1.1几何光学的基本定律和原理
几何光学的基本定律和原理
光波与光线
光就其本质而言是一种电磁波，光波的频率比普通无线电波的频率高，光波的波长比普通无线电波的波长短。
把电磁波按其波长或频率的顺序排列起来，形成电磁波谱。
光波波长范围大致为 1nm∼10nm，其中
可见光：波长在 380∼760nm之间的电磁波能为人眼所感知
红外光：波长大于760nm的光
紫外光：波长小于400nm的光
光波在真空中的传播速度为c≈2.99792458×108m/s，在介质中的传播速度都小于 c，且随波长的不同而不同。
可见光随波长的不同而引起人眼不同的颜色感觉。
单色光：具有单一波长的光（单色光是一种理想光源，现实中并不存在。激光是一种单色性很好的光源，可以近似看作单色光。）
复色光：而由不同单色光混合而成的光
能够辐射光能量的物体称为发光体或光源。
发光体可看作是由许多发光点或点光源组成。
每个发光点是一个点光源，向四周辐射光能量。
在几何光学中，发光点发出的光抽象为携带能量并带有方向的几何线，即光线。
光线的方向代表光的传播方向。
发光点发出的光波向四周传播时，某一时刻其振动位相相同的点所构成的等相位面称为波阵面，简称波面。
光的传播即为光波波阵面的传播。
其中：在各向同性介质中，波面上某点的法线n⃗代表了该点处光的传播方向，因此波面法线即为光线。
点光源在均匀介质中发出的光波，其波阵面为以光源为中心的同心球面。
例如蜡烛火焰在空气中发光时，任意时刻相同相位的点构成球面波阵面。
当光源距离观测点无限远时，波阵面近似为平面。
例如太阳光到达地球表面时，小范围内可视为平面波阵面。
线光源发出的光波形成柱面波阵面。
例如荧光灯管发出的光，在垂直于灯管的方向上波阵面呈圆柱面。
在真空中，距点光源5m处的波阵面是什么形状？
若改用10cm长的直线光源，相同距离处的波阵面形状如何变化？
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点光源的波阵面为球面。
直线光源的波阵面为柱面。
理由：点光源具有球对称性，直线光源具有轴对称性。
在各向同性介质中，某点波阵面的法线方向为n⃗=(0.6,0.8,0)。
求该点光的传播方向矢量。
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传播方向即为法线方向n⃗。
单位化得：d⃗=∣n⃗∣n⃗=√0.62+0.82(0.6,0.8,0)=(0.6,0.8,0)。
故传播方向矢量为(0.6,0.8,0)。
与波面对应的所有光线的集合称为光束。
波面可分为平面波、球面波和任意曲面波。
与平面波对应的光束相互平行，称为平行光束。
与球面波对应的光束相交于球面波的球心，称为同心光束。
同心光束可分为会聚光束和发散光束。
同心光束或平行光束经过实际光学系统后，由于像差的作用，将不再是同心光束或平行光束。
对应的光波则为非球面光波。
光束称为像散光束。
几何光学基本定律
光的直线传播定律
光在均匀透明介质中沿直线传播的规律。其数学描述为：
其中：
r⃗ 表示光线传播路径上任意点的位置矢量
r0⃗ 表示光线起始点的位置矢量
s 表示沿传播方向的标量距离
d⃗ 表示光线传播方向的单位矢量
当月球运行至地球与太阳之间时，月球遮挡太阳光形成阴影区。根据直线传播定律：
本影区：完全无直射阳光（s方向完全被阻隔）
半影区：部分阳光被遮挡（d⃗方向部分受阻）
观测现象：日全食/日环食取决于月球阴影的几何投影
物高Ho=10cm位于孔前u=20cm处，像距v=30cm。求像高Hi。
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由相似三角形关系：
HoHi=uv
Hi=Ho×uv
代入数据：
Hi=10×2030
Hi=10×1.5=15cm
光的独立传播定律
不同光源发出的光束在空间中传播时，彼此互不干扰，各自保持原有的传播特性。当多束光在空间某点交会时：
在交会点处的光强为各光束光强的代数和：
I总=∑Ii离开交会点后，各光束仍按原方向独立传播
光的独立传播定律没有考虑光的波动性质。当两束光是由光源上同一点发出、经过不同途径传播后在空间某点交会时，交会点处光的强度将不再是二束光强度的简单叠加，而是根据两束光所走路程的不同，有可能加强，也有可能减弱。这就是光的“干涉”现象。
其中：
I总：交会点处的总光强
Ii：第i束光的光强
适用条件：不同光源发出的非相干光（频率、相位随机）
两把手电筒的光束在暗室中交叉：
在交叉区域，光照强度等于两束光强度之和
光束穿过交叉点后，仍保持原有圆形光斑形状
红光与蓝光交叉时，不会产生新颜色的光
剧场中多盏聚光灯照射舞台：
演员站立位置的光强等于所有灯光强度之和
灯光重叠区域不会出现明暗条纹
关闭部分灯光时，剩余灯光照射区域不变
夜间会车时两车大灯光束交叉：
光束交叉区域亮度显著增加
光线穿过对方车辆后，仍保持直线传播
不会因光束交叉改变灯光颜色或产生闪烁
判断以下情形是否适用光的独立传播定律：
太阳光与路灯灯光在空气中交叉
同一激光器分束后的两束光在屏幕重叠
不同频率的LED灯光在桌面上重叠
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适用（不同光源）
不适用（同源光将产生干涉）
适用（不同光源且非相干）
两盏台灯单独照射桌面时：
灯A照度：IA=300lx
灯B照度：IB=450lx求两灯同时照射同一点时的总照度
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根据独立传播定律：I总=IA+IB=300+450=750lx
解释为何教室开多盏灯时：
课桌表面亮度均匀增加
不会出现明暗相间的条纹
关闭部分灯时阴影区域不变
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各灯光独立传播，光强代数叠加
不同光源的非相干光不产生干涉
光束保持原传播方向，互不影响
光的反射与折射定律
在介质分界面发生折反射的光路包含以下基本要素：
要素 | 符号 | 定义 |
|---|---|---|
入射光线 | AO | 投射到分界面的原始光线 |
反射光线 | OB | 返回原介质的光线 |
折射光线 | OC | 进入第二种介质的光线 |
法线 | NN′ | 过入射点O垂直于分界面的直线 |
入射角 | i | 入射光线与法线的夹角（0∘<i<90∘） |
反射角 | r | 反射光线与法线的夹角（0∘<r<90∘） |
折射角 | i′ | 折射光线与法线的夹角（0∘<i′<90∘） |
角度正方向规定：以法线为基准，光线顺时针转向法线时角度为正，逆时针为负。 |
反射定律
光在两种均匀介质分界面发生反射时遵循以下规律：
反射光线位于由入射光线和法线所决定的平面内；
反射光线与入射光线分居法线两侧；
反射角θr与入射角θi绝对值相等，符号相反：
θr=−θi
其中：
θi：入射角（入射光线与法线的夹角）
θr：反射角（反射光线与法线的夹角）
角度符号规定：以法线为基准，逆时针方向为正
当光线垂直入射平面镜时：
入射角θi=0∘
反射角θr=−0∘=0∘
反射光线沿原路径返回
阳光以30∘角射向平静湖面：
入射角θi=30∘
反射角θr=−30∘
反射光线与水面成60∘角
已知入射角θi=25∘，求反射角θr并说明光线位置关系。
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根据反射定律：θr=−θi代入数值：θr=−25∘反射光线位于：
入射光线与法线确定的平面内
法线另一侧（与入射光线对称）
实验测得入射角60∘时反射角为60∘，该结果是否符合反射定律？说明理由。
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不符合反射定律
正确关系应为：θr=−θi测量值θr=60∘应表示为：θr=−60∘角度绝对值相等但符号未体现方向关系
入射光线与法线成70∘角，介质分界面为水平线：
标出入射角θi
计算反射角θr
画出反射光线
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作图步骤：
作水平分界面，过入射点作垂直法线
入射光线与法线夹角70∘（θi=70∘）
计算θr=−70∘
在法线另一侧作70∘反射光线\
折射定律
折射率n是表征透明介质光学性质的重要参数。
定义为光在真空中的传播速度c与光在介质中的传播速度v之比：
其中：c是真空中的光速（约3.00×108m/s），v是光在介质中的速度。
真空的折射率为1。
绝对折射率指介质相对于真空的折射率。
在标准条件下（大气压强P=101325Pa，温度t=293K=20∘C），空气的折射率约为1.000273。
由于空气折射率接近1，常将介质相对于空气的相对折射率近似作为绝对折射率。
折射率通常依赖于光的波长，导致色散现象。
计算光在水中的传播速度。
已知水的折射率n=1.33，真空光速c=3.00×108m/s。
求光在水中的速度v。
解：由n=vc，得v=nc=1.333.00×108≈2.26×108m/s。
比较玻璃和钻石的折射率。
玻璃的折射率约为1.5，钻石的折射率约为2.4。
这表明光在钻石中传播速度较慢，因为n=vc，n越大，v越小。
例如，当c固定时，n钻石>n玻璃，故v钻石<v玻璃。
已知光在某种介质中的速度为2.0×108m/s，真空光速c=3.0×108m/s。
求该介质的折射率n。
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n=vcn=2.0×1083.0×108n=1.5
如果空气的折射率为1.0003，某介质的绝对折射率为1.52。
求该介质相对于空气的相对折射率nrel。
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nrel=nairnmediumnrel=1.00031.52nrel≈1.5197
解释为什么所有介质的折射率都大于1。
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由定义n=vc。
光在介质中的速度v总是小于真空中的光速c。
因此v<c，故n>1。
真空是唯一n=1的情况。
折射定律描述了光线在两种不同介质界面上的行为，包括两个基本部分：
折射光线位于由入射光线和法线所决定的平面内。
折射角的正弦与入射角角的正弦之比=入射介质折射率与折射介质折射率之比
sinisinr=n′n即
nsini=n′sinr
其中：
n 是入射介质的折射率，
n′ 是折射介质的折射率，
i 是入射角（入射光线与法线的夹角），
r 是折射角（折射光线与法线的夹角）。
该比值与入射角大小无关，仅取决于介质的性质和光线的波长，在恒定温度和压力下为常数。
若令n′=−n，则有r=−i，即折射定律转化为反射定律。这一结论有很重要的意义。后面我们将看到，许多由折射定律得出的结论，只要令n′=−n，就可以得出相应反射定律的结论。
考虑光线从空气（折射率n≈1.00）进入水（折射率n′≈1.33）。
入射角i=30∘，求折射角r。
使用公式：1.00sin30∘=1.33sinr
sin30∘=0.5
sinr=1.331.00×0.5≈0.3759
r≈arcsin(0.3759)≈22.0∘
光线从玻璃（折射率n≈1.5）进入空气（折射率n′≈1.00）。
入射角i=20∘，求折射角r。
使用公式：1.5sin20∘=1.00sinrsin20∘≈0.3420sinr=1.5×0.3420=0.513r≈arcsin(0.513)≈30.8∘
光线从空气（折射率n≈1.00）进入钻石（折射率n′≈2.42）。
入射角i=45∘，求折射角r。
使用公式：1.00sin45∘=2.42sinrsin45∘=2√2≈0.7071sinr=2.420.7071≈0.2922r≈arcsin(0.2922)≈17.0∘
光线从水（折射率n=1.33）进入玻璃（折射率n′=1.5），入射角i=40∘。
求折射角r。
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使用公式：nsini=n′sinr1.33sin40∘=1.5sinrsin40∘≈0.6428sinr=1.51.33×0.6428≈1.50.8547≈0.5698r≈arcsin(0.5698)≈34.7∘
光线从空气（折射率n=1.00）进入一种介质（折射率n′=1.6），折射角r=25∘。
求入射角i。
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使用公式：nsini=n′sinr1.00sini=1.6sin25∘sin25∘≈0.4226sini=1.6×0.4226≈0.6762i≈arcsin(0.6762)≈42.5∘
一个等边棱镜由玻璃制成（折射率n′=1.5），光线从空气（折射率n=1.00）以入射角i=50∘进入棱镜的一个面。
求光线在第一个面的折射角r。
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使用公式：nsini=n′sinr
1.00sin50∘=1.5sinr
sin50∘≈0.7648
sinr=1.50.7648≈0.5099
r≈arcsin(0.5099)≈30.7∘
介质中折射率
相对折射率：当光学元件（如棱镜或透镜）浸没在折射率为nm的介质中时，需将绝对折射率n替换为相对折射率nrel，定义为：
其中：
n：光学元件材料的绝对折射率
nm：周围介质的绝对折射率
nrel：元件相对于介质的折射率
此修正适用于所有基于折射定律的光学公式，包括：
透镜焦距公式：f1=(nrel−1)(R11−R21)
棱镜最小偏向角公式：δmin=2arcsin(nrelsin2A)−A
折射定律：nrelsini=sinr
计算介质相对于空气的相对折射率。
设某介质的绝对折射率nabs=1.52，空气折射率nair=1.000273。
相对折射率nrel=nairnabs=1.0002731.52≈1.5197。
常近似为1.52，忽略空气影响。
已知玻璃透镜（n=1.5）在空气中焦距fair=10cm，浸入水中（nm=1.33）后：
计算相对折射率：
nrel=1.331.5≈1.128
金刚石棱镜（n=2.42，顶角A=60∘）从空气移入蓖麻油（nm=1.48）：
油中相对折射率：
nrel=1.482.42≈1.635
双凸透镜R1=20cm，R2=−20cm，n=1.6。空气中焦距fair=16.7cm，求浸入甘油（nm=1.47）后的焦距。
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计算过程：
相对折射率：
nrel=1.471.6≈1.088新焦距公式：
f1=(1.088−1)(201−−201)化简：
f1=0.088×(0.05+0.05)=0.0088水中焦距：
f=0.00881≈113.6cm
火石玻璃棱镜（nD=1.62，nF=1.64）在二碘甲烷（nm=1.74）中，顶角A=45∘。求D光和F光的最小偏向角差。
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计算过程：
D光相对折射率：
nrel−D=1.741.62≈0.931F光相对折射率：
nrel−F=1.741.64≈0.943D光最小偏向角：
δD=2arcsin(0.931×sin22.5∘)−45∘≈7.2∘F光最小偏向角：
δF=2arcsin(0.943×sin22.5∘)−45∘≈9.1∘偏向角差：
Δδ=9.1∘−7.2∘=1.9∘
平凹透镜（R1=∞，R2=15cm，n=1.8）在空气中焦距−25cm，求在苯（nm=1.5）中的焦距。
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计算过程：
相对折射率：
nrel=1.51.8=1.2新焦距公式：
f1=(1.2−1)(∞1−−151)=0.2×151化简：
f1=150.2=751苯中焦距：
f=−75cm
光的全反射现象
通常，我们把分界面两边折射率高的介质称为光密介质，而把折射率低的介质称为光疏介质。光在光密介质中的传播速度较慢，而在光疏介质中的传播速度较快。
光线从光密介质(n)射向光疏介质(n')（n>n′)时，折射光线相对于入射光线而言，更偏离法线方向，当入射角大于临界角Im时，折射角I′达到90°，光线全部反射回原介质的现象。
临界角Im满足：
其中：n为光密介质折射率，n′为光疏介质折射率。
发生条件：
光线从光密介质向光疏介质入射
入射角I>Im
光纤利用全反射原理传输光信号。
纤芯折射率n1=1.48，包层折射率n2=1.46。
临界角Im=arcsin(1.46/1.48)≈80.6∘，当入射角I>80.6∘时，光在纤芯-包层界面发生全反射。
潜水员在水下(n=1.33)向上观察空气(n′=1.0)。
临界角Im=arcsin(1.0/1.33)≈48.8∘。当视线与法线夹角>48.8∘时，水面变成镜面，看不到水上景物。
钻石(n=2.42)切割设计使入射光在内部多次全反射后从冠部射出。临界角Im=arcsin(1.0/2.42)≈24.4∘，小临界角增强全反射效果。
水(n=1.33)与玻璃(n′=1.50)界面，光从水射向玻璃。求临界角Im。
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根据全反射条件：sinIm=nn′=1.331.50≈1.128
sinIm>1无解
全反射要求n>n′，此处n=1.33<n′=1.50，不满足条件从光密介质射向光疏介质
故不会发生全反射
设计全反射棱镜需选择两种介质。已知介质A折射率nA=1.65，介质B折射率nB=1.45。问光从哪种介质射向哪种介质能发生全反射？临界角多大？
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全反射条件1：从光密介质射向光疏介质nA=1.65>nB=1.45，故光从A射向B
临界角：sinIm=nAnB=1.651.45≈0.879Im=arcsin(0.879)≈61.5∘
水晶(n=1.55)与空气(n′=1.0)界面，入射角I=45∘。问是否发生全反射？若会，反射光方向如何？
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临界角计算：sinIm=nn′=1.551.0≈0.645Im=arcsin(0.645)≈40.1∘
入射角I=45∘>Im≈40.1∘，满足全反射条件
反射光遵循反射定律：反射角=45∘（等于入射角）
金刚石（n=2.42）在空气中全反射临界角24.4∘，求在水（nm=1.33）中的临界角。
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详情
计算过程：
相对折射率：
nrel=1.332.42≈1.82临界角公式：
sinθc=nrel1计算：
θc=arcsin(1.821)≈33.4∘
光路的可逆性原理
在光学系统中，若光线沿某一路径从点A传播到点B。则沿此路径反向传播时，光线必能从点B返回点A。
这一性质称为光路的可逆性原理。
其中：
A和B为光路中的任意两点。
路径包含反射、折射等光学现象。
费马原理
光程是指光在介质中传播的几何路程l与所在介质的折射率n的乘积s，即
其中，l=vt，v是光在介质中的速度，t是时间；n=vc，c是真空中的光速；
因此，
这表明光在介质中的光程等于同一时间内光在真空中所走过的几何路程。
其中：
s表示光程
l表示几何路程
n表示折射率
v表示光在介质中的速度，
c表示真空中的光速，
t表示时间。
光在玻璃中传播，折射率n=1.52，几何路程l=0.5m。求光程s。
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s=nl=1.52×0.5=0.76m。
费马原理指出光在传播过程中从一点到另一点的光程为极值。
光程定义为积分
数学表示为变分
这表示光程的一次变分为零对应于极值路径。
其中：s是光程，n是折射率，dl是路径元素，δ表示变分，A和B是起点和终点。
由费马原理证明反射定律入射角等于反射角 θi=θr
详情
根据费马原理，光线的实际传播路径是光程取极值的路径。
考虑光线从点 A(0,a) 到点 B(d,b) 在反射面（设为 x 轴）上反射，反射点为 P(x,0)。
光程 L 定义为 AP+PB，即 L(x)=√x2+a2+√(d−x)2+b2。
为求光程极值，需计算 L 对 x 的导数并设其为零。
详细计算导数过程：
dxdL=dxd(√x2+a2)+dxd(√(d−x)2+b2)
第一项导数计算：
设 f(x)=√x2+a2，则 dxdf=21(x2+a2)−1/2⋅2x=√x2+a2x。
第二项导数计算：
设 g(x)=√(d−x)2+b2，令 u=(d−x)2+b2，则 g(x)=√u。
dxdg=dudg⋅dxdu=2√u1⋅2(d−x)⋅(−1)=√(d−x)2+b2−(d−x)。
因此，
dxdL=√x2+a2x−√(d−x)2+b2d−x
设导数为零：
√x2+a2x−√(d−x)2+b2d−x=0
即
√x2+a2x=√(d−x)2+b2d−x
入射角 θi 满足 sinθi=√x2+a2x（假设 x>0）。
反射角 θr 满足 sinθr=√(d−x)2+b2d−x（假设 d−x>0）。
由上式得 sinθi=sinθr，故 θi=θr。
反射定律得证。
相关知识点：
费马原理：光线在两点间传播的路径使光程取极值（通常为最小值）。
反射定律：入射角等于反射角，即 θi=θr。
导数应用：通过求导确定函数极值点，常用于优化和物理问题。
在均匀介质中折射率n=1.5点A到点B距离d=8m。
计算光程s并验证是否最小。
详情
光程公式s=n⋅d。
代入n=1.5,d=8得s=1.5×8=12。
在均匀介质中直线路径光程最小其他路径更长。
光从点A(0,2)到点B(4,2)经x轴反射。
使用费马原理求入射角θi。
详情
设反射点P(x,0)。
光程s=AP+PB=√x2+4+√(4−x)2+4。
变分δs=0导dxds=0。
计算√x2+4x=√(4−x)2+44−x。
解得x=2入射角θi=arctan(1)=45∘。
假设折射率n(y)=ky光从A(0,0)到B(a,b)。
求光路径y(x)满足的微分方程。
详情
光程s=∫0an(y)√1+(y′)2dx。
变分δs=0应用欧拉方程。
得dxd(∂y′∂F)=∂y∂F其中F=n(y)√1+(y′)2。
代入n(y)=ky化简为y′′=k(1+(y′)2)。
马吕斯定律
马吕斯定律是几何光学的基本定律之一，适用于各向同性的均匀介质。
该定律表明，光束（光线的集合）在传播过程中始终与波面（等相位面）保持正交，即光束方向垂直于波面。
入射波面上的任意一点到出射波面上对应点的光程为常数，无论光经过多少次折射或反射。
这种正交性和光程恒定性质确保了光传播路径的稳定性，并与费马原理及折反射定律相互关联。
其中：
波面指的是光波中相位相同的点构成的曲面；
光束指的是波面的法线束；
光程定义为几何路径长度与介质折射率的乘积，记为L=n⋅s，n为折射率，s为几何路径长度。
考虑一束平面波在空气中传播，波面为平行平面。
光束（光线）始终垂直于波面，例如在均匀介质中无折射时。
根据马吕斯定律，正交性保持，光程差为零，验证了定律在简单传播中的应用。
一个点光源发出的球面波遇到平面镜反射。
入射波面为球面，光束径向；反射后，出射波面仍为球面。
马吕斯定律指出反射光束垂直于新波面，光程L恒定，例如对应点光程差为反射路径长度乘以折射率。
光通过凸透镜从空气进入玻璃，界面为曲面。
入射波面近似平面，折射后波面弯曲；但光束经过透镜仍垂直于出射波面。
光程L为常数，例如透镜焦点处光程极值，体现了正交性在复杂光学系统中的保持。