平面镜成像

平面光学元件是指工作面均为平面的光学零件（平面反射镜、平行平板、反射棱镜、折射棱镜、光楔等）

作用：改变光路方向、使倒像转换为正像、分光、转折光路、折叠光路

平面镜成像性质

大小相等虚实相反

平面反射镜是唯一能成完善像的最简单的光学元件，即物体上任意一点发出的同心光束经过平面镜后仍为同心光束，其反射面为平面。

根据反射定律，任意入射光线满足i=−i′（入射角等于反射角）。

当曲率半径r→∞时，由球面镜公式推导得：

其中：

• l为物距（实物l>0，虚物l<0）

• l′为像距（实像l′>0，虚像l′<0）

• β为横向放大率

成像特点：

1. 实物（l>0）成虚像（l′<0），虚物（l<0）成实像（l′>0）

2. 像与物大小相等（∣β∣=1）且正立

3. 像物关于镜面对称：若物点坐标为(x,y)，则像点为(−x,y)

设物体位于镜前l=20cm处（实物）：

• 像距l′=−20cm（虚像）

• 像高h′=βh=h（等大）

• 对称性：物在镜面左侧20cm，像在镜面右侧20cm

会聚光束入射平面镜（虚物l=−15cm）：

• 像距l′=−(−15)=15cm>0（实像）

• 放大率β=1，成像无缩放

• 光线路径：会聚光束经反射后仍会聚于实像点

物点A位于平面镜前30cm处，高度h=5cm。求：

1. 像点A′的位置

2. 像的高度h′

3. 作图验证对称性

一会聚光束本应交于镜后25cm处（虚物），经平面镜反射后成像于何处？像的性质如何？

坐标系对称

平面镜成像遵循反射定律，物像关于镜面对称。设物点坐标为(x,y,z)，像点坐标为(x′,y′,z′)，镜面位于z=0平面时：

其中：

• (x,y,z)为物点空间坐标（右手坐标系）

• (x′,y′,z′)为像点空间坐标（左手坐标系）

• z轴垂直于镜面，正方向指向物空间

成像特性：

1. 等距性：物距∣z∣等于像距∣z′∣

2. 镜像反转：右手坐标系变换为左手坐标系

3. 横向不变：x,y坐标保持不变

4. 虚像：像点位于镜后，光线实际未汇聚

设物点A(3,4,5)，镜面为xy平面：

• 像点坐标：A′(3,4,−5)

• 原坐标系：从+z方向观察，y轴在右侧（右手系）

• 像坐标系：从+z′方向（即−z方向）观察，y′轴在左侧（左手系）

照镜子时：

• 右手举起 → 镜中"左手"举起

• 物空间y轴向右 → 像空间y′轴向左

物点B(−2,7,10)位于镜前，镜面为xy平面，求：

1. 像点B′坐标

2. 物距与像距关系

3. 从物空间+z轴和像空间+z′轴观察时y轴方位

焦距 f′=20cm 凸透镜前 30cm 放平面镜，物位于平面镜处，镜面垂直光轴。求：

1. 最终成像位置；

2. 成像坐标系属性。

相关知识点：

• 透镜成像公式：l′1​=f′1​+l1​，l<0 为实物，l′>0 为实像（右侧），l′<0 为虚像（左侧）。

• 平面镜成像：物距与像距大小相等、符号相反，像为虚像且坐标系由右手系变为左手系（空间反转）。

• 组合系统成像：需按光线传播顺序逐级计算（先透镜后反射镜），注意物像位置转换。

• 符号规则：光线自左向右传播，透镜左侧为负、右侧为正；平面镜像距以镜面为基准，镜前（入射侧）为负，镜后（反射侧）为正。

旋转特性

当平面镜绕垂直于入射面的轴旋转时，具有以下重要特性：

1. 反射光线旋转规律：入射光线方向不变时，平面镜旋转角度α，反射光线旋转角度θ满足：

   θ=2α

   旋转方向与平面镜相同。

2. 成像旋转特性：物体绕垂直于镜面的轴旋转角度β时，其像反方向旋转相同角度β。

   β′=−β

其中：

• α：平面镜旋转角度（顺时针为正）

• θ：反射光线旋转角度

• β：物体旋转角度

公式推导：

设初始入射角I，反射角−I″=I。平面镜旋转α后：

• 新入射角 I1​=I+α

• 新反射角 −I1″​=I1​+α

• 反射光线旋转角度：

  θ​=−I1′′​+α−(−I′′)=I1​+α−I=(I+α)+α−I=2α​

某激光准直系统使用平面镜调整光束方向。初始反射角30∘，需将反射光线偏转4∘。求平面镜需旋转的角度。

解：
由θ=2α得：α=θ/2=4∘/2=2∘

需顺时针旋转2∘。

手表指针在平面镜中顺时针旋转15∘，求像的旋转方向和角度。

解：

由成像特性：像反方向旋转相同角度

∴ 像逆时针旋转15∘。

平面镜初始反射角45∘，将平面镜逆时针旋转5∘后：
(1) 求新反射角
(2) 求反射光线旋转角度
(3) 说明旋转方向

测量系统要求反射光线方向误差<0.1∘。求平面镜安装角度允许的最大偏差。

物体顺时针旋转β时，证明像逆时针旋转β。

多次反射成像

平面镜系统由多个平面镜组成，光线在其中经过多次反射。设反射次数为n：

• 当n为奇数时，最终像与物成镜像关系（左右颠倒）

• 当n为偶数时，最终像与物完全一致

其中：n为光线在平面镜系统中的总反射次数。

物点A位于(x,y,z)，经单平面镜（n=1，奇数）反射：

像点A′坐标为(x,y,−z)

此时像与物左右方向相反（如右手像变为左手像）

物点B经两个平面镜连续反射（n=2，偶数）：

第一次反射生成中间像B1′​（镜像）

第二次反射以B1′​为物生成最终像B′

最终像B′与原始物B坐标和方向完全一致

某潜望镜使用两个平行平面镜，物为箭头→。分析：
(1) 经两次反射后的像方向
(2) 若增加第三个平面镜，像方向变化

光学系统含五个平面镜，物为字母"F"。描述最终像特征：
(1) 是否镜像
(2) 能否与原物重合

平面镜的应用

如图 3 - 4 所示，刻有标尺的分划板位于准直物镜 L的物方焦平面上，标尺零位点（设与物方焦点F重合）发出的光束经物镜L后平行于光轴。

若平面镜 M与光轴垂直，则平行光经平面镜 M反射后原光路返回，重新会聚于焦点F上，这一过程叫做自准直。

若平面镜M转动θ角，则平行光束经平面镜后与光轴成 2θ角，经物镜L后成像于B点，设BF=y，物镜焦距为f′，

此式可用于测量微小角度

若平面镜的转动是由一测杆移动引起的，设测杆支点与光轴的距离为 a，测杆的移动量为 x，则 tanθ≈θ=x/a，代入上式，得

此式可用于测量微小位移

其中：K=a2f′​称为光学杠杆放大倍数。

已知f′=200mm，θ=0.01rad，求y。
解：
y≈2×200×0.01=4mm

已知a=5mm，f′=300mm，x=0.02mm，求y。
解：
K=52×300​=120
y=120×0.02=2.4mm

透镜焦距f′=150mm，测杆支点距光轴a=3mm。求光学杠杆放大倍数K。

测得y=1.5mm，f′=100mm。求平面镜转动角度θ（精确值及近似值）。

系统参数f′=250mm，a=8mm。若测得y=0.5mm，求测杆移动量x。

要求放大倍数K=80，测杆支点a=4mm。求所需透镜焦距f′。

双平面镜

出射光线与入射光线的夹角β仅取决于双平面镜的夹角α，与入射角无关，关系式为：

其中：β为出射光线与入射光线的夹角，α为双平面镜的夹角。

推导基于反射定律和几何关系：

设入射光线经第一镜反射后入射角为I1′′​，第二镜入射角为I2​，在△O1​O2​N中，α=I1′′​−I2​，

由△O1​O2​M，有(−I1​+I1′′​)=(I2​−I2′′​)+β

结合反射定律得β=2(I1′′​−I2​)，故β=2α。

该性质表明，当双平面镜夹角固定时，绕棱边旋转不改变出射光线方向，适用于光路折转系统，降低调整精度要求。

设双平面镜夹角α=30∘，则出射光线与入射光线的夹角β=2×30∘=60∘。
无论入射角如何变化，β恒为60∘，例如入射角I1​=45∘时，经反射后β仍为60∘。

已知双平面镜夹角α=20∘，求β。

测得β=90∘，求α。

设计一光路折转系统，要求β=60∘，且允许镜组±5°安装误差。
计算α并解释为何双平面镜优于单反射镜。

双平面镜系统由两个反射镜PQ和PR组成，夹角为α。

物体位于右手坐标系xyz中，光线先经PQ反射形成一次像x′y′z′（左手坐标系），再经PR反射形成二次像x′′y′′z′′（右手坐标系）。

∠y′′Py=∠y′′Py′−∠yPy′=2∠RPy′−2∠QPy′=2α

连续一次像x′′y′′z′′可视为物体绕棱边P旋转2α角形成，旋转方向由第一反射镜PQ转向第二反射镜PR。

数学表达为：

其中：

• y为物点，

• y′′为连续一次像点，

• P为棱边点。

当α=90∘时，连续一次像重合且与物相对于棱对称。

双面镜夹角α不变时，双面镜转动时连续一次像位置不变。二次反射像与原物坐标系相同，成一致像。

当α=90∘时，先经PQ反射再经PR反射的连续一次像x′′y′′z′′，与先经PR反射再经PQ反射的连续一次像重合。

此时，像点y′′与物点y关于棱P点对称，距离相等但方向相反。

若双平面镜夹角α固定为60∘，但整体绕棱P转动30∘，则连续一次像x′′y′′z′′位置不变。

因为旋转角度2α=120∘固定，且旋转中心在P，像点仅取决于α而非双面镜方位。

设双平面镜夹角α=45∘，光线先经PQ反射后经PR反射。求连续一次像相对于物的旋转角度和方向。

证明：经PQ第一次反射后，像x′y′z′为左手坐标系；经PR第二次反射后，像x′′y′′z′′恢复为右手坐标系。

物点y位于坐标(2,0,0)，棱边P在原点(0,0,0)，双面镜夹角α=30∘，PQ沿x轴。求连续一次像点y′′的坐标（假设旋转方向顺时针）。

推导公式 ∠y′′Py=2α。