畸变

畸变：

畸变是光学系统中主光线的像差，表现为主光线与高斯像面交点的高度yz′​不等于理想像高y′，其差值δyz′​称为畸变。

畸变是由于透镜的放大率随光束与光轴夹角变化而引起的，光线离光轴越远畸变越大，但通过光轴的光线不发生畸变。

相对畸变：

其中βˉ​为实际垂轴放大倍率，β为理想垂轴放大倍率。

相对畸变对应于直线像的弯曲度（线像长度除以弯曲半径），且

当弯曲度小于4%时，人眼难以察觉畸变。

其中：yz′​为主光线与高斯像面交点高度，y′为理想像高，δyz′​为畸变量，βˉ​为实际放大率，β为理想放大率。

考虑一个透镜系统，理想像高y′=10mm，主光线交点高度yz′​=10.5mm。

畸变量δyz′​=yz′​−y′=10.5−10=0.5mm。

相对畸变q′=100.5​×100%=5%。

弯曲度弯曲度=2q′​=2.5%，小于4%，人眼不易察觉。

一个光学系统的理想像高y′=8mm，实测主光线交点高度yz′​=7.6mm。

求畸变量δyz′​和相对畸变q′。

已知一个透镜的理想垂轴放大倍率β=−0.5，某视场的实际放大倍率βˉ​=−0.52。

计算相对畸变q′，并判断畸变类型。

一个成像系统中，相对畸变q′=6%。

求线像的弯曲度，并判断是否可被人眼察觉。

一个相机镜头，物高y=20mm，物距l=−100mm，像距l′=50mm。

理想放大倍率β=−ll′​=−−10050​=0.5。

实际测量像高yˉ​′=9mm。

求畸变量δyz′​和相对畸变q′。

畸变特性

畸变：

仅与视场相关的垂轴像差，表现为不同视场区域的实际垂轴放大倍率不同。

其特性包括：

1. 不影响成像清晰度，仅改变轴外物点在理想像面上的成像位置，导致像的形状失真

2. 成因是透镜放大率随光束与主轴夹角θ变化：

   • 

   • 当θ增大时放大率增大 → 正畸变（枕形畸变）图b

   • 当θ增大时放大率减小 → 负畸变（桶形畸变）图c

3. 空间分布规律：

   • 光线离主轴越远，畸变越显著

   • 通过主轴且与主轴正交的光线无畸变

4. 物像对应关系：

   • 正畸变：物点离轴越远，像点离轴更远（放大率>1）

   • 负畸变：物点离轴越远，像点离轴更近（放大率<1）

现象描述：

• 图a：垂直于光轴的正方形物

• 正畸变：像呈外凸枕形（图b虚线为理想像）

• 负畸变：像呈内凹桶形（图c虚线为理想像）

成因分析：
边缘视场放大率βedge​与中心视场放大率βcenter​关系：

当Δβ>0为枕形畸变，Δβ<0为桶形畸变

实际表现：

• 广角镜头：常见桶形畸变（边缘直线内弯）

• 长焦镜头：常见枕形畸变（边缘直线外凸）

修正方法：

1. 光学设计：采用对称式结构

2. 软件校正：基于畸变函数δy′=f(tanω)数字修正
   其中ω为视场角，δy′为理想像高与实际像高差

某透镜成像时，边缘视场放大率为中心视场的1.05倍，求畸变类型及百分比

畸变的级数展开式

畸变是一种光学像差，表现为像的变形，仅与物高 y 或视场角 ω 有关，且随 y 的符号改变而变号（正 y 对应正畸变，负 y 对应负畸变）。
其级数展开式为：

其中第一项 A1​y3 称为初级畸变，第二项 A2​y5 称为二级畸变。

展开式中没有 y 的一次项，因为一次项表示理想像高（即无畸变时的像高）。

当在边缘视场 ym​ 处将畸变校正到零时，在 0.775ym​ 视场处有最大的剩余畸变，其值为高级畸变（二级及以上项）的 0.186 倍。

其中：δyz′​ 表示畸变引起的像高偏差，y 表示物高，A1​,A2​,… 是畸变系数（单位取决于系统），ym​ 是最大物高。

一个透镜系统畸变系数 A1​=0.0015mm−2, A2​=0。
计算物高 y=10mm 时的畸变值。
根据级数展开：

这表示正畸变（桶形畸变），像高被放大。

一个光学系统畸变展开为 δyz′​=0.002y3−0.0001y5。

计算当物高 y=12mm 时的畸变值。

畸变展开为 δyz′​=A1​y3+A2​y5，在 ym​=30mm 处校正到零。

求系数 A1​ 和 A2​ 的关系，并计算在 y=0.775ym​ 处的剩余畸变（用 A2​ 表示）。

为什么畸变级数展开中没有 y 的一次项？结合光学系统原理说明。

一个系统畸变展开为 δyz′​=0.001y3+0.00005y5。

求在物高范围 0 到 25mm 内，畸变最大的位置及值。

初级畸变分布式和分布系数

初级畸变分布式：

描述光学系统初级畸变在像面上的分布，表征像点沿子午方向的偏移量。

分布系数：

或等价形式：

表征各光学表面对畸变的贡献权重。

其中：δyz′​像点沿子午方向的畸变偏移量；nk′​像空间折射率；uk′​像方孔径角；SIII​初级像散分布系数；SIV​初级场曲分布系数；iz​辅助光线在表面入射角；i主光线在表面入射角；lz​辅助光线物距；uz​辅助光线孔径角；J拉格朗日不变量。

设焦距f′=100mm的凸透镜，孔径角uk′​=0.2，nk′​=1.0，SV​总和为0.05。

畸变量：

表明像点向内偏移0.125mm。

第一透镜SV1​=0.03，第二透镜SV2​=0.02，nk′​=1.5，uk′​=0.15。

总畸变：

已知光学系统：SIII​=0.01，SIV​=0.02，iz​=5∘，i=10∘。求SV​。

系统参数：nk′​=1.0，uk′​=0.25，各表面SV​值：0.01,0.02,0.015。求δyz′​。

若uk′​从0.2增至0.3，SV​总和不变（0.06），分析δyz′​变化趋势。

畸变的校正

由初级畸变分布系数：

可知

若孔径光阑与球面的球心重合，则 iz​=0，导致 SV​=0，该球面不产生畸变。

畸变产生的原因有二：光阑位置的正弦差（公式中前部 SIII​+SIV​ 相关）和角倍率（公式中后部 iiz​​ 相关）。

因此，仅满足光阑位置的正弦条件：

不能消除畸变，还需满足角倍率的正切条件：

完全消除畸变困难，因为消畸变的正切条件和消光阑彗差的正弦条件无法同时满足。

对于 β=−1 的对称光学系统，光阑位于系统中间，前部系统和后部系统的畸变大小相等、符号相反，畸变自动校正。

考虑一个单球面透镜，曲率半径 r=100 mm，物距 l=−200 mm，像距 l′=400 mm，折射率 n=1.0，n′=1.5，光阑位于球心。计算 iz​=0，代入 SV​ 公式：

畸变为零，图像无变形。

一个 β=−1 的双透镜对称系统，光阑居中。前部系统畸变系数 SV1​=0.02，后部系统 SV2​=−0.02。总畸变：

畸变自动校正，验证了对称性原理。

系统：n=1.0，n′=1.8，y=15 mm，y′=25 mm，Uz​=25∘。求满足正切条件 nytanUz​=n′y′tanUz′​ 的 Uz′​。