1.3光路计算与近轴光学系统
光路计算与近轴光学系统
曲率和曲率半径
曲率是描述曲线在某点处弯曲程度的几何量。对于平面曲线y=f(x)，曲率κ定义为：κ=(1+(y′)2)3/2∣y′′∣其中：
κ：曲率（单位：m−1）
y′：函数y=f(x)的一阶导数（切线斜率）
y′′：函数y=f(x)的二阶导数（斜率变化率）
半径为R的圆上任意点的曲率为：κ=R1当R=2m时，κ=0.5m−1。半径越小，曲率越大。
直线y=kx+b的曲率恒为零：y′=k, y′′=0⇒κ=(1+k2)3/2∣0∣=0表明直线无弯曲。
抛物线y=x2在顶点(0,0)处的曲率：y′=2x, y′′=2⇒κ=(1+0)3/2∣2∣=2
求双曲线y=x1在点(1,1)处的曲率。
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计算过程：y′=−x21, y′′=x32在x=1处：y′=−1, y′′=2κ=(1+(−1)2)3/2∣2∣=(2)3/22=2√22=2√2
椭圆4x2+y2=1在点(0,1)处的曲率是多少？
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隐函数求导：42x+2yy′=0⇒y′=−4yx在(0,1)处y′=0二阶导：y′′=−16y24y−4xy′(0,1)y′′=−41κ=(1+02)3/2∣∣−41∣∣=41
求y=sinx在x=2π处的曲率。
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导数计算：y′=cosx, y′′=−sinx在x=2π处：y′=0, y′′=−1κ=(1+02)3/2∣−1∣=1
曲率半径R是描述曲线或曲面在某点处弯曲程度的量，定义为该点处曲率κ的倒数：R=κ1
其中：κ表示曲率（描述曲线弯曲程度的量），R表示曲率半径（具有长度量纲）。
对于平面，其曲率κ=0，故曲率半径R→∞。此时平面可视为球面当R→∞的极限特例。
半径为a的圆周上任意点处的曲率半径：κ=a1⇒R=a曲率半径恒等于圆半径。
光学平面反射镜的曲面方程z=0，其高斯曲率K=0，故：Rx→∞,Ry→∞所有方向的曲率半径均为无穷大。
求抛物线y=4x2在顶点(0,0)处的曲率半径。
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曲率公式：κ=(1+y′2)3/2∣y′′∣
一阶导数：y′=2x⇒y′(0)=0
二阶导数：y′′=21
顶点处曲率：κ=(1+0)3/2∣1/2∣=21
曲率半径：R=κ1=2
证明双曲面a2x2−c2z2=1在∣x∣→∞时曲率半径R→∞。
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曲面方程改写：z=±ac√x2−a2
一阶导数：z′=±ac√x2−a2x
二阶导数：z′′=±ac(x2−a2)3/2−a2
曲率公式：κ=(1+z′2)3/2∣z′′∣=(1+a2(x2−a2)c2x2)3/2ac∣x3∣a2∼∣x∣1
当∣x∣→∞时：κ→0⇒R→∞
基本概念与符号规则
在光学系统中，光轴是光线传播的理想参考直线，通常与系统的对称轴重合。
在透镜或反射镜中，光轴是连接光学元件中心和焦点的直线。
光轴方向定义了光线传播的主方向，有助于简化光线追迹和减少像差。
其中：光轴通常用向量 o⃗ 表示，方向为系统的主轴。
在凸透镜中，光轴是透镜的几何对称轴。
当平行光线入射时，它们会汇聚到光轴上的焦点。
例如，一个焦距为 f 的凸透镜，光轴上的点光源成像也在光轴上。
在折射望远镜中，光轴是物镜和目镜的共轴直线。
确保光线从目标物体沿光轴传播到目镜。
这避免了图像偏移，提高观测精度。
包含物点和光轴所确定的平面称为子午面。
在旋转对称光学系统中，子午面具有特殊意义：
所有位于该平面内的光线称为子午光线
光学系统的像差分析常在子午面内进行
与子午面垂直且包含主光线的平面称为弧矢面
其中：
物点：光学系统中的物体点光源
光轴：光学系统旋转对称的中心轴线
物点A(−10,5,0)位于笛卡尔坐标系，光轴为z轴：
求通过A点的子午面方程
若平面镜法向量n⃗=(0,1,1)，判断反射光线是否在子午面内
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子午面方程：
物点坐标A(−10,5,0)
光轴方向向量k⃗=(0,0,1)
平面法向量n⃗=OA⃗×k⃗=(−10,5,0)×(0,0,1)
n⃗=∣∣∣∣∣∣i⃗−100j⃗50k⃗01∣∣∣∣∣∣=(5,10,0)平面方程：5(x+10)+10(y−5)=0
化简得：x+2y=0反射光线判定：
入射光线方向I⃗=A−O=(−10,5,0)
反射公式R⃗=I⃗−2∣n⃗∣2I⃗⋅n⃗n⃗
计算得R⃗=(−10,5,0)−22(−10,5,0)⋅(0,1,1)(0,1,1)
R⃗=(−10,5,0)−(0,15,15)=(−10,−10,−15)检查R⃗是否满足子午面方程x+2y=0：
−10+2×(−10)=−30=0
∴ 反射光线不在子午面内
沿轴线段：光线传播方向自左至右为正方向。以折射面顶点 O 为原点，由顶点到光线与光轴交点（如 A、A′）或球心 C 的方向和光线传播方向相同时取正，相反时取负。
其中：L 表示物距，L′ 表示像距，r 表示曲率半径。垂轴线段：以光轴为基准，在光轴以上为正，在光轴以下为负。
其中：h 表示光线矢高。光线与光轴的夹角：即孔径角，用由光轴转向光线所形成的锐角度量，顺时针为正，逆时针为负。
其中：U 表示入射角，U′ 表示折射角。光线与法线的夹角：由光线以锐角转向法线，顺时针为正，逆时针为负。
其中：I 表示入射角，I′ 表示折射角，I′′ 表示反射角。光轴与法线的夹角：由光轴以锐角转向法线，顺时针为正，逆时针为负。
其中：φ 表示法线角。相邻两折射面间隔：用 d 表示。由前一面的顶点到后一面的顶点，顺光线方向为正，逆光线方向为负。
在折射系统中，d 恒为正值。
在几何图中，负值量前加负号表示绝对值。
考虑一个单折射面系统，光线传播方向向右。物点 A 位于顶点 O 左侧 10 cm 处。
则物距 L 为负，因为从 O 到 A 的方向（向左）与传播方向（向右）相反。故 L=−10 cm。
一条光线位于光轴下方，矢高为 2 mm。则 h 为负，因为以光轴为基准，下方取负值。故 h=−2 mm。
光线从光轴顺时针旋转 30 度与光轴相交。则夹角 U 为正，因为顺时针转向取正。故 U=+30∘。
在折射系统和反射系统中，像距 l′ 和物距 l 的符号遵循笛卡尔符号约定，用于指示像和物的虚实性质。
物距 l 定义为从光学元件顶点到物的距离。
当 l<0 时，表示实物（物位于光线入射侧）。
当 l>0 时，表示虚物（物位于光线传播方向的反侧）。
像距 l′ 定义为从光学元件顶点到像的距离。
当 l′>0 时，表示实像（像位于光线传播方向侧）。
当 l′<0 时，表示虚像（像位于光线传播方向的反侧）。
其中：
l′：像距，单位米（m）。
l：物距，单位米（m）。
考虑一个凸透镜，焦距 f=0.1m，物距 l=−0.2m（实物）。
使用透镜公式 f1=l′1−l1。
代入值：0.11=l′1−−0.21。
计算：10=l′1+5，得 l′1=5，l′=0.2m>0，表示实像。
考虑一个凹透镜，焦距 f=−0.1m，物距 l=−0.15m（实物）。
使用透镜公式 f1=l′1−l1。
代入值：−0.11=l′1−−0.151。
计算：−10=l′1+320，得 l′1=−10−320=−350，l′=−503m<0，表示虚像。
一个凸透镜焦距 f=0.15m，物距 l=−0.3m。求像距 l′ 并判断像的虚实。
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使用透镜公式 f1=l′1−l1。
代入 f=0.15，l=−0.3：
0.151=l′1−−0.31。
320=l′1+310。
l′1=320−310=310。
l′=0.3m>0，表示实像。
一个物体位于凹透镜左侧 0.2m 处，透镜焦距 f=−0.1m。求物距 l 并判断物的虚实。
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物距 l 定义为从透镜顶点到物的距离。
物体在左侧（光线入射侧），所以 l<0。
具体值：l=−0.2m<0，表示实物。
一个凹面镜焦距 f=0.2m，物距 l=−0.4m。求像距 l′ 并判断像的虚实（反射系统公式 f1=l′1+l1）。
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代入公式 0.21=l′1+−0.41。
5=l′1−2.5。
l′1=7.5。
l′=152m>0，表示实像。
一个凸透镜焦距 f=0.1m，物距 l=0.25m。求像距 l′ 并解释物的性质。
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物距 l=0.25m>0，表示虚物。
使用透镜公式 f1=l′1−l1。
代入 f=0.1，l=0.25：
0.11=l′1−0.251。
10=l′1−4。
l′1=14。
l′=141m>0，表示实像。
实际光路计算
计算光线经过单个折射球面的光路时，需基于物方光线坐标和球面参数求解像方光线坐标。
给定球面曲率半径 r、物方介质折射率 n、像方介质折射率 n′、物方截距 L 和物方孔径角 U，求像方截距 L′ 和像方孔径角 U′。
计算过程分为以下步骤：
计算入射角 I：sinI=rL−rsinU
计算折射角 I′：sinI′=n′nsinI
计算像方孔径角 U′：U′=U+I−I′
计算像方截距 L′：L′=r(1+sinU′sinI′)其中：
L：物方截距（光线与光轴交点到球面顶点的距离）。
U：物方孔径角（光线与光轴的夹角，顺时针为负）。
r：球面曲率半径（球心在顶点右侧时为正）。
n：物方介质折射率。
n′：像方介质折射率。
I：入射角（入射光线与法线的夹角）。
I′：折射角（折射光线与法线的夹角）。
U′：像方孔径角。
L′：像方截距。
角度单位为弧度，计算时需注意符号约定：光线方向顺时针为负，逆时针为正。
给定参数：r=100 mm，n=1.0，n′=1.5，L=−200 mm，U=−0.1 rad。计算像方光线坐标。
步骤：
计算 sinI：sinI=rL−rsinU=100−200−100sin(−0.1)=(−3)×(−0.0998)=0.2994 所以 I=arcsin(0.2994)≈0.304 rad。
计算 sinI′：sinI′=n′nsinI=1.51.0×0.2994≈0.1996 所以 I′=arcsin(0.1996)≈0.201 rad。
计算 U′：U′=U+I−I′=−0.1+0.304−0.201=0.003 rad。
计算 L′：L′=r(1+sinU′sinI′)=100(1+sin(0.003)0.1996)≈100(1+0.0030.1996)=100×67.533≈6753.3 mm。
给定参数：r=−50 mm（凹面），n=1.5，n′=1.0，L=150 mm，U=0.2 rad。计算像方光线坐标。
步骤：
计算 sinI：sinI=rL−rsinU=−50150−(−50)sin(0.2)=−50200×0.1987≈−0.7948 所以 I=arcsin(−0.7948)≈−0.916 rad。
计算 sinI′：sinI′=n′nsinI=1.01.5×(−0.7948)≈−1.1922 但 sin 值不能超过 1，需调整：∣sinI′∣>1 表示全反射，实际 I′ 无解，光线无法折射。
给定 r=80 mm，L=−120 mm，U=−0.15 rad。计算入射角 I 的值（弧度）。
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计算 sinI：sinI=rL−rsinU=80−120−80sin(−0.15)=80−200×(−0.1494)=(−2.5)×(−0.1494)=0.3735
所以 I=arcsin(0.3735)≈0.382 rad。
给定 n=1.0，n′=1.6，I=0.25 rad。计算折射角 I′ 的值（弧度）。
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计算 sinI′：sinI′=n′nsinI=1.61.0sin(0.25)≈0.625×0.2474=0.1546所以 I′=arcsin(0.1546)≈0.155 rad。
已知 U=−0.12 rad，I=0.3 rad，I′=0.18 rad。计算像方孔径角 U′。
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直接应用公式：U′=U+I−I′=−0.12+0.3−0.18=0.0 rad。
给定 r=60 mm，I′=0.15 rad，U′=0.05 rad。计算像方截距 L′。
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计算 sinI′ 和 sinU′：sinI′=sin(0.15)≈0.1494,sinU′=sin(0.05)≈0.04996代入公式：L′=r(1+sinU′sinI′)=60(1+0.049960.1494)≈60(1+2.991)=60×3.991=239.46 mm。
近轴光线计的光路计算
在光学系统中，当孔径角 u 很小时，光线位于光轴附近区域称为近轴区，该区域内的光线称为近轴光线。
角度量很小时，正弦值可用弧度值近似（即 sinθ≈θ），并使用小写字母表示相关量。
近轴光线成像公式如下：
其中：
u：物方孔径角（弧度）
i：入射角（弧度）
i′：折射角（弧度）
l：物距（从球面顶点到物点，负值表示物在左）
l′：像距（从球面顶点到像点，负值表示虚像）
r：球面曲率半径（正值表示凸向物方，负值表示凹向物方）
n：物方折射率
n′：像方折射率
在近轴区内，对给定物距 l，像距 l′ 为定值，表明轴上物点以细光束成像完善，该像点称为高斯像。
这基于角度小近似和球面折射几何关系
给定物距 l=−150mm，球面曲率半径 r=50mm，物方孔径角 u=0.05rad。物方折射率 n=1.0，像方折射率 n′=1.5。
使用公式 i=rl−ru 计算入射角。
代入数值：i=50−150−50×0.05=50−200×0.05=−4×0.05=−0.2rad。
因此，入射角为 −0.2rad。
先计算折射角 i′=n′ni=1.51.0×(−0.2)≈−0.1333rad。
然后计算像方孔径角 u′=u+i−i′=0.05+(−0.2)−(−0.1333)=0.05−0.2+0.1333=−0.0167rad。
最后计算像距 l′=r(1+u′i′)=50(1+−0.0167−0.1333)≈50(1+7.982)≈50×8.982=449.1mm。
因此，像距约为 449.1mm。
给定球面曲率半径 r=60mm，物方孔径角 u=0.08rad，物距 l=−120mm。
求入射角 i。
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使用公式 i=rl−ru。
代入数值：i=60−120−60×0.08=60−180×0.08=−3×0.08=−0.24rad。
因此，入射角为 −0.24rad。
已知入射角 i=−0.25rad，物方折射率 n=1.0，像方折射率 n′=1.6。
求折射角 i′。
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使用公式 i′=n′ni。
代入数值：i′=1.61.0×(−0.25)=−0.15625rad。
因此，折射角为 −0.15625rad。
已知物方孔径角 u=0.1rad，入射角 i=−0.3rad，折射角 i′=−0.18rad。
求像方孔径角 u′。
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使用公式 u′=u+i−i′。
代入数值：u′=0.1+(−0.3)−(−0.18)=0.1−0.3+0.18=−0.02rad。
因此，像方孔径角为 −0.02rad。
给定球面曲率半径 r=80mm，折射角 i′=−0.15rad，像方孔径角 u′=−0.05rad。
求像距 l′。
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使用公式 l′=r(1+u′i′)。
代入数值：l′=80(1+−0.05−0.15)=80(1+3)=80×4=320mm。
因此，像距为 320mm。
通过高斯像点且垂直于光轴的平面称为高斯像面，其位置由像距 l′ 决定。
一对构成物像关系的点称为共轭点。
在近轴区内，有
推导过程：
在近轴近似下，光线角度小，(tanU=u=lh)因此物方角度u≈lh和像方角度u′≈l′h。
由u=lh，得lu=h。
由u′=l′h，得l′u′=h。
故l′u′=lu=h。
其中：l为物距（从光学系统第一面到物的距离，物在光轴左为负），l′为像距（到像的距离，像在光轴右为正），u为物方光线角度（以光轴为基准，逆时针为正），u′为像方光线角度，h 为光线在系统入口的高度（垂直于光轴）。
解释为什么在近轴区 l′u′=lu 恒成立，并说明其物理意义。
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在近轴近似下，光线角度小，因此 tanu≈u 和 tanu′≈u′。
光线高度 h 在物方和像方相同（光线连续），故 h=ltanu≈lu 和 h=l′tanu′≈l′u′。
由 lu=h 和 l′u′=h，得 l′u′=lu。
物理意义：该公式表示在近轴区，物像间的光线追迹守恒，高度 h 不变，角度与距离成反比，确保高斯像面上点对点成像。
物距 l=−25cm，物方角度 u=0.12rad，求光线高度 h。
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使用公式 h=lu。
代入值：h=(−25)×0.12=−3cm。
故光线高度为 −3cm（负号表示在光轴下方）。
光线高度 h=4cm，像方角度 u′=−0.2rad，求像距 l′。
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使用公式 l′u′=h。
代入值：l′×(−0.2)=4。
解得 l′=−0.24=−20cm。
故像距为 −20cm（负号表示像在光轴左）。
对于单个折射球面，阿贝不变量 Q 定义为物空间和像空间中的表达式相等：
其中：
n：物空间的折射率
n′：像空间的折射率
r：折射球面的曲率半径（约定：凸向物空间时为正）
l：物距（约定：实物为负值）
l′：像距（约定：实像为正值）
Q：阿贝不变量，对于给定的物像共轭点对，物空间和像空间的 Q 值恒等，且仅随共轭点位置变化。
该公式表明，在单个折射面上，Q 是守恒量，不依赖于介质折射率的具体值，仅由几何参数决定。
考虑一个凸折射球面，曲率半径 r=100,mm，物空间折射率 n=1.0（空气），像空间折射率 n′=1.5（玻璃）。
物距 l=−200,mm（实物）。
首先，使用球面折射公式求像距 l′：l′n′−ln=rn′−n
代入数值：l′1.5−−2001.0=1001.5−1.0l′1.5+0.005=0.005l′1.5=0
因此 l′=∞（像在无穷远）。
现在计算阿贝不变量 Q：Q=n(r1−l1)=1.0(1001−−2001)=1.0(0.01+0.005)=0.015验证使用像空间表达式：Q=n′(r1−l′1)=1.5(1001−0)=1.5×0.01=0.015结果一致，Q=0.015。
考虑一个平面折射面（曲率半径 r=∞），物空间折射率 n=1.0（空气），像空间折射率 n′=1.5（玻璃）。物距 l=−100,mm（实物）。
首先，使用平面折射公式求像距 l′：l′n′−ln=0代入数值：l′1.5−−1001.0=0l′1.5+0.01=0l′1.5=−0.01l′=−150,mm（虚像）。
现在计算阿贝不变量 Q
由于 r=∞，r1=0：Q=n(r1−l1)=1.0(0−−1001)=1.0×0.01=0.01
验证使用像空间表达式：Q=n′(r1−l′1)=1.5(0−−1501)=1.5×1501=1.5×0.00666...=0.01
结果一致，Q=0.01。
给定一个凸折射球面，曲率半径 r=50,mm，物空间折射率 n=1.33（水），像空间折射率 n′=1.0（空气）。
物距 l=−100,mm（实物）。
求阿贝不变量 Q。
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首先求像距 l′ 使用折射公式：l′n′−ln=rn′−n代入数值：l′1.0−−1001.33=501.0−1.33l′1.0+0.0133=50−0.33l′1.0+0.0133=−0.0066l′1.0=−0.0066−0.0133=−0.0199l′≈−50.25,mm（虚像）。
现在计算 Q：Q=n(r1−l1)=1.33(501−−1001)=1.33(0.02+0.01)=1.33×0.03=0.0399验证：Q=n′(r1−l′1)=1.0(501−−50.251)≈1.0(0.02+0.0199)=0.0399Q≈0.0399。
已知阿贝不变量 Q=0.02，物空间折射率 n=1.0，像空间折射率 n′=1.5，曲率半径 r=100,mm（凸面）。
求物距 l。
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使用定义式：Q=n(r1−l1)代入数值：0.02=1.0(1001−l1)0.02=0.01−l1l1=0.01−0.02=−0.01l=−100,mm（实物）。
验证 Q 值：Q=n(1001−−1001)=1.0(0.01+0.01)=0.02结果正确。
考虑一个凹折射球面，曲率半径 r=−100,mm（凹向物空间），物空间折射率 n=1.0，像空间折射率 n′=1.5。
物距 l=−200,mm（实物）。
求阿贝不变量 Q。
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首先求像距 l′ 使用折射公式：l′n′−ln=rn′−n代入数值：l′1.5−−2001.0=−1001.5−1.0l′1.5+0.005=−1000.5l′1.5+0.005=−0.005l′1.5=−0.01l′=−150,mm（虚像）。
现在计算 Q：Q=n(r1−l1)=1.0(−1001−−2001)=1.0(−0.01+0.005)=−0.005验证：$$Q = n' \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{l'} \right) = 1.5 \left( \frac{1}{-100} - \frac{1}{-150} \right) = 1.5 (-0.01 + 0.00666...) \approx 1.5 \times (-0.00333) \approx -0.005$$$Q = -0.005$。
对于单个折射球面，使用球面折射公式 l′n′−ln=rn′−n，证明阿贝不变量 Q=n′(r1−l′1)=n(r1−l1) 在物空间和像空间相等。
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从折射公式出发：l′n′−ln=rn′−n重写为：l′n′−rn′−n=ln左边：l′n′−rn′+rn=ln整理：n′(l′1−r1)+rn=ln移项：n′(l′1−r1)=ln−rnn′(l′1−r1)=n(l1−r1)两边乘以 −1：n′(r1−l′1)=n(r1−l1)这正是 Q 的定义。
因此，Q 在物空间和像空间恒等。
在工程光学中，公式
描述了光线在球面折射界面近轴区域的物方和像方孔径角关系。
其中：
n：物方折射率。
u：物方孔径角（弧度），表示光线与光轴的夹角。
n′：像方折射率。
u′：像方孔径角（弧度），表示折射后光线与光轴的夹角。
h：光线在球面上的高度（距离光轴的垂直距离）。
r：球面的曲率半径（正号表示凸向物方）。
该公式是近轴光学的基础，用于计算光线折射后的角度变化。
它与阿贝不变量Q=n′(r1−l′1)=n(r1−l1)密切相关，在像差理论中用于分析光学系统的成像质量。
阿贝不变量表示球面上物像位置的不变量，该公式可推导出Q的形式。
给定n=1.0，n′=1.7，r=100 mm，u=0.03 rad，h=5 mm。求u′。
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使用公式：n′u′−nu=(n′−n)rh代入：1.7u′−1.0×0.03=(1.7−1.0)1005计算：1.7u′−0.03=0.7×0.05=0.0351.7u′=0.065u′=1.70.065≈0.0382 rad
如果u′=0 rad，且n=1.2，n′=1.5，r=150 mm，h=6 mm。求物方孔径角u。
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从公式：n′×0−nu=(n′−n)rh−1.2u=(1.5−1.2)1506简化：−1.2u=0.3×0.04=0.012u=−1.20.012=−0.01 rad负号表示光线方向。
当n=n′=1.5时，解释公式的意义，并计算u′若u=0.04 rad，h=3 mm，r=50 mm。
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公式变为：1.5u′−1.5u=(1.5−1.5)503=01.5(u′−u)=0所以u′=u=0.04 rad。
表示无折射，光线角度不变。
该公式描述了单个折射球面的物像位置关系。
已知物距 l，可以求出其共轭像距 l′。反之，已知像距 l′，也可以求出物距 l。
其中：n 是物方折射率，n′ 是像方折射率，l 是物距（从球面顶点到物体的距离，负值表示实物），l′ 是像距（从球面顶点到像的距离，负值表示实像），r 是球面半径（正值表示凸向物方）。
假设一个折射球面，球面半径 r=100 mm，物方折射率 n=1.0（空气），像方折射率 n′=1.5（玻璃），物距 l=−200 mm（实物）。
代入公式求解像距 l′。l′1.5−−2001.0=1001.5−1.0
简化：l′1.5+0.005=0.005,l′1.5=0
解得 l′=∞，表示像在无穷远，即平行光出射。
假设另一个折射球面，r=−80 mm（凹面），n=1.0，n′=1.33（水），像距 l′=120 mm（实像）。求物距 l。
1201.33−l1.0=−801.33−1.0
解得 l≈65.75 mm，表示实物位置。
给定折射球面：r=60 mm，n=1.0，n′=1.7，物距 l=−180 mm。
求像距 l′。
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代入公式：l′1.7−−1801.0=601.7−1.0
计算右边：600.7=0.011667
左边：l′1.7+1801=l′1.7+0.005556
所以：l′1.7+0.005556=0.011667
l′1.7=0.006111
l′=0.0061111.7≈278.2 mm
像距为正，表示实像。
给定折射球面：r=−50 mm，n=1.0，n′=1.8，像距 l′=−90 mm（实像）。
求物距 l。
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代入公式：−901.8−l1.0=−501.8−1.0
简化：−0.02−l1.0=−500.8=−0.016
所以：−0.02−l1.0=−0.016
−l1.0=0.004
l1.0=−0.004
l=−250 mm
物距为负，表示实物。
给定折射球面：r=70 mm，n=1.5，n′=1.0，物距 l=−140 mm。
求像距 l′。
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代入公式：l′1.0−−1401.5=701.0−1.5
简化：l′1.0+1401.5=70−0.5=−0.007143
计算：1401.5=0.010714
所以：l′1.0+0.010714=−0.007143
l′1.0=−0.017857
l′=−56.0 mm
像距为负，表示虚像。
给定折射球面：r=−100 mm，n=1.33，n′=1.0，像距 l′=80 mm。
求物距 l。
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代入公式：801.0−l1.33=−1001.0−1.33
简化：0.0125−l1.33=−100−0.33=0.0033
所以：0.0125−l1.33=0.0033
−l1.33=0.0033−0.0125=−0.0092
l1.33=0.0092
l=0.00921.33≈144.57 mm
物距为正，表示虚物。