼8∘。
其中：H为物方主点，H′为像方主点，f为物方焦距，f′为像方焦距，单位均为mm。
假设光线从空气(n1=1.00)入射角膜(n2=1.38)，入射角i=10∘，求折射角r。
使用折射定律n1sini=n2sinr：
解得r≈arcsin(0.125)≈7.2∘。
当环境亮度降低，瞳孔直径从2mm增至8mm。
求进入人眼的光通量增加倍数，假设光强均匀。
答案
光通量Φ与瞳孔面积A成正比，A=πr2，r为半径。
初始直径d1=2mm，半径r1=1mm，面积A1=π(1)2=πmm2。
变化后直径d2=8mm，半径r2=4mm，面积A2=π(4)2=16πmm2。
增加倍数k=A1A2=π16π=16倍。
光通量增加16倍。
人眼清晰视场角为7∘（取平均值），视网膜直径约42mm。像方焦距f′=23mm
求黄斑区对应的视网膜弧长。
答案
视场角θ=7∘，弧度制θrad=7×180π≈0.1222 rad。
像方焦距f′=23mm，弧长s=f′⋅θrad。
代入：s=23×0.1222≈2.81mm。
黄斑区直径约5mm，计算结果符合。
水晶体外层折射率n1=1.37，内层n2=1.41，厚度t=4mm。
平行光入射，求内外层产生的光程差Δ。
答案
光程差Δ=(n2−n1)⋅t。
代入：Δ=(1.41−1.37)×4=0.04×4=0.16mm。
该梯度减小像差，提高成像质量。
调节及校正
机制
眼睛的调节：
眼睛成像系统对任意距离的物体自动调焦的过程。
通过睫状肌（环形肌肉）的收缩和放松，调节晶状体（水晶体）的曲率半径：
当看近物时，睫状肌收缩，晶状体曲率半径减小，表面曲率增大，导致像方焦距f′减小。
焦距变化范围从远点（无限远或最远清晰视距）时的f′≈23mm到近点（最近清晰视距）时的f′≈18mm。
其中：
f′表示像方焦距，单位为毫米；
远点对应睫状肌放松状态；
近点对应睫状肌最大收缩状态；
曲率半径减小量约30-40%，表面曲率增大使焦距缩短以适应不同物距。
当眼睛注视无限远物体时，睫状肌完全放松，晶状体曲率半径最大（约10mm），表面较平坦，焦距f′≈23mm，平行光聚焦在视网膜上（像距约24mm）。
当眼睛注视25cm处物体时，睫状肌收缩，晶状体曲率半径减小至约7mm，表面变凸，焦距f′≈18mm。
假设当物体位于眼睛前40cm处时，眼睛像距固定为24mm（视网膜位置）。计算所需调节焦距f′。
答案
使用透镜公式：l′1−l1=f′1。
物距l=−400mm（负，物在左）。
像距l′=24mm（正，像在右）。
代入：241−−4001=f′1。
计算：241+4001=120050+12003=120053。
故f′1=120053，f′=531200≈22.64mm。
调节能力和范围
远点距离：
眼睛在完全放松状态下能清晰看到的最远点距离，记为lr。单位为米（m）。
当眼睛注视无限远物体时，睫状肌松弛，晶状体曲率最小。
近点距离：
眼睛在最大调节状态下能清晰看到的最近点距离，记为lp。单位为米（m）。
当眼睛注视近处物体时，睫状肌收缩，晶状体曲率增大。
发散度与会聚度：
距离的倒数，表示光线在眼睛光学系统中的发散或会聚程度，单位为屈光度（D），1D=1m−1。
远点发散度R=lr1，近点会聚度P=lp1。
调节能力：眼睛自动调焦以看清不同距离物体的能力，定义为近点会聚度与远点发散度之差：
单位为屈光度（D）。
其中：lp为近点距离（m），lr为远点距离（m），P为近点会聚度（D），R为远点发散度（D），A为调节能力（D）。在眼镜店中，1D常称为100度。
推导过程
调节能力源于眼睛晶状体的曲率变化。当物体从远点移向近点，睫状肌收缩，晶状体焦距减小。根据高斯公式，物距l和像距l′满足l′1−l1=f′1，f′为像方焦距。眼睛作为光学系统，像距固定于视网膜，物距变化时f′自动调整。调节范围由lr到lp，能力A定义为焦距变化幅度的倒数：
因fmax′对应lr（放松状态），fmin′对应lp（最大调节）。
假设一个人的远点距离lr=∞（无限远），近点距离lp=0.25 m。计算调节能力A。
解：R=∞1=0 D，P=0.251=4 D。A=P−R=4−0=4 D。相当于眼镜店中的400度调节能力。
一个近视眼患者，远点距离lr=0.5 m，近点距离lp=0.1 m。求调节能力A和对应的度数。
解：R=0.51=2 D，P=0.11=10 D。A=P−R=10−2=8 D。因1D=100度，故A=800度。
40岁正常眼：远点为无穷远，无需调节即可看清无限远物体。近点为 −22cm，调节时能看清最近 22cm 处的物体。调节幅度 A=4.5dpt，范围从无穷远到 22cm。
60岁老花眼：远点为 +200cm，需会聚光束才能看清无限远物体。近点为 −200cm，调节时能看清最近 200cm 处的物体。调节幅度 A=1dpt，范围狭窄，仅 200cm 到 200cm。
不同年龄的调节范围平均值如下表：
年龄 | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
lp/cm | −7 | −10 | −14 | −22 | −40 | −200 | 100 | 40 |
lr/cm | ∞ | ∞ | ∞ | ∞ | ∞ | 200 | 80 | 40 |
Aˉ/dpt | 14 | 10 | 7 | 4.5 | 2.5 | 1 | 0.25 | 0 |
这里是平均值，仅看作粗略的标准值。
其中：lp 近点距离，lr 远点距离，Aˉ 平均调节幅度。年龄增大时，水晶体的弹性减弱，导致调节能力下降。80岁时，调节能力完全丧失，调节范围为零。
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推导过程
调节幅度 A 是眼睛改变焦距能力的度量。屈光度定义为距离的倒数（单位 m−1）。近点屈光度 Pp=lp1，远点屈光度 Pr=lr1。调节幅度 A=Pp−Pr=lp1−lr1。由于 lp 为负值（物在眼前），Pp 为负，但 A 取正值表示幅度。例如，40岁时 lp=−0.22m，lr=∞，A=−0.221−0≈−4.545dpt，取绝对值 4.5dpt。
题目：一个人的远点距离lr=3 m，近点距离lp=0.2 m。计算其调节能力A（单位D），并转换为度数。
答案
步骤1：计算远点发散度R。R=lr1=31≈0.3333 D。
步骤2：计算近点会聚度P。P=lp1=0.21=5 D。
步骤3：求调节能力A。A=P−R=5−0.3333=4.6667 D。
步骤4：转换为度数。
因1D=100度，故A≈466.67度。
题目：调节能力A=6 D，远点距离lr=∞。求近点距离lp。
答案
步骤1：写出调节能力公式。A=lp1−lr1。
步骤2：代入已知值。lr=∞，故lr1=0。6=lp1−0。
步骤3：求解lp。lp1=6，因此lp=61≈0.1667 m。
题目：调节能力A=3.5 D，近点距离lp=0.15 m。求远点距离lr。
答案
步骤1：写出调节能力公式。A=lp1−lr1。
步骤2：代入已知值。3.5=0.151−lr1。0.151≈6.6667 D。3.5=6.6667−lr1。
步骤3：求解lr1。lr1=6.6667−3.5=3.1667 D。
步骤4：求lr。lr=3.16671≈0.3158 m。
题目：一个远视眼患者，远点距离lr=−2 m（负号表示物在像方，需会聚光线），近点距离lp=0.25 m。计算调节能力A。若他需看清无限远物体，求所需眼镜的屈光度（假设眼镜为薄透镜，置于眼前）。
答案
步骤1：
计算调节能力A。R=lr1=−21=−0.5 D（发散度为负表示会聚不足）。
P=lp1=0.251=4 D。A=P−R=4−(−0.5)=4.5 D。
步骤2：求看清无限远所需眼镜屈光度。
看清无限远时，物体在l=∞，需眼镜使像成于远点lr=−2 m。
使用薄透镜公式：l′1−l1=f′1，其中l′为像距，l为物距，f′为透镜像方焦距。
这里l=∞，l′=lr=−2 m（因远点为虚物点）。−21−∞1=f′1。f′1=−0.5 D。
故眼镜屈光度为−0.5 D（凹透镜）。
步骤3：转换为度数。−0.5 D = −50度。
明视距离为 250mm，是阅读时舒适的物距。
正常眼和反常眼
眼睛的远点在无限远，或者说，眼睛光学系统的后焦点在视网膜上，称为正常眼
视度
视度：视度（SD）是描述眼睛调节能力的量，定义远点距离l（单位为m）的倒数。
视度的单位为屈光度（D），1D=1m−1。在眼镜店和医院，1D常称为100度。
对于近视眼，远点距离为负值（物在眼前），视度为负；对于远视眼，视度为正。
眼睛的调节范围可用最大视度和最小视度表示。
其中：l表示远点距离，单位为米（m），顺光线方向为正方向，物在眼前时l为负；SD表示视度，单位为屈光度（D）。
一个近视眼的远点距离为−0.5m，求其视度。
解：根据定义，SD=l1=−0.51=−2D，相当于−200度。
一个远视眼的远点距离为0.4m，求其视度。
解：远视眼远点在眼后，l=0.4m，SD=0.41=2.5D，相当于250度。
一个物距离人眼2m，求视度SD。
答案
SD=l1=21=0.5D。
一个近视眼视度为−3D，求其远点距离l。
答案
l=SD1=−31≈−0.333m。
眼镜店说某人近视500度，求其视度SD。
答案
500度=5D（因为1D=100度），近视视度为负，所以SD=−5D。
眼睛的调节范围从−1D到+3D，求最小和最大物距l。
答案
最小物距对应最大视度+3D，lmin=31≈0.333m。
最大物距对应最小视度−1D，lmax=−11=−1m。
注意：物距l为负表示物在眼前。
近视眼
近视眼：若眼睛的远点位于眼前有限距离，则称为近视眼。近视眼无法看清无限远处的物体。
矫正方法：欲使近视眼看清无限远点，需在眼前加一负透镜，其像方焦距 f′ 等于远点距离 lr，即：
其中：
f′：矫正透镜的像方焦距（负值，表示凹透镜）。
lr：远点距离（物距，负值，因为远点在透镜左侧）。
推导过程
根据透镜成像公式：
对于矫正情况：
物体位于无限远，l′=∞。
像应位于远点 S，即 l=lr。
代入公式：
由于 ∞1=0，所以：
因此，矫正透镜的焦距 f′ 等于远点距离 lr。
一个近视眼的远点在眼前50cm处。求矫正透镜的焦距。
解：远点距离 lr=−50 cm（负号表示在透镜左侧）。
矫正透镜焦距 f′=lr=−50 cm。因此，需使用焦距为-50cm的凹透镜。
另一个近视眼的远点在眼前1m处。求矫正透镜的焦距。
解：lr=−100 cm=−1 m。f′=lr=−1 m。需使用焦距为-1m的凹透镜。
一个近视眼的远点在眼前40cm处。求矫正透镜的焦距。
答案
远点距离 lr=−40 cm。
矫正透镜焦距 f′=lr=−40 cm。
因此，焦距为-40cm。
一个近视眼使用焦距为-60cm的凹透镜矫正后能看清无限远。求其远点距离。
答案
矫正透镜焦距 f′=−60 cm。
根据公式 f′=lr，所以 lr=f′=−60 cm。
远点距离为60cm在眼前。
一个近视眼的远点在眼前30cm处。如果使用一个焦距为-30cm的透镜矫正，是否能看清无限远？解释原因。
答案
是，能看清。
因为 f′=−30 cm，lr=−30 cm，满足 f′=lr。
根据推导，透镜后焦点与远点重合，所以能矫正。
远视眼
远视眼：远点位于眼后有限距离的眼。远点是指眼在调节松弛状态下能看清的最远点，对于远视眼，此点位于眼球之后。
老花眼：由于年龄增长导致眼的调节能力下降，近点远移，无法看清近物的现象。老花眼不是屈光不正，而是调节问题。
矫正方法：矫正远视眼和老花眼需佩戴正透镜，其像方焦距 f′ 的值等于远点距离 lr的值，即：
其中：
f′：矫正透镜的像方焦距（正值，表示凸透镜）。
lr：远点距离（物距，正值，因为远点在眼后）。
一个远视眼的远点位于眼后50cm。求所需矫正透镜的焦距和屈光度。
解：远点距d=50 cm，所以f′=d=50 cm。屈光度D=1/f′=1/0.5=+2 D（正透镜）。
一个老花眼患者，近点为100cm，明视距离为25cm。求看清25cm物体所需透镜。
解：使用透镜公式，使物体在25cm成像于近点100cm。设物距l=−25 cm（物在眼前），像距l′=−100 cm（像在眼前），则：
所以f′=0.031≈33.3=0.333m cm，屈光度D=1/0.333≈+3 D。
一个远视眼的远点位于眼后40cm。计算所需矫正透镜的焦距和屈光度。
答案
f′=d=40 cm。D=1/f′=1/0.4=+2.5 D。
一个老花眼患者近点为50cm，明视距离为25cm。求看清25cm物体所需透镜的焦距。
答案
l=−25 cm，l′=−50 cm（像在近点）。l′1−l1=f′1⟹−501−−251=−0.02+0.04=0.02=f′1。f′=1/0.02=50 cm。
一个50岁患者，远视眼远点位于眼后60cm，老花眼近点80cm。求（a）看清远物所需透镜；（b）看清25cm近物所需透镜。
答案
(a) 看清远物：f′=d=60 cm，D=+1.67 D。
(b) 看清近物：l=−25 cm，l′=−80 cm。l′1−l1=f′1⟹−801−−251=−0.0125+0.04=0.0275=f′1。f′=1/0.0275≈36.36 cm，D≈+2.75 D。
通常使用双光眼镜。
散光
散光：由于水晶体或角膜表面不对称，导致光线在两个正交主截面（如水平和垂直方向）上聚焦点不同，即两主截面的远点距离不等，视度R1=R2。
散光度：
单位为屈光度（D）。
矫正方法：为校正散光可用圆柱面（见图 7 - 3a、b）或双心圆柱面（见图 7 - 3c）透镜。在特定方向添加光学力以补偿不规则曲率。
其中：R1 和 R2 分别为两个主截面的视度（远点距离的倒数），AST 为散光度。
检验方法包括使用正交黑白线条图案；散光眼无法同时看清所有方向的线条。散光度小于0.5D通常无需校正。
推导过程
视度定义为远点距离的倒数，R=1/l，其中l为远点距离（单位为米），负值表示近视。散光时，不同子午面的远点距离l1=l2，导致R1=1/l1=R2=1/l2。散光度AST=R1−R2直接反映聚焦差异。例如，若l1=−0.5m，则R1=−2D；若l2=−0.4m，则R2=−2.5D，AST=0.5D。
一个散光眼在水平方向视度R1=−3D，垂直方向R2=−4D。则散光度AST=R1−R2=−3−(−4)=1D。
患者需圆柱面透镜校正垂直方向的额外-1D散光。
使用正交黑白网格图案测试散光：
若水平线条清晰但垂直线条模糊，表明垂直方向有散光；校正后，所有线条应同时清晰。
例如，散光度0.75D时，模糊线条方向指示需校正的子午面。
题目：散光眼在子午面A的视度为−5D，在子午面B的视度为−4.5D。计算散光度AST。
答案
AST=R1−R2=−5−(−4.5)=−0.5D。
散光度为0.5D。
题目：如果R1=−7D, R2=−5D，散光度是多少？需要什么类型的透镜？解释原因。
答案
AST=R1−R2=−7−(−5)=−2D。
需圆柱面透镜在较高负视度方向（此处子午面A）添加正散光校正。
因为圆柱面透镜在特定子午面提供额外光学力，补偿曲率不对称。
题目：散光眼的远点在方向X为−0.25m，方向Y为−0.2m。计算视度RX、RY和散光度AST。
答案
RX=1/lX=1/(−0.25)=−4D。RY=1/lY=1/(−0.2)=−5D。AST=RX−RY=−4−(−5)=1D。
题目：简述为什么散光眼无法同时看清正交黑白线条图案。若图案中垂直线条模糊，指示什么？
答案
散光使不同子午面的光线聚焦在不同平面，导致一个方向线条聚焦时另一方向失焦。
垂直线条模糊指示水平子午面有散光，需在垂直方向校正。
辐射接收器
视网膜是由锥状细胞和杆状细胞组成的辐射接收器。两种细胞具有完全不同的性质和完全不同的功能。
杆状细胞：
对光刺激极敏感，但完全不感色；
弱照明时，视觉主要由杆状细胞起作用。
锥状细胞：
感光能力比杆状细胞差得多，但它们能对各色光有不同的感受。
锥状细胞的存在，决定了分辨颜色的能力——色视觉；
在亮照明时，视觉主要由锥状细胞起作用
亮度灵敏度：最小的亮度灵敏度为683 lm/W，最大的亮度灵敏度为1755 lm/W。
光谱灵敏度：
人眼对不同的波长的光辐射有不同的灵敏度。
可接受的光谱范围是400∼700nm，即从紫光到红光，最敏感的波长是555nm。
故在目视光学仪器，对 D 或 e 谱线校正单色像差。
适应：眼睛对周围空间光亮情况的自动适应程度。适应是通过瞳孔的自动增大或缩小完成的。适应有个过程，最长可达30min。
明适应，由暗处到亮处时，瞳孔自动缩小；
暗适应，由亮处到暗处时，瞳孔自动增大。
分辨率
视角鉴别率
视角鉴别率：
在良好照明条件下，人眼能够分辨的两个相邻物点间的最小视角，记为ε。
具体因人而异并且受照明条件影响。视角鉴别率基于眼睛的光学特性，满足：
其中：ε为视角鉴别率（单位：角秒），D为瞳孔直径（单位：mm），f′为眼睛的像方焦距（单位：mm），206265′′为1弧度对应的角秒数（因1rad=206265′′）。
通过视网膜的结构，眼睛能把两相邻的点分辨开。视神经能够分辨的两像点间最小距应至少等于两个视神经细胞直径，若两像点落在相邻的两个细胞上，视神经无法分辨出两点，故视网膜上最小鉴别距离等于两神经细胞直径，即不小于0.006mm。
当瞳孔直径D增大时，眼睛像差增大导致分辨能力下降；不同光谱下视角鉴别率不同，连续光谱中间部分（如绿光）高于红光和紫光部分。
在眼睛无调节松弛状态下，f′≈23mm，代入公式得ε≈60′′。
若将眼睛视为理想光学系统，则
当D=2mm时，ε=70′′。
推导过程
视角鉴别率的公式基于衍射极限和视网膜分辨率。
最小分辨角由衍射公式θmin=1.22Dλ（弧度）给出，其中λ为波长。
取可见光中心波长λ=550nm=5.5×10−4mm，转换为角秒：θmin=1.22×D5.5×10−4×206265′′≈D140′′
视网膜上最小分辨距离s≈0.006mm（锥细胞尺寸），
视角ε满足s=f′tanε。
因ε极小，tanε≈ε（弧度），故：ε≈f′s×π180×3600=f′0.006×206265′′
已知人眼在松弛状态下ε=60′′，求瞳孔直径D。
使用公式ε=140′′/D：60=D140⟹D=60140≈2.33mm
结果符合正常瞳孔直径范围（2-4 mm）。
若眼睛焦距f′从23 mm增至25 mm，照明条件良好，求视角鉴别率ε的变化百分比。
使用公式tanε=f′0.006×206265′′，因ε小，tanε≈ε。
答案
原状态f′=23mm：
ε1≈230.006×206265≈53.8′′
新状态f′=25mm：
ε2≈250.006×206265≈49.5′′
变化百分比：
ε1ε2−ε1×100%=53.849.5−53.8×100%≈−8.0%
焦距增大导致ε减小，分辨能力提高。
某人在强光下瞳孔直径D=2mm，视角鉴别率ε=70′′。若在弱光下ε增至90′′，求弱光时瞳孔直径D2。
假设眼睛为理想光学系统。
答案
使用公式ε=140′′/D：
强光时：70=140/D1⟹D1=2mm（已知）。
弱光时：90=140/D2。
解得：
D2=90140≈1.56mm
瞳孔直径减小以适应弱光，但ε增大导致分辨能力下降。
视网膜最小分辨距离s=0.006mm，焦距f′=17mm（标准值）。验证视角鉴别率ε是否接近60′′。
使用公式ε≈s/f′×206265′′。
答案
计算：
ε≈170.006×206265≈72.8′′
与标准值60′′偏差约21%，因实际眼睛非理想系统，存在像差和神经因素。
极限分辨角：刚刚能分辨开的两点对眼睛物方节点所张的角度，记为ε。根据物理光学衍射理论（瑞利判据），极限分辨角公式为：
其中：λ为光波长（单位：m），D为瞳孔直径（单位：m）。
对于波长λ=555nm（人眼最敏感波长），极限分辨角可简化为：
在眼睛松弛状态、良好照明下，典型极限分辨角ε=60′′（角秒）。设计目视光学仪器时，需以此作为分辨率基准。
推导过程
极限分辨角基于圆孔衍射的瑞利判据。当两个点光源经瞳孔衍射时，其艾里斑中心重叠到第一个暗环时恰能分辨。衍射角θ满足：
其中D为孔径直径。人眼物方节点处张角ε即为此衍射角，故ε=θ。
对于λ=555×10−9m，计算：
转换为角秒（1rad=206265′′）：
在良好照明下，瞳孔直径D≈2.33mm时，ε=60′′。
已知瞳孔直径D=3mm，光波长λ=500nm。求极限分辨角ε。
解：
使用公式ε=D1.22λ。
代入值：λ=500×10−9m, D=3×10−3m。
计算：
转换为角秒：ε=2.033×10−4×206265≈42′′。
在λ=550nm光线下，测得极限分辨角ε=50′′。求瞳孔直径D。
答案
使用公式ε=D1.22λ。
先转换单位：ε=50′′=50/206265rad≈2.424×10−4rad。
λ=550×10−9m。
代入公式：
解方程：
故瞳孔直径D≈2.77mm。
瞳孔直径D=2.5mm时，分别求λ=450nm（蓝光）和λ=650nm（红光）下的极限分辨角ε（以角秒表示）。
答案
公式：ε=D1.22λ。
D=2.5×10−3m。
对于λ=450×10−9m：
转换为角秒：ε=2.196×10−4×206265≈45.3′′。
对于λ=650×10−9m：
转换为角秒：ε=3.172×10−4×206265≈65.4′′。
蓝光分辨率更高（ε更小）。
良好照明下瞳孔直径D=2.5mm，ε=55′′。若照明减弱使D增至4.0mm，求新极限分辨角（取λ=555nm）。
答案
使用公式ε=D140（D单位mm，ε单位角秒）。
初始验证：D=2.5mm时，ε=2.5140=56′′≈55′′（合理）。
新D=4.0mm：
故极限分辨角减小至35′′，分辨率提高。
视觉敏锐度
视觉敏锐度：
眼能够分辨最近两相邻点的能力，视觉敏锐度V是眼睛分辨细节的能力，定义为最小可分辨角ε的倒数
其中ε以分（′）为单位，1′=601度。一般正常视觉敏锐度取V=1.0，对应ε=1′。
其中：ε是最小可分辨角，单位为分（′），表示眼睛能分辨的两点间最小视角；V是视觉敏锐度，无量纲。
推导过程
视觉敏锐度受眼睛光学系统衍射限制。根据瑞利判据，最小可分辨角ε（弧度）与瞳孔直径d和光波长λ相关：
转换为分单位：1 rad=π180×60 min≈3438 min。因此：
取典型值λ=550 nm，d=2 mm，计算得ε≈1′，对应V=1.0。
若最小可分辨角ε=2′，则视觉敏锐度V=ε1=21=0.5。表示视力为正常值的一半。
若视觉敏锐度V=2.0，则最小可分辨角ε=V1=21=0.5′。表示视力优于正常水平。
给定最小可分辨角ε=1.5′，求视觉敏锐度V。
答案
视觉敏锐度公式为V=ε1。
代入ε=1.5′：
若视觉敏锐度V=0.6，求最小可分辨角ε。
答案
由V=ε1，得ε=V1。
代入V=0.6：
Snellen视力表中，标准视力（V=1.0）对应字母在5米处视角为5'。若某人能看清视角为4'的字母，求其视觉敏锐度。
答案
标准条件：θ标准=5′时V标准=1.0。
视觉敏锐度与最小视角成反比：V=θk。
由标准得1.0=5k，故k=5。
对于θ=4′：
使用望远镜后，最小可分辨角减小为原值的81。若原视觉敏锐度V=1.0，求使用后的视觉敏锐度。
答案
原最小可分辨角ε原=1′（因V=1.0）。
新最小可分辨角ε新=81×ε原=0.125′。
新视觉敏锐度：
时间分辨率
人眼的时间分辨率一般定义为 25f/s（帧/秒），故当把一运动的目标以 50f/s 的速度拍摄后放映时，人眼感觉目标是连续运动的，没有闪烁。
对比度分辨率
人眼的对比度分辨率（对比度灵敏度变化）很小，大约为 0.02，这个值称作韦伯比。
当背景亮度较强或较弱时，人眼的分辨亮度差异能力下降。这一点应用于目视光学系统 MTF 的像质评价。
对准精度
对准：在垂直于视轴方向上的重合或置中过程。对准后，偏离置中或重合的线距离或角距离称为对准误差。
分辨：眼睛能区分开两个点或线之间的线距离或角距离的能力。
如图 a 是两实线重合，对准误差为 ±60′′；
图 b 是两直线端部重合，对准误差为 ±10′′∼±20′′；
图 c 和 d 分别是双线对准单线和叉线对准单线，对准精度均可达 ±10′′。
景深
眼睛调焦在对准平面 P 时，无需调节即可同时看清该平面前后一定范围内的物体。远景平面 P1 和近景平面 P2 处的物体在视网膜上形成极限分辨角 ε 对应的弥散斑，其清晰度与对准平面 P 上物点 A 的像 A′ 等效。
核心公式为：
景深定义为远景深 Δ1 和近景深 Δ2：
当 P→∞ 时，极限平面距离为：
其中：P 表示对准平面到人眼距离（物距），Dp 表示眼瞳直径，ε 表示人眼极限分辨角（弧度），P1 表示远景平面距离，P2 表示近景平面距离，Δ1 表示远景深，Δ2 表示近景深。
景深范围取决于瞳孔大小和分辨角，瞳孔越大或分辨角越小，景深越浅。
推导过程
推导基于几何光学和弥散斑模型。当眼睛聚焦在 P 时，物点 A 成像于视网膜。
对于远景平面 P1 的物点，光线经瞳孔边缘形成弥散斑，直径 δ 对应分辨角 ε，满足 δ/P1≈ε。
由相似三角形，弥散斑直径 δ=Dp∣∣∣∣P1−P11∣∣∣∣P′，其中 P′ 为像距。简化后，δ=DpP∣∣∣∣P11−P1∣∣∣∣。
设 δ/P′=ε，得 ε=Dp∣∣∣∣P11−P1∣∣∣∣。解方程：
类似地，近景平面 P2 满足 P21−P1=Dpε，得 P2=Dp−PεDpP。
景深 Δ1=P−P1 和 Δ2=P2−P 代入即得公式。当 P→∞，P1→0，故 P1→εDp，P2→−εDp（负号表示虚物位置）。
假设人眼瞳孔直径 Dp=4mm=0.004m，极限分辨角 ε=1′=601×180πrad≈2.91×10−4rad，对准平面距离 P=2m。计算远景平面 P1 和近景平面 P2：
景深 Δ1=2−1.746=0.254m，Δ2=2.341−2=0.341m，总景深约 0.595m。瞳孔较小，景深较深。
当对准平面极远，P=1000m，Dp=5mm=0.005m，ε=3×10−4rad。计算极限平面：
实际 P1≈0.005+1000×3×10−40.005×1000=0.005+0.35=0.3055≈16.39m，接近极限。负 P2∞ 表示虚物位置，实际应用中忽略。
给定 P=1.5m, Dp=3mm=0.003m, ε=2.5×10−4rad。求远景平面 P1 和近景平面 P2。
答案
使用公式 P1=Dp+PεDpP 和 P2=Dp−PεDpP。
代入值：
远景平面约 1.333m，近景平面约 1.714m。
已知 P=3m, Dp=4mm=0.004m, ε=3×10−4rad。计算远景深 Δ1 和近景深 Δ2，并求总景深。
答案
先求 P1 和 P2：
则 Δ1=P−P1=3−2.449=0.551m。Δ2=P2−P=3.871−3=0.871m。
总景深 Δ1+Δ2=0.551+0.871=1.422m。
若瞳孔直径 Dp 增大到 6mm=0.006m，其他条件不变（P=2m, ε=2.91×10−4rad）。分析景深变化，并计算新 P1 和 P2。
答案
瞳孔增大，景深变浅。原 Dp=0.004m 时 P1≈1.746m, P2≈2.341m（见例子）。新计算：
新 Δ1=2−1.823=0.177m，原 0.254m，减小。
新 Δ2=2.216−2=0.216m，原 0.341m，减小。
总景深从 0.595m 减至 0.393m，证实瞳孔增大景深变浅。
当 P→∞，Dp=5mm=0.005m, ε=2.5×10−4rad。求极限 P1∞ 和 P2∞，并解释物理意义。
答案
直接使用极限公式：
P1∞=20m 表示最远清晰点，物体在此距离外模糊。P2∞=−20m 表示虚物位置，无实际意义；实际近景以眼调节为限。
此极限用于摄影中估算超焦距。
双目立体视觉
用单眼判读物体的远近，是利用眼睛的调节变化所产生的感觉。因水晶体的曲率变化很小，故判读极为粗略。一般单目判读距离不超过 5m。
单眼观察空间物体是不能产生立体视觉的。但对于熟悉的物体，由于经验，往往在大脑中把一平面上的像想象为一空间物体。
当用双目观察物体时，同一物体在左右两眼中分别产生一个像，这两个像在视网膜上的分布只有适合几何上某些条件时才可以产生单一视觉，即两眼的视觉汇合到大脑中成为一个像，这种印象是出自心理和生理的。
视差角
视差角：当双目观察物点A时，两眼的视轴对准A点，两视轴之间的夹角θ称为视差角。
视觉基线：两眼节点J1和J2的连线，其长度以b表示。
物体远近不同时，视差角θ随之变化，人眼通过肌肉紧张程度感知距离差异。
当物点A到基线的距离为L时，视差角θA满足：
其中：θA为视差角（弧度），b为视觉基线长度，L为物点到基线的垂直距离。
注：此公式适用于L≫b的小角度近似情况。
设视觉基线b=65mm，物点A距离L=0.5m。
计算视差角θA：
转换为角度制：0.13×π180≈7.45∘。
当b=65mm，L=10m时：
此时视差角仅0.37∘，说明距离越远视差角越小，立体感减弱。
已知视觉基线b=62mm，物点A到基线的距离L=1.2m。求视差角θA（弧度）。
答案
解：
两物点A(LA=1m)和B(LB=3m)，基线b=60mm。
求θA/θB比值，并说明距离感知差异。
答案
解：
比值：
A点视差角是B点的3倍，说明人眼对近距离物体距离变化更敏感。
设人眼可分辨的最小视差角θmin=0.0003rad（约1角分），基线b=65mm。
求能分辨远近的最小距离Lmin。
答案
解：
由θmin=b/Lmin得：
超过此距离时，人眼无法通过视差角分辨远近。
立体视差
立体视差：当两个物体点与观察者的距离不同时，它们在双眼视网膜上形成的像与黄斑中心的距离不同，导致视差角存在差异。该差异Δθ称为立体视差。
立体视差Δθ与人眼感知的纵向深度成正比：Δθ越大，纵向深度感越强；Δθ越小，纵向深度感越弱。
人眼能感知的最小Δθ值称为体视锐度Δθmin，其典型值约为10′′（角秒），经训练可降至5′′至3′′。
立体视差公式为：
其中：b是瞳孔间距（基线长度，约65mm），d1和d2分别是两个物体到观察者的距离（d1<d2），Δθ单位为弧度，需转换为角秒（1rad=206265′′）。体视锐度Δθmin反映了人眼深度分辨极限。
假设两个物体分别位于d1=5m和d2=10m处，瞳孔间距b=0.065m。计算立体视差Δθ。
首先，计算视差角差：
转换为角秒：
这表明物体间深度感明显，因Δθ远大于体视锐度10′′。
比较两个场景：场景A中物体距离d1=2m, d2=2.1m；场景B中d1=20m, d2=20.1m。瞳孔间距b=0.065m。
计算场景A的Δθ：
场景B的Δθ：
ΔθA>ΔθB，故场景A的深度感更强。场景B的ΔθB≈3.32′′接近训练后体视锐度3′′，人眼可能难以分辨深度。
给定体视锐度Δθmin=10′′，瞳孔间距b=0.065m。若一个物体固定在d1=5m处，求人眼能分辨的最近另一物体距离d2（即最小深度差）。
答案
首先，将Δθmin转换为弧度：
代入公式：
代入已知值：
解方程：
先计算括号内：
即：
因此：
最小深度差Δd=d2−d1≈0.0187m=1.87cm。
一个物体在d1=8m处，另一物体在d2=8.5m处，b=0.065m。计算Δθ并判断人眼是否能感知深度（假设未训练，Δθmin=10′′）。
答案
计算Δθ：
转换为角秒：
比较Δθmin=10′′：98.6′′>10′′，故人眼能清晰感知深度。
若经训练，体视锐度降至Δθmin=5′′。原在d1=10m处物体，未训练时可分辨最小d2=10.05m。求训练后最小可分辨d2。
答案
先求未训练时Δθmin对应的深度差。
未训练Δθmin=10′′=20626510rad≈4.848×10−5rad。
公式：
代入d1=10m, b=0.065m：
解得d2≈10.05m（已知）。
训练后Δθmin=5′′=2062655rad≈2.424×10−5rad。
代入公式：
解：
训练后最小d2≈10.037m，深度差减小，分辨能力提升。
在驾驶场景中，车辆A在d1=50m处，车辆B在d2处。瞳孔间距b=0.065m，体视锐度Δθmin=10′′。求人眼能分辨车辆B的最小距离d2（即避免碰撞的临界距离）。
答案
公式：
代入Δθmin=20626510rad≈4.848×10−5rad, d1=50m, b=0.065m。
计算括号内：
代入：
解：
最小d2≈51.94m，即车辆B需在约52m外才能被分辨深度。
立体视觉半径
立体视觉半径Lmax是人眼能分辨物体远近的最大距离，定义为当物点对应的视差角θ等于最小可分辨视差角Δθmin时的距离。
其中：b为人眼两瞳孔间的平均距离（标准值62mm），Δθmin为最小可分辨视差角（标准值10′′），θ为物点视差角，无限远物点θ∞=0。
计算得Lmax=62mm×10′′206265≈1200m。
立体视觉半径以外的物体，人眼无法分辨其远近。
在某些情况下，如物体位于两眼基线的垂直平分线上或被遮蔽时，立体视觉可能被破坏，可通过移动头部恢复。
推导过程
视差角θ定义为物体对两眼的张角，θ=Lb，其中L是物体距离。
当θ减小到Δθmin时，对应Lmax，故Lmax=Δθminb。
单位转换：Δθmin以角秒为单位，1弧度=206265角秒，所以Δθmin（弧度）=206265Δθmin。
因此，Lmax=Δθmin/206265b=b×Δθmin206265。
代入b=62mm=0.062m，Δθmin=10′′，得Lmax=0.062×10206265≈1200m。
给定b=62mm，Δθmin=10′′，计算Lmax。
解：Lmax=62×10−3m×10206265=62×10−3×20626.5≈1200m。
假设最小可分辨视差角Δθmin=8′′，瞳孔间距b=62mm，求立体视觉半径Lmax。
答案
Lmax=Δθminb=8/20626562×10−3。
先计算Δθmin弧度：2062658。
Lmax=62×10−3×8206265。
206265/8=25783.125。Lmax=0.062×25783.125≈1598.5m。
解释为什么当物体位于两眼基线的垂直平分线上时，立体视觉可能被破坏。
答案
物体位于垂直平分线上时，像不位于视网膜对应点。
导致双目视差异常，产生双像。
破坏距离判断的立体视觉。
移动头部可改变视角，恢复对应点成像。
某人瞳孔间距b=58mm，最小视差角Δθmin=12′′，求其立体视觉半径Lmax。
答案
Lmax=Δθminb=12/20626558×10−3。
计算Δθmin弧度：20626512。Lmax=58×10−3×12206265。206265/12=17188.75。Lmax=0.058×17188.75≈996.5m。
如图所示，点C被点D遮蔽，右眼看不到点C的像，解释如何恢复立体视觉。
答案
遮蔽导致点C像在右眼缺失。无法估计点C的精确位置。
移动头部改变观察角度。使点C在右眼单独成像。恢复双目视差，重建立体视觉。
立体视觉阈ΔL：双眼能分辨两点间的最短深度距离，表示深度方向的最小可分辨距离。当视角差为Δθ时，立体视觉阈由下式给出：
当Δθ取最小值Δθmin（体视锐度）时，ΔL即为双目立体视觉误差。将b=62mm，Δθmin=10′′=0.00005代入上式，得ΔL=8×10−4L2。
体视锐度Δθmin：人眼能分辨的最小视角差，通常为10′′（角秒），即0.00005弧度，表示双眼对深度变化的敏感度。
体视半径R：双眼能分辨深度距离的最大范围，由下式定义：
其中：L为物体距离，b为基线长度（双眼瞳孔间距），Δθ为视角差。该公式适用于L<R/10，R为体视半径，否则误差较大。体视半径限制了立体视觉公式的有效应用范围。
由Lmax=62mm×10′′206265≈1200m和ΔL=8×10−4L2可知，若通过双目光学系统（双目望远镜和双目显微镜）来增大基线b或增大体视锐度Δθmin（即减少Δθmin值），则可以增大体视半径和减少立体视觉。
推导过程
从立体视觉基本关系式θ=Lb（近似为视角θ与距离L的关系）微分：
因此：
取绝对值并近似为差分形式：
当Δθ=Δθmin时，ΔL为最小可分辨深度误差。
给定b=62mm，Δθmin=10′′=0.00005，代入公式ΔL=bΔθminL2：
当L=100m时：
ΔL=0.0620.00005×(100)2=8m立体视觉误差为8m。
当L=0.25m（明视距离）时：
ΔL=0.0620.00005×(0.25)2≈5×10−5m=0.05mm立体视觉误差仅为0.05mm。
通过双目光学系统（如双目望远镜或显微镜）增大基线b或减少Δθmin，可减小立体视觉误差。例如：
标准人眼b=62mm，Δθmin=10′′，体视半径R=2×0.000050.062=620m。
使用3m基线测距机（b=3000mm），假设Δθmin不变：
ΔL=30.00005L2=1.67×10−5L2当L=100m时，ΔL≈0.167m，误差显著减小。同时体视半径增大至R=2×0.000053=30000m。
已知人眼体视锐度Δθmin=10′′，基线b=62mm。计算当物体距离L=50m时的立体视觉误差ΔL，并验证是否满足L<R/10条件。
答案
先计算体视半径R：
R/10=62m，L=50m<62m，满足条件。代入公式：
立体视觉误差约为2.016m。
若使用双目望远镜将基线增大至b=124mm，体视锐度Δθmin保持10′′。求当L=100m时的ΔL，并与原基线b=62mm时的误差比较。
答案
新基线下的公式：
原基线下的ΔL（从已知）为8m。比较：
误差减小比 = ΔL新ΔL原=4.0328≈1.98倍，即基线增大一倍，误差约减小一半。
假设通过训练，人眼体视锐度提高至Δθmin=5′′，基线b=62mm不变。计算体视半径R和当L=100m时的ΔL。
答案
先计算新体视半径：
Δθmin=5′′=5×648000π≈0.0000242弧度。立体视觉误差：
与原Δθmin=10′′时的8m相比，误差减小。
已知b=62mm，Δθmin=10′′，体视半径R=620m。若物体距离L=100m，计算ΔL，并说明为何公式ΔL=bΔθminL2在此距离下误差较大。
答案
先计算ΔL：
但L=100m，R/10=62m，L>R/10（100>62），不满足L<R/10条件。因此，公式基于小角度近似失效，实际误差较大。原因：当L接近R时，视角差Δθ非线性增大，公式高估了ΔL。