7.5目镜
目镜
目镜：目镜的作用类似于放大镜，将物镜所成的像放大在人眼的远点或明视距离供人眼观察。
目镜的视场光阑位于目镜的前焦平面上，与物镜的视场光阑重合。
目镜的孔径光阑与物镜的孔径光阑重合，出瞳位于目镜的后焦平面附近。出瞳直径一般为2～4mm，测量仪器可小于2mm以提高精度，军用仪器如坦克瞄准镜可达8mm以适应困难观察条件。
其主要光学参数包括焦距fe′、视场角2ω′、相对镜目距P′/fe′和工作距离lF。
其中：fe′表示目镜的像方焦距，2ω′表示像方视场角（全角），P′表示镜目距（眼点到目镜的距离），lF表示工作距离（目镜最后一面到像面的距离）。
视场角
目镜视场角：目镜的视场取决于望远镜的视觉放大率Γ和物方视场角2ω，关系式为：
其中：ω′为像方半视场角，ω为物方半视场角，Γ为视觉放大率。
一般目镜的视场角范围为40∘∼50∘，广角目镜可达60∘∼80∘，双目仪器的目镜视场不超过75∘。
推导过程
推导基于几何光学原理。在望远镜系统中，物镜成像在目镜的物方焦平面，目镜将此像放大。
视觉放大率定义为Γ=tanωtanω′，这源于光路图中的角度相似性。
具体地，物方视场角ω对应入射光束的角度，像方视场角ω′对应出射光束的角度。
通过光路追迹或相似三角形关系，直接导出tanω′=Γtanω。
该公式在郁道银《工程光学》中为标准推导。
假设望远镜视觉放大率Γ=10，物方视场角2ω=6∘，求像方视场角2ω′。
半视场角ω=3∘，tanω=tan3∘≈0.0524。
代入公式：tanω′=Γtanω=10×0.0524=0.524。
ω′=arctan(0.524)≈27.6∘，因此2ω′≈55.2∘。
这属于一般目镜视场范围。
一个广角目镜的视场角2ω′=70∘，视觉放大率Γ=15，求物方视场角2ω。
半视场角ω′=35∘，tanω′=tan35∘≈0.7002。
由公式：tanω′=Γtanω，得tanω=150.7002≈0.04668。
ω=arctan(0.04668)≈2.67∘，因此2ω≈5.34∘。
这体现了广角目镜对物方视场的压缩。
给定视觉放大率Γ=8，物方半视场角ω=4∘，求像方半视场角ω′。
答案
计算：tanω=tan4∘≈0.0699。
tanω′=Γtanω=8×0.0699=0.5592。
ω′=arctan(0.5592)≈29.2∘。
如果像方视场角2ω′=50∘，视觉放大率Γ=12，求物方视场角2ω。
答案
半视场角ω′=25∘，tanω′=tan25∘≈0.4663。
由tanω′=Γtanω，得tanω=120.4663≈0.03886。
ω=arctan(0.03886)≈2.22∘。
2ω≈4.44∘。
解释为什么双目仪器的目镜视场不超过75∘，并计算当Γ=10时，最大允许的物方视场角2ω。
答案
双目仪器视场受限源于人眼舒适度和光学像差控制。
最大像方半视场角ωmax′=37.5∘（因2ω′≤75∘）。
tanωmax′=tan37.5∘≈0.7673。
由公式：tanω′=Γtanω，得tanω=100.7673=0.07673。
ω=arctan(0.07673)≈4.39∘。
最大物方视场角2ω≈8.78∘。
一个目镜焦距fe′=20mm，视觉放大率Γ=15，物方视场角2ω=5∘。
求像方视场角2ω′，并讨论工作距离lF=15mm是否影响计算结果。
答案
半视场角ω=2.5∘，tanω=tan2.5∘≈0.0436。
tanω′=Γtanω=15×0.0436=0.654。
ω′=arctan(0.654)≈33.2∘，所以2ω′≈66.4∘。
工作距离lF影响眼点位置，但不影响视场角公式，因该公式仅依赖Γ和ω。
视场角计算独立于焦距和工作距离。
镜目距
镜目距：目镜后表面的顶点到出瞳的距离，记为P′。
相对镜目距：镜目距与目镜焦距fe′之比，即fe′P′。
根据牛顿公式，镜目距计算为：
相对镜目距为：
其中：P′为镜目距（单位：mm）；lF′为目镜后截距（单位：mm）fe′为目镜焦距（单位：mm）f0′为物镜焦距（单位：mm）Γ为系统放大倍率（无量纲）
当放大倍率Γ较大时，P′≈lF′。对于固定型式的目镜，相对镜目距近似为常数。镜目距最小值不得小于6mm，设计时需根据视场角2ω和P′要求确定目镜型式，并通过相对镜目距初步计算fe′。
假设一望远镜物镜焦距f0′=200mm，目镜焦距fe′=20mm，放大倍率Γ=10，目镜后截距lF′=15mm。计算镜目距P′。
使用公式(7-51)：
相对镜目距为fe′P′=2017=0.85。
一显微镜要求镜目距P′=10mm，放大倍率Γ=15，目镜后截距lF′=8mm。求目镜焦距fe′的最小值。
由公式(7-51)变形：
相对镜目距fe′P′=3010≈0.333，满足最小6mm要求。
一光学系统物镜焦距f0′=150mm，目镜焦距fe′=25mm，目镜后截距lF′=12mm。计算放大倍率Γ和镜目距P′。
答案
放大倍率Γ=fe′f0′=25150=6。
镜目距P′=lF′+Γfe′=12+625≈12+4.167=16.167mm。
相对镜目距fe′P′=2516.167≈0.6467。
设计一目镜，要求相对镜目距为0.5，目镜焦距fe′=18mm。验证镜目距P′是否满足最小6mm要求。
答案
相对镜目距fe′P′=0.5，所以P′=0.5×fe′=0.5×18=9mm。
9mm > 6mm，满足最小镜目距要求。
当放大倍率Γ从5增加到20时，镜目距P′如何变化？已知lF′=10mm，fe′=25mm。
答案
公式P′=lF′+Γfe′。
当Γ=5时，P′=10+525=10+5=15mm。
当Γ=20时，P′=10+2025=10+1.25=11.25mm。
放大倍率增大，P′减小，且趋近于lF′=10mm。
一仪器要求镜目距P′=8mm，相对镜目距0.4。计算目镜焦距fe′和后截距lF′，假设放大倍率Γ=10。
答案
相对镜目距fe′P′=0.4，所以fe′=0.4P′=0.48=20mm。
由公式(7-52)：fe′P′=fe′lF′+Γ1。
代入：0.4=20lF′+101=20lF′+0.1。
解得：20lF′=0.3，所以lF′=0.3×20=6mm。
工作距
工作距 lF：目镜第一面的顶点到其物方焦平面的距离。
视度调节：为适应近视眼（远点有限）和远视眼（近点较远），目镜需沿光轴移动。调节范围一般为 ±5D（屈光度），工作距必须大于最大移动量。
移动量 x：目镜相对视场光阑（分划板）的位移：
其中：fe′ 为目镜像方焦距（单位：mm），x 为移动量（单位：mm），±5D 对应视度变化范围（1D=1m−1）。
推导过程
视度 D 定义为 D=f′1（f′ 以米为单位）。
当目镜移动 x 时，视度变化 ΔD≈−fe′2x（一阶近似）。
设 ΔD=±5D，且 fe′ 以 mm 为单位，则 D=fe′1000。
代入得：
解得：
给定目镜像方焦距 fe′=20mm，求视度调节至 +5D 时的移动量 x。
解：
代入公式：
目镜需向像方移动 2mm。
若目镜工作距 lF=8mm，最大移动量 ∣x∣=3mm（对应 ±5D）。
验证工作距是否满足要求：lF>∣x∣max，即 8>3，符合设计。
目镜焦距 fe′=25mm，求视度调节至 −5D 时的移动量 x。
答案
代入公式：
目镜需向物方移动 3.125mm。
目镜移动 x=−2mm 后，视度变化为 −4D。求目镜焦距 fe′。
答案
由公式 x=1000ΔD⋅fe′2：
解得：
目镜工作距 lF=6mm，焦距 fe′=30mm。
问：工作距是否满足 ±5D 调节需求？
答案
先求最大移动量 ∣x∣：
比较：lF=6mm>4.5mm，满足要求。
要求工作距 lF≥5mm，且支持 ±5D 调节。
求目镜焦距 fe′ 的最小允许值。
答案
由 lF≥∣x∣max 和 ∣x∣max=10005fe′2：
解得：
最小焦距为 31.62mm。
常见目镜
惠更斯目镜由靠近物镜的场镜和靠近眼睛的接目镜组成，场镜所成的像平面即为接目镜的物平面。
而场镜和接目镜的像差是互相补偿的，因此当观察到的物体是清晰的时候，视场光阑是不清楚的，故在惠更斯目镜中，不宜放分划板，测试仪器也不能选用这种结构。
惠更斯目镜的视场角 2ω′=40∘∼50∘，相对镜目距约 P′/fe′≈1/3，焦距不小于 15mm。
其场镜向接目镜移近，使物镜的像平面移岀目镜，可以设置分划板。
冉斯登目镜的视场角2ω′=30∘∼40∘，相对镜目距P′/fe′≈1/3。
凯涅尔目镜由场镜和双胶合接目镜组成，像质优于冉斯登目镜。
光学特性为2ω′=45∘∼50∘，P′/f′≈1/2，截距lF和lF′近似地表示为lF≈0.3f′，lF′≈0.4f′，因此，出瞳靠近目镜。
目镜总长度近似为1.25f′。
无畸变目镜并非完全校正了畸变，只是畸变小些，适用于测量仪器。
其光学特性为2ω′=48∘，P′/f′≈0.8，在40∘视场时的相对畸变为3%∼4%。
有的军用仪器要求较长的出瞳距，例如22∼25mm。选择长出瞳距目镜可以满足这种要求。
其视场2ω′=50∘。截距lF≈0.3f′，lF′≈f′。
开普勒双目望远镜
一个Γ=−5的开普勒望远镜，其物镜的焦距为200mm，物镜口径为40mm，镜框为孔径光阑。
a）如果视场角为±2∘，无渐晕时望远镜的目镜口径应为多少？
b）若物体分别位于物镜左400mm和100mm，相对于第二个透镜对应的像平面分别在哪？
答案
a）目镜口径计算：
由望远镜放大倍率 Γ=−fe′fo′ 得 fe′=−Γfo′=5200=40mm。
镜筒长度 d=fo′+fe′=200+40=240mm。
轴上点边缘光线追迹：
入射高度 h1=2Do=20mm。
物方孔径角 U1=0（无限远物体）。
像方孔径角 U′≈fo′h1=20020=0.1 弧度。
目镜入射高度 h2=h1−dU′=20−240×0.1=−4mm（负号表示光轴下方）。
全视场 ω=±2∘ 主光线追迹：
主光线物方角 Uz=2∘，tanUz≈0.0349。
像方主光线角 tanUz′=tanUz（望远镜角放大率）。
目镜主光线高度 hz2=dtanUz′=240×0.0349≈8.376mm。
无渐晕条件：
目镜半口径需覆盖轴上和轴外光线。re≥∣h2∣+∣hz2∣=4+8.376=12.376mm。
目镜全口径 De≥2×12.376=24.752mm≈24.76mm。
b）像平面位置计算：
纵向放大率 α=β2。
横向放大率 β=Γ1=−51（Γ=−5）。
故 α=β2=(−51)2=251。
定义参考点：Δz：
物面到物镜焦点 F 的距离（光轴右为正）。
Δz′：像面到目镜焦点 F′ 的距离（光轴右为正）。
关系 Δz′=αΔz。
物体在物镜左 400mm：
物镜焦点 F 在物镜左 200mm 处。
物位置 x物=−400mm。Δz=x物−xF=−400−(−200)=−200mm。Δz′=251×(−200)=−8mm。
目镜位置 x目=d=240mm。
目镜焦点 F′ 在 xF′=x目+fe′=240+40=280mm。
像面位置 x像=xF′+Δz′=280−8=272mm。
相对于目镜右 272−240=32mm 处。
物体在物镜左 100mm：
Δz=x物−xF=−100−(−200)=100mm。
Δz′=251×100=4mm。x像=xF′+Δz′=280+4=284mm。
相对于目镜右 284−240=44mm 处。
相关知识点：
望远镜放大倍率公式 Γ=−fe′fo′。
无渐晕条件及光线追迹原理。
纵向放大率与横向放大率关系 α=β2。
牛顿公式在光学系统中的应用。
有限距离物体在望远镜中的成像位置计算。