6.5场曲和像散
场曲和像散
像散
像散：在光学系统中，当细光束入射时，子午像点和弧矢像点不重合的现象。两者分开的轴向距离称为像散，用xts′表示。
其中：
xt′ 是子午像点位置，由xt′=lt′−l′计算；
xs′ 是弧矢像点位置，由xs′=ls′−l′计算；
t′ 是子午焦点到参考点的距离；
s′ 是弧矢焦点到参考点的距离；
Uz′ 是像空间的光线角度（以光轴为基准，顺时针为正）；
l′ 是参考像点位置（通常取高斯像面）。
随着视场的增大，场曲和像散迅速增大。这是因为场曲和像散随视场的二次方倍（初级像差）和四次方倍（高级像差）增大。
初级子午场曲和弧矢场曲的分布式涉及系数SⅢ（初级像散分布系数）和SⅣ（初级场曲分布系数）。
细光束的场曲与SIII和SIV相关，而SIV为系统结构参数的函数，一般不可能为零。
要校正场曲与像散，应使SIII和SIV异号，但平面像场是永远不能达到的。
推导过程：
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像散公式的推导基于光线追迹和像差理论。考虑细光束在子午面和弧矢面的传播差异。
子午像点位置xt′由子午光线焦点lt′确定：xt′=lt′−l′=t′cosUz′+x−l′。
类似地，弧矢像点位置xs′=ls′−l′=s′cosUz′+x−l′。
两者之差为xts′=xt′−xs′=(t′cosUz′+x−l′)−(s′cosUz′+x−l′)=(t′−s′)cosUz′。
这表明像散取决于焦点位置差和光线角度。
当系统具有像散时，不同像面位置物点的成像情况。
在子午像点 T′处得到一垂直于子午面的短线，称作子午焦线；
在弧矢像点S′ 处，得到一垂直于弧矢平面的短线，称作弧矢焦线，两条焦线互相垂直。
在子午焦线和弧矢焦线中间，物点的像是一个圆斑，其他位置是椭圆形弥散斑。
若光学系统对直线物体成像，由于像散的存在，成像质量与直线的方向密切相关。例如：
当直线位于子午面内时，其子午像是弥散的（模糊），而弧矢像是清晰的。
当直线位于弧矢面内时，其弧矢像是弥散的，而子午像是清晰的。
当直线既不位于子午面也不位于弧矢面内时，子午像和弧矢像均不清晰，导致整体像质下降。
如图为物面是一带有肋线的环轮时，在子午焦面和弧矢焦面的成像情况。
对于宽光束入射，子午像点和弧矢像点同样不重合。
两者之间的轴向距离称为宽光束的像散，以XTS′表示。
其中XT′是宽光束子午像点位置，XS′是宽光束弧矢像点位置。
宽光束像散通常大于细光束像散，因为光束直径增大加剧了像差。
一个光学系统的子午焦点位置t′=50 mm，弧矢焦点位置s′=48 mm，像空间角度Uz′=30∘。计算细光束像散xts′。
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解：
根据公式xts′=(t′−s′)cosUz′。
代入值：t′−s′=50−48=2 mm，cos30∘=√3/2≈0.866。
计算：xts′=2×0.866=1.732 mm。
因此，像散为1.732 mm。
解释为什么SIV（初级场曲分布系数）在一般光学系统中不可能为零，并说明其对成像的影响。
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解：SIV是系统结构参数的函数，与透镜的曲率、厚度、折射率等相关。
在大多数实际系统中，透镜的弯曲和排列导致SIV=0。
例如，单透镜的SIV正比于其光焦度，无法通过简单设计消除。
这使得场曲不可避免，导致像面弯曲，影响边缘视场成像清晰度。
校正需结合SIII，但平面像场不可实现。
一个直线物体与光轴成45∘角，通过有像散的光学系统成像。描述子午像和弧矢像的质量差异。
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解：
由于直线与子午面和弧矢面均不平行（角度为45∘），像散会导致子午像和弧矢像均不清晰。
子午像表现为水平方向模糊，弧矢像表现为垂直方向模糊。
整体像质下降，分辨率降低。
具体可通过MTF（调制传递函数）分析劣化程度。
给定宽光束子午像点位置XT′=120 mm，弧矢像点位置XS′=118 mm。计算宽光束像散XTS′，并比较其与细光束像散的大小。
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解：
根据公式XTS′=XT′−XS′。
代入值：XT′−XS′=120−118=2 mm。
因此，宽光束像散为2 mm。通常，宽光束像散大于细光束像散（如例题1的1.732 mm），因为光束直径增大放大了像差。
初级像散分布式
初级像散分布式：
初级像散分布式由初级子午场曲和弧矢场曲分布式相减而得，表示光学系统的初级像散量。
其中：
xts′是初级像散，表示像点偏离理想位置的量；
nk′是像方折射率；uk′是像方孔径角；
SIII是第三赛德尔系数，表征像散贡献；
k是光学表面数；∑表示对所有表面求和。
当SIII=0时，像散为零，但场曲仍可能存在。
推导过程：
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初级像散分布式源于赛德尔像差系数。式(6-46)为子午像差分布式：
式(6-47)为弧矢像差分布式：
初级像散定义为子午与弧矢像差之差：
代入并简化得：
在标准赛德尔理论中，SII−SIII简化为SIII的贡献，故结果为：
初级像散分布系数：描述系统各面的像散贡献。
其中：SI 是球差分布系数。i 是入射角。iz 是主光线入射角。i′ 是折射角。u 是物方孔径角。
推导过程：
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初级像散系数 SⅢ 基于光线追迹推导。从球差分布系数 S1=(i−i′)(i′−u) 出发，考虑主光线影响：SⅢ=(i−i′)(i′−u)(iiz)2=S1(iiz)2其中 iiz 表示主光线与边缘光线的入射角比值。
一个单透镜系统参数为nk′=1.5,uk′=0.1,∑SIII=0.02。计算初级像散xis′。
解：
一个光学系统有k=3个表面，nk′=1.6,uk′=0.05,1∑3SIII=0.015。求初级像散xis′。
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解：
匹兹伐尔场曲
匹兹伐尔场曲：当像散为零时，像面弯曲以xp′表示，称为匹兹伐尔场曲。
其中：
SIV是第四赛德尔系数；
J是拉格朗日不变量，J=nuy；
n和n′分别是物方和像方折射率；
r是曲率半径。
匹兹伐尔场曲是球面光学系统固有的像差，即使像散为零，像面仍为二次抛物面。
同上系统，若∑SIV=0.01,J=0.05。计算匹兹伐尔场曲xp′。
解：
系统参数：nk′=1.7,uk′=0.08,∑SIV=0.02。计算匹兹伐尔场曲xp′。
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解：
一个球面透镜，n=1,n′=1.5,r=100 mm,J=0.1,nk′=1.5,uk′=0.2。计算匹兹伐尔场曲xp′。
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解：
先计算∑nn′rn′−n=1×1.5×1001.5−1=1500.5=3001。
代入公式：
像散的存在必然引起像面弯曲。
但当像散为零时，子午像面和弧矢像面重合，像面不是平的，而是相切于高斯像面中心的二次抛物面。
场曲由球面本身决定，与像散独立。
假设系统像散为零，SIII=0，但∑SIV=0.01,nk′=1.5,uk′=0.1。描述像面形状并计算场曲。
解答
解：
当像散为零时，子午和弧矢焦点重合，但场曲存在。
像面是相切于高斯像面中心的二次抛物面。
场曲计算：
场曲和轴外球差
宽光束子午场曲：XT′表示子午宽光束交点沿光轴方向到高斯像面的距离
细光束子午场曲：xt′表示子午细光束交点沿光轴方向到高斯像面的距离
轴外子午球差：
宽光束弧矢场曲：XS′表示弧矢宽光束交点沿光轴方向到高斯像面的距离
细光束弧矢场曲：xs′表示弧矢细光束交点沿光轴方向到高斯像面的距离
轴外弧矢球差：
子午像面与弧矢像面：各视场子午像点构成旋转对称的子午像面，弧矢像点构成旋转对称的弧矢像面。
场曲导致平面物体成像为曲面，任何像平面都无法获得完善像。
细光束场曲计算公式：
场曲仅与视场角相关，是轴外点特有像差。轴外点子午细光束的交点和弧矢细光束的交点并不重合，也不在高斯像面上。当视场角为零时，不存在场曲。
其中：
l′为高斯像距
Uz′为像方孔径角
x为物点横向偏移量
t′,s′分别为子午/弧矢截距
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推导过程：
细光束场曲公式由近轴光线追迹导出。对轴外物点：
子午面光线高度：ht=t′sinUz′
弧矢面光线高度：hs=s′sinUz′
轴向偏移量：Δz=2Rh2（R为波面曲率半径）
结合物像共轭关系和高斯公式，经坐标变换得最终表达式
某f'=100mm双凸透镜对无限远物成像：
视场ω=30°时，测得xt′=-0.25mm，xs′=-0.18mm
视场ω=45°时，测得xt′=-0.62mm，xs′=-0.41mm
表明：
子午场曲绝对值大于弧矢场曲
场曲随视场增大而显著增大
负值说明像面向透镜方向弯曲
Petzval镜头通过正负透镜组合使：
其中ϕi为单透镜光焦度，ni为材料折射率。当满足Petzval条件时，子午像面与弧矢像面重合且为平面。
某光学系统测得：
视场20°时XT′=0.15mm，xt′=0.08mm
视场30°时XT′=0.32mm，xt′=0.12mm
计算各视场轴外子午球差并分析变化规律。
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解答：
由δLT′=XT′−xt′
20°视场：δLT′=0.15−0.08=0.07mm
30°视场：δLT′=0.32−0.12=0.20mm
结论：
轴外球差随视场增大而增大
宽光束像点始终在细光束像点右侧
变化率ΔωΔδLT′=10∘0.13=0.013mm/度
已知某物镜：
高斯像距l′=120mm
弧矢截距s′=118.5mm
孔径角Uz′=5°
物点偏移x=10mm
求xs′值并说明物理意义。
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解答：
由公式：
代入：
s′cosUz′=118.5×cos5∘≈118.5×0.9962≈118.07mm
xs′=118.07+10−120=8.07mm
物理意义：弧矢细光束交点位于高斯像面右侧8.07mm处，表明该视场像点向后弯曲。
作图说明当xt′=−0.3mm，xs′=−0.1mm时：
子午像面与弧矢像面空间位置关系
高斯像平面上的弥散斑形状
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解答：
空间关系：
子午像面顶点在zt=l′+xt′=l′−0.3mm
弧矢像面顶点在zs=l′+xs′=l′−0.1mm
子午像面比弧矢像面更靠近透镜
弥散斑特征：
高斯像平面处(z=l′)
子午方向离焦量：∣xt′∣=0.3mm
弧矢方向离焦量：∣xs′∣=0.1mm
形成椭圆弥散斑，长轴沿子午方向
实验测得某透镜不同视场的XT′值：
视场ω(°) | 10 | 20 | 30 |
|---|---|---|---|
XT′(mm) | 0.05 | 0.22 | 0.51 |
拟合场曲经验公式XT′=kω2并确定系数k。
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解答：
计算各视场ω2值：
ω=10° → 100 deg²
ω=20° → 400 deg²
ω=30° → 900 deg²建立方程组：
0.05=k×100
0.22=k×400
0.51=k×900求平均k值：
k1=0.05/100=5×10−4
k2=0.22/400=5.5×10−4
k3=0.51/900≈5.67×10−4
取均值k=5.39×10−4mm/deg2
经验公式：XT′=5.39×10−4ω2
场曲级数展开
场曲：描述光学系统中像面弯曲的像差现象，当视场变化时，最佳像面位置发生弯曲。级数展开式与球差类似，将孔径坐标替换为视场坐标。
其中：
xt(s)′ 表示子午或弧矢场曲量。
y 是归一化视场坐标。
A1,A2,A3,… 是展开系数。
展开式中第一项 A1y2 为初级场曲，第二项 A2y4 为二级场曲。一般取前两项即可满足精度要求。
当边缘视场 ym 校正到零时，0.707ym 处有最大剩余场曲，其值为高级场曲的 −1/4 倍。
初级场曲分布系数：描述系统各面的场曲贡献。
其中：J 是拉赫不变量，J=n(uy−uzh)。n 和 n′ 分别是物方和像方折射率。r 是曲面半径。y 是物高。uz 是主光线孔径角。h 是光线高度。
考虑一个单透镜系统，焦距 f′=100 mm，视场 y=0.5。已知初级场曲系数 A1=−0.02，二级场曲系数 A2=0.001。计算场曲量 xt(s)′。
使用级数展开式：
xt(s)′=A1y2+A2y4=(−0.02)×(0.5)2+0.001×(0.5)4=−0.02×0.25+0.001×0.0625=−0.005+0.0000625=−0.0049375 mm
结果表明场曲导致像面弯曲约 −4.94 μm。
一个光学系统边缘视场 ym=1.0 校正场曲到零。计算 0.707ym=0.707 处的剩余场曲。假设高级场曲系数 A2=−0.008。
最大剩余场曲为高级场曲的 −1/4 倍：
剩余场曲=−41×A2ym4=−41×(−0.008)×(1.0)4=0.002 mm
这表示在 70.7% 视场处有 2 μm 的像面偏移。
一个系统初级场曲系数 A1=−0.03，二级场曲系数 A2=0.005。若视场 y=0.6 时场曲为零，求边缘视场 ym 和 0.707ym 处的剩余场曲。
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设 ym 为边缘视场。由 y=0.6 时场曲为零：xt(s)′=A1(0.6)2+A2(0.6)4=0⟹−0.03×0.36+0.005×0.1296=0⟹−0.0108+0.000648=0方程不成立，需校正。实际中，校正边缘视场 ym 到零：A1ym2+A2ym4=0⟹−0.03ym2+0.005ym4=0⟹ym2(−0.03+0.005ym2)=0解得 ym2=6（取正根），故 ym=√6≈2.449。剩余场曲在 0.707ym≈1.732：剩余场曲=−41A2ym4=−41×0.005×(6)2=−41×0.005×36=−40.18=−0.045 mm
初级子午和弧矢场曲分布式
初级子午场曲：在子午面内由视场引起的像面弯曲量。
初级弧矢场曲：在弧矢面内由视场引起的像面弯曲量。
其中：xs′ 是初级弧矢场曲。xi′ 是初级子午场曲。nk′ 是像方折射率。uk′ 是像方孔径角。1∑k 表示对系统所有面求和。SⅢ 是初级像散分布系数。SⅣ 是初级场曲分布系数。
一个三面系统，各面参数如下：
面1：n1′=1.5, u1′=0.1, SⅢ1=0.002, SⅣ1=0.001
面2：n2′=1.6, u2′=0.08, SⅢ2=0.003, SⅣ2=0.002
面3：n3′=1.0, u3′=0.05, SⅢ3=0.001, SⅣ3=0.001计算系统总初级子午场曲 xi′。
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使用分布式公式：xi′=−2nk′uk′211∑k(3SⅢ+SⅣ)先计算各面贡献：
面1：3×0.002+0.001=0.007
面2：3×0.003+0.002=0.011
面3：3×0.001+0.001=0.004
总和 ∑=0.007+0.011+0.004=0.022
取像方参数（面3）：nk′=1.0, uk′=0.05
xi′=−2×1.0×(0.05)21×0.022=−2×0.00251×0.022=−0.0051×0.022=−200×0.022=−4.4 mm
已知系统拉赫不变量 J=0.05，各面半径 r=50 mm，折射率变化 n′−n=0.5，n=1.0, n′=1.5。
计算单面场曲分布系数 SⅣ，并求当 SⅢ=0.003 时的弧矢场曲 xs′（假设 nk′=1.0, uk′=0.1）。
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先计算 SⅣ：SⅣ=J2nn′rn′−n=(0.05)2×1.0×1.5×500.5=0.0025×750.5=0.0025×0.0066667=1.6667×10−5使用弧矢场曲分布式（单面系统）：xs′=−2nk′uk′21(SⅢ+SⅣ)=−2×1.0×(0.1)21×(0.003+0.000016667)=−0.021×0.003016667=−50×0.003016667=−0.1508 mm
一个双面系统，面1：SⅢ1=0.004, SⅣ1=0.002；面2：SⅢ2=0.003, SⅣ2=0.001。像方参数 nk′=1.2, uk′=0.15。计算子午场曲 xi′ 和弧矢场曲 xs′，并比较。
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先计算子午场曲：∑(3SⅢ+SⅣ)=[3×0.004+0.002]+[3×0.003+0.001]=[0.012+0.002]+[0.009+0.001]=0.014+0.010=0.024xi′=−2×1.2×(0.15)21×0.024=−2×1.2×0.02251×0.024=−0.0541×0.024≈−18.5185×0.024=−0.4444 mm再计算弧矢场曲：∑(SⅢ+SⅣ)=[0.004+0.002]+[0.003+0.001]=0.006+0.004=0.010xs′=−2×1.2×(0.15)21×0.010=−0.0541×0.010≈−18.5185×0.010=−0.1852 mm比较：子午场曲绝对值大于弧矢场曲，表明像散影响较大。