3.2平行平板
平行平板
平行平板是由两个相互平行的折射平面所构成的光学元件，如分划板、微调平板等
平行平板成像特性
光线经平行平板折射后方向不变，出射光线EB与入射光线AD平行，满足U2′=U1。
平行平板不改变物体大小，其放大率恒为1：
其中：
U1为入射光线孔径角
U2′为出射光线孔径角
γ为角放大率
β为垂轴放大率
α为轴向放大率
推导：
设平行平板折射率n，厚度d，光线在两折射面满足：
第一面折射定律：sinI1=nsinI1′
第二面折射定律：nsinI2=sinI2′
由两平面平行得I2=I1′，联立得：
几何关系U2′=U1，故γ=1，β=1，α=1。
问题：入射光线U1=20∘，n=1.6，验证出射光线平行性。
解：
第一面折射：
sinI1′=1.6sin20∘≈0.2138⟹I1′≈12.34∘第二面入射I2=I1′=12.34∘
第二面折射：
sinI2′=1.6×sin12.34∘≈0.3420⟹I2′=20∘由I2′=I1，证U2′=U1成立
问题：折射率n=1.7的平行平板，求入射角I1的临界条件（不发生全反射）。
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解：
第二面全反射临界角：
sinI2c=n1=1.71≈0.5882由I2=I1′及第一面折射：
sinI1=nsinI1′<n⋅n1=1故I1<arcsin(1)=90∘恒成立
实际约束在第二面：
I1′<I2c⟹nsinI1<n1⟹I1<90∘
轴向位移和侧向位移
当光线通过平行平板时，由于折射作用，出射光线与入射光线之间产生侧向位移ΔT和轴向位移ΔL′。
侧向位移ΔT表示光线在垂直于光轴方向的偏移：
轴向位移ΔL′表示在光轴方向的偏移：
其中：d为平行平板的厚度；n为平行平板的折射率；I1为光线在第一面上的入射角；I1′为折射角，满足折射定律n=sinI1′sinI1。
轴向位移 ΔL′随入射角I1（即孔径角 U1）的不同而不同，即轴上点发出不同孔径的光线经平行平板后与光轴的交点不同，亦即同心光束经平行平板后变成了非同心光束。因此，平行平板不能成完善像。
推导基于几何光学关系：
在入射面和出射面的三角形中，侧向位移ΔT=DG，轴向位移ΔL′=A1A2′。
利用△DEG和△DEF的边角关系及折射定律展开三角公式可得
侧向位移 ΔT=DG和轴向位移ΔL′=A1A2′。在 △DEG和△DEF 中，DE为公用边，所以
ΔT=DG=DEsin(I1−I1′)=cosI1′dsin(I1−I1′)将sin(I1−I1′)用三角公式展开，并注意sinI1=nsinI1′，得侧向位移
ΔT=dsinI1(1−ncosI1′cosI1)
ΔL′=sinI1DG=d(1−ncosI1′cosI1)
轴向位移ΔL′随入射角I1变化，表明轴上点发出的同心光束经平行平板后变为非同心光束，因此平行平板不能成完善像。
给定平行平板厚度d=10mm，折射率n=1.5，入射角I1=30∘。
计算侧向位移ΔT和轴向位移ΔL′。
先求折射角I1′：根据折射定律n=sinI1′sinI1，
sinI1′=1.5sin30∘=1.50.5=31≈0.3333，
I1′=arcsin(0.3333)≈19.47∘。
计算cosI1=cos30∘=2√3≈0.8660，
cosI1′=cos19.47∘≈0.9428。
侧向位移ΔT=dsinI1(1−ncosI1′cosI1)=10×sin30∘×(1−1.5×0.94280.8660)，
sin30∘=0.5分母ncosI1′=1.5×0.9428=1.4142，
ncosI1′cosI1=1.41420.8660≈0.6122，
ΔT=10×0.5×(1−0.6122)=5×0.3878≈1.939mm。
轴向位移ΔL′=d(1−ncosI1′cosI1)=10×(1−0.6122)=10×0.3878≈3.878mm。
给定d=10mm，n=1.5，I1=45∘。
计算ΔT和ΔL′。
折射角I1′：sinI1′=1.5sin45∘=1.5√2/2≈1.50.7071≈0.4714，
I1′=arcsin(0.4714)≈28.13∘。
cosI1=cos45∘=2√2≈0.7071，
cosI1′=cos28.13∘≈0.8829。
ΔT=10×sin45∘×(1−1.5×0.88290.7071)=10×0.7071×(1−1.324350.7071)，
ncosI1′cosI1=1.324350.7071≈0.5340，
ΔT=7.071×(1−0.5340)=7.071×0.4660≈3.295mm。
ΔL′=10×(1−0.5340)=10×0.4660=4.660mm。
一个平行平板厚度d=8mm，折射率n=1.8，光线入射角I1=25∘。
计算侧向位移ΔT和轴向位移ΔL′。
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先求折射角I1′：
sinI1′=1.8sin25∘≈1.80.4226≈0.2348，
I1′=arcsin(0.2348)≈13.58∘。
计算余弦值：
cosI1=cos25∘≈0.9063，
cosI1′=cos13.58∘≈0.9724。
侧向位移ΔT=dsinI1(1−ncosI1′cosI1)=8×sin25∘×(1−1.8×0.97240.9063)，
sin25∘≈0.4226，
分母ncosI1′=1.8×0.9724≈1.75032，
ncosI1′cosI1=1.750320.9063≈0.5178，
ΔT=8×0.4226×(1−0.5178)=3.3808×0.4822≈1.630\\textmm。
轴向位移ΔL′=d(1−ncosI1′cosI1)=8×(1−0.5178)=8×0.4822≈3.858\\textmm。
从几何关系推导侧向位移ΔT=cosI1′dsin(I1−I1′)的表达式。
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参考光线路径图（类似图3-7）：
设入射点为A1，出射点为A2′，侧向位移ΔT=DG。
在△DEG中，DE为公共边，角度关系为∠DEG=I1−I1′。
因此，sin(I1−I1′)=DEDG，
得DG=DEsin(I1−I1′)。
在△DEF中，DE与平板厚度相关：
DE=cosI1′d（因为d是法线方向厚度）。
代入得ΔT=DG=cosI1′dsin(I1−I1′)。
利用三角恒等式sin(I1−I1′)=sinI1cosI1′−cosI1sinI1′和折射定律sinI1=nsinI1′，
可进一步化为ΔT=dsinI1(1−ncosI1′cosI1)。
分析当入射角I1增大时，轴向位移ΔL′的变化趋势，并解释原因。
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轴向位移ΔL′随入射角I1增大而增加。
原因：公式ΔL′=d(1−tanI1tanI1′)中，
tanI1tanI1′项随I1增大而减小。
因为I1′<I1（折射角小于入射角），且tan函数在0∘到90∘单调递增。
当I1增大时，tanI1增长快于tanI1′，导致tanI1tanI1′减小。
因此(1−tanI1tanI1′)增大，ΔL′增大。
例如，I1=30∘时ΔL′≈3.878mm（见例子），I1=45∘时ΔL′≈4.660mm。
解释为什么平行平板不能成完善像，并结合轴向位移公式说明。
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平行平板不能成完善像的原因是轴向位移ΔL′随入射角I1变化。
公式ΔL′=d(1−ncosI1′cosI1)显示ΔL′是I1的函数。
轴上点发出的同心光束中，不同孔径角（对应不同I1）的光线经平板后轴向位移不同。
导致出射光束不再会聚于同一点，变为非同心光束。
例如，小角度光线位移小，大角度光线位移大，造成像散。
因此，平行平板破坏了光束的同心性，无法形成完美点像。
问题：平行平板厚度d=8mm，入射角I1=45∘。当折射率n从1.5增至1.8时，轴向位移ΔL′如何变化？
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解：
n=1.5时：
sinI1′=1.5sin45∘≈0.4714⟹I1′≈28.13∘
ΔL1′=8(1−tan45∘tan28.13∘)≈2.35mmn=1.8时：
sinI1′=1.8sin45∘≈0.3928⟹I1′≈23.12∘
ΔL2′=8(1−tan45∘tan23.12∘)≈3.14mm结论：ΔL′随n增大而增大
问题：焦距f′=100mm的凸透镜后放置n=1.5、d=5mm的平行平板。物距l=−200mm，求最终像面位置。
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解：
透镜成像：
l′1−−2001=1001⟹l′=200mm平行平板等效空气层厚度：
ΔL′=d(1−n1)=5(1−1.51)≈1.67mm最终像距：
l总′=200+1.67=201.67mm（像面向右移动）
问题：光线以U1=15∘入射到n=1.6、d=12mm的平行平板，入射点高度h=5mm。求出射光线横向偏移量δ。
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解：
第一面折射角：
sinI1′=1.6sin15∘≈0.1616⟹I1′≈9.30∘平板内光线长度：
L=cosI1′d=cos9.30∘12≈12.15mm横向偏移量：
δ=Lsin(I1−I1′)=12.15×sin(15∘−9.30∘)≈0.99mm
平行平板的等效光学系统
在近轴光学中，平行玻璃平板的轴向位移定义为光线通过平板后像点沿光轴的移动量。
平行平板在近轴区内以细光束成像时，由于 I1及I1′都很小，其余弦值可用1 代替，对于厚度为 d、折射率为 n 的平行平板，轴向位移量Δl′由下式给出：
Δl′>0 表示像点向远离平板方向移动。
其中：
d为平行平板的厚度，
n为平行平板的折射率。
该位移量与入射角I1（或孔径角U1）无关，仅取决于平板厚度d和折射率n。
在近轴条件下，物点通过平行平板成完善像，等效于物点沿光轴移动Δl′的距离。
已知石英平行平板厚度d=5mm，折射率n=1.46，求近轴区轴向位移量。
解：
比较n=1.5的玻璃平板与n=1.33的水层（厚度相同）的近轴区轴向位移比。
解：
玻璃平板：Δlg′=d(1−1/1.5)=d/3
水层：Δlw′=d(1−1/1.33)≈0.248d
位移比：Δlw′Δlg′=0.2481/3≈1.34
熔融石英平板厚度d=8mm，n=1.458，求Δl′。
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解：
代入公式：
计算过程：
若Δl′=1.2mm，n=1.6，求所需平板厚度d。
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解：
由公式变形：
代入数值：
某平板d=10mm时Δl′=4mm，求其折射率n。
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解：
建立方程：
化简：
两相同玻璃平板(n=1.5)紧密贴合，总厚度12mm，求组合系统近轴区轴向位移量。
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解：
单板位移公式：
组合系统等效厚度d总=12mm，故：
注：多平板叠加时位移量具有可加性。
等效空气平板是一个虚构的空气层，其厚度 d 使得光线无折射地通过它时，光路与通过实际平板完全相同。
等效空气平板厚度为：
引入等效空气平板可简化光学系统外形尺寸计算：
光线无折射地通过等效空气平板。
只需计算出无平行玻璃平板时（即等效空气平板）的像方位置，然后再沿光轴移动一个轴向位移Δl′，就得到有平行玻璃平板时的实际像面位置，即
l′=l+Δl′
其中：
d：平行平板厚度（单位：mm）
n：平板材料折射率（无量纲）
Δl′：轴向位移（单位：mm）
d：等效空气平板厚度（单位：mm）
推导：
如图所示，入射光线 PQ经玻璃平板ABCD后，出射光线HI′平行于入射光线。
过H点作光轴的平行线，交PI于G，过 G作光轴的垂线EF。
将玻璃平板的出射平面及出射光路 HI′一起沿光轴平移Δl′，则 CD与EF重合，出射光线在G 点与入射光线重合，I′与I重合。
这表明，光线经过玻璃平板的光路与无折射的通过空气层ABEF的光路完全一样。
这个空气层就称为平行玻璃平板的等效空气平板
在进行光学系统外形尺寸计算时，将平行玻璃平板用等效空气平板取代后，光线无折射地通过等效空气平板，只需考虑平行玻璃平板的出射面或入射面的位置，而不必考虑平行玻璃平板的存在。
已知平行玻璃平板厚度 d=10mm，折射率 n=1.5。
计算轴向位移 Δl′。
解：使用公式 Δl′=d(1−n1)。
代入值： Δl′=10(1−1.51)=10(1−32)=10×31≈3.333mm。
结果表明，像点向远离平板方向移动约 3.333 mm。
在一个会聚光路中，无平行平板时像距 l′=100mm。
加入厚度 d=5mm、折射率 n=1.6 的平板。
求实际像距 l实际′。
解：先计算轴向位移 Δl′=d(1−n1)=5(1−1.61)=5(1−0.625)=5×0.375=1.875mm。
再求实际像距： l实际′=l′+Δl′=100+1.875=101.875mm。
等效空气平板厚度 d=nd=1.65=3.125mm，简化了光路计算。
平行玻璃平板厚度 d=8mm，折射率 n=1.52。
计算轴向位移 Δl′。
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使用公式 Δl′=d(1−n1)。
代入值： Δl′=8(1−1.521)。
计算 1.521≈0.6579。
所以 1−0.6579=0.3421。
Δl′=8×0.3421≈2.7368mm。
对于厚度 d=12mm、折射率 n=1.8 的平板。
求等效空气平板厚度 d。
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直接使用公式 d=nd。
代入值： d=1.812=18120=320≈6.6667mm。
无平行平板时像距 l′=150mm。
加入厚度 d=6mm、折射率 n=1.7 的平板。
求实际像距 l实际′。
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先计算轴向位移 Δl′=d(1−n1)=6(1−1.71)。
计算 1.71≈0.5882。
所以 1−0.5882=0.4118。
Δl′=6×0.4118≈2.4708mm。
再求实际像距： l实际′=l′+Δl′=150+2.4708=152.4708mm。
一个直角棱镜展开后相当于厚度 d=20mm 的平行玻璃平板，折射率 n=1.5。
无棱镜时像距 l′=80mm。
求有棱镜时的实际像距 l实际′。
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棱镜展开为平行平板，使用相同公式。
计算轴向位移 Δl′=d(1−n1)=20(1−1.51)=20(1−32)=20×31≈6.6667mm。
实际像距 l实际′=l′+Δl′=80+6.6667=86.6667mm。
等效空气平板厚度 d=nd=1.520≈13.3333mm，简化了棱镜光路计算。